1、上海市浦东新区建平中学2020届高三数学下学期4月模拟考试试题（含解析）一、填空题.1.已知，则_.【答案】【解析】【分析】求出与中不等式的解集分别确定出与，找出两集合的交集即可【详解】集合中不等式，当时，解得：，此时，当时，解得：，无解，集合中不等式变形得：，即，解得：，即，则故答案为：【点睛】本题考查不等式的求解、集合的交运算，考查运算求解能力，属于基础题2.函数的最小正周期为_.【答案】【解析】【分析】首先化简.再根据公式即可求出最小正周期.【详解】因为函数.所以最小正周期为：.故答案为：.【点睛】本题主要考查了正切函数的最小正周期的求法，属于基础题.3.计算：_.【答案】【解析】【分析
2、】将原数列极限变成，根据，从而可求出原数列极限的值.【详解】.故答案为：.【点睛】本题主要考查了求极限，解决此类问题关键是化简，属于基础题.4.直线的方程为，则直线的一个法向量是_.【答案】【解析】【分析】先将三阶行列式化简得出直线的一般式方程，再求出直线的一个法向量即可.【详解】由得直线的一般式方程为：，所以直线的一个法向量为.故答案为.【点睛】本题主要考查三阶行列式的运算和直线的法向量的问题，属中等难度题.5.若实数满足，且，则实数值为_.【答案】【解析】【分析】现结合指数与对数的互化公式，表示出，再结合换底公式表示出，最后结合对数运算即可求解【详解】由可得，又，即，求得故答案为：【点睛】
3、本题考查指数和对数的互化，换底公式的用法，对数的运算性质，属于基础题6.设常数，命题“存在，使”为假命题，则a的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】将条件转化为任意，恒成立，此时有，从而解出实数a的取值范围.【详解】命题：“存在，使”为假命题，即恒成立，必须，即：，解得，故实数a的取值范围为，故答案为：.【点睛】本题考查了一元二次不等式的应用，体现了等价转化的思想，属于中等题.7.某微信群中四人同时抢个红包（金额不同），假设每人抢到的几率相同且每人最多抢一个，则其中甲、乙都抢到红包的概率为 _.【答案】【解析】【分析】先求出基本事件总数，其中甲、乙都抢到红包包含的基本事件个数，由此能求出其中
4、甲、乙都抢到红包的概率【详解】某微信群中四人同时抢个红包（金额不同），假设每人抢到的几率相同且每人最多抢一个，则基本事件总数，其中甲、乙都抢到红包包含的基本事件个数，其中甲、乙都抢到红包的概率故答案为.【点睛】本题考查古典概型，属于基础题.8.如果函数的图象关于点中心对称，那么的最小值为_.【答案】 【解析】详解】由得图象关于点中心对称知，即，即.因此，的最小值为.故答案为9.如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点，球心O到平面ABC的距离是，则B、C两点的球面距离是_【答案】【解析】试题分析：由已知，AC是小圆的直径所以过球心O作小圆的垂线，垂足是AC的中点，AC=3，BC=3，即BC=O
5、B=OCBOC=，则B、C两点的球面距离=3=考点：球的几何特征，球面距离点评：中档题，解有关球面距离的问题，最关键是突出球心，找出数量关系10.设是曲线（为参数，）上任意一点，则的取值范围是_【答案】【解析】试题分析：曲线曲线可化为，可得曲线表示以为圆心，半径为的圆，又是曲线上一点，则，即点两点连线的斜率，当的坐标为时，有最小值为，当的坐标为时，有最大值为，所以的取值范围为考点：简单的线性规划的应用，圆的参数方程【方法点晴】本题主要考查了曲线的参数与普通方程的联系，两者可进行互化，可根据实际情况选择不同的方程进行求解，同时考查简单的线性规划求最值，体现了转化与化归的思想方法，属于中档试题，本
6、题的解答中求出圆的普通方程，利用的几何意义，转化为圆上的点与坐标原点之间连线的斜率问题，求出直线的斜率的范围，即可得到结论11.已知，若数列、是一个单调递增数列，则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】先由展开式通项求得，根据可得最大，由此求得的最大值.【详解】，展开式通项为，由于数列、是一个单调递增数列，即，解得，因此，的最大值为.故答案为：.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查项的系数最大值的求法，属于中档题12.函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于2012，则满足条件的整数k的值是_.【答案】1002或1003【解析】【分析】由题意可得函数的图象与函数的图象所有交点成对出
7、现，且每一对关于点对称，结合所有横坐标之和等于2012即可得到k的值.【详解】解：函数的图象关于点对称，函数的图象也关于点对称，如图所示：故函数的图象与函数的图象所有交点成对出现，且每一对关于点对称，因为他们的横坐标之和为2012，当时，它们共有1006对交点，所以或，解得或.故答案为：1002或1003.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，属于中等题.二、选择题（共有4题）13.已知：区间内恰含两个整数.则以下结论正确的是（ ）A. “”是成立的充分条件B. “”是成立的必要条件C. “”是成立的充分条件D. “”是成立的必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义
8、，利用排除法进行判断即可.【详解】当，满足成立，但在区间内只有一个整数1，故充分性不成立，则A错误，当，满足成立，但在区间内只有一个整数1，故充分性不成立，则C错误，若区间内恰含两个整数，则满足，故B正确，当，时，满足成立，但在区间内有3个整数0，1，2，故必要性不成立，则D错误，故选：B.【点睛】本题主要充分条件和必要条件的定义，属于基础题.14. 在空间给出下列四个命题：如果平面内的一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则；如果直线与平面内的一条直线平行，则；如果直线与平面内的两条直线都垂直，则；如果平面内的两条直线都平行于平面，则其中正确的个数是A. B. C. D. 【答案】A【解析】本
9、题考查空间线面关系的判定和性质解答：命题正确，符合面面垂直的判定定理命题不正确，缺少条件命题不正确，缺少两条相交直线都垂直的条件命题不正确，缺少两条相交直线的条件15.已知关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的整数的值之和是（ ）A. 13B. 18C. 21D. 26【答案】C【解析】设，其图象是开口向上，对称轴是x=3的抛物线，如图所示若关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则，即，解得5a8，又aZ，a=6，7，8.则所有符合条件的a的值之和是6+7+8=21.故选C.16.已知点，点P在曲线上运动，点Q在曲线上运动，则的最小值为（ ）A. B. 4C.
10、 D. 6【答案】B【解析】【分析】设圆心为F，可知F为抛物线的焦点，并且最小时，经过圆心F，设，则，可得，换元后利用基本不等式求最值即可.【详解】解：设圆心为F，则F为抛物线的焦点，该抛物线的准线方程为，设，由抛物线的定义：，要使最小，则需最大，如图最大时，经过圆心F，且圆F的半径为1，且.，令，则，当时取“=”，此时.的最小值为4.故选：B.【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程、焦点坐标公式、准线方程、抛物线的定义、圆的标准方程，属于中等题.三、解答题（满分76分）17.如图，三棱柱中，它的体积是底面ABC中，BAC=90，AB=4，AC=3，在底面的射影是D，且D为BC的中点.(1)求
11、侧棱与底面ABC所成角的大小；(2)求异面直线与所成角的大小.【答案】【解析】【分析】面,就是侧棱与底面所成的角,运用棱柱的体积公式和解直角三角形,即可得到所求值.取的中点E,连接, ，则(或其补角)为所求的异面直线所成角的大小,运用解直角三角形,计算即可得到所求值.【详解】作图如下：依题意得,面,就是侧棱与底面所成的角,由,则,由D为中点,，即有.由，即有,所以即侧棱与底面所成角为.取中点，连接,则(或其补角)为所求的异面直线所成角的大小.由面, ,面面,所以面,故,所以所求异面直线与所成角为.【点睛】本题考查空间角的求法.主要考查直线和平面所成的角和异面直线所成的角的求法;考查直线与平面的
12、位置关系;属于中档题;线面角和异面直线所成角的求解步骤：作出所要求的角;证明所作的角即为所求的角（或其补角）；在三角形中，通过解三角形求角的大小或其角的三角函数值.18.四边形如图所示，已知，.（1）求的值；（2）记与的面积分别是与，求的最大值.【答案】（1）（2）最大值为14【解析】【分析】（1）利用余弦定理，求出，即可求的值；（2）求出的表达式，即可求的最大值.【详解】解：（1）在中，由余弦定理得，在中，同理可得，所以.（2）依题意，所以，因为，所以.解得，所以，当时取等号，即的最大值为14.【点睛】本题主要考查了解三角形，解三角形是高考重点考查的内容，正确变形合理转化，把涉及到的量转化到
13、一个三角形内求解，涉及求最值时可以适当地选取变量，把所求最值用变量表示，属于中等题.19.已知椭圆C：经过定点，其左右集点分别为，且，过右焦且与坐标轴不垂直的直线l与椭圈交于P，Q两点.（1）求椭圆C的方程：（2）若O为坐标原点，在线段上是否存在点，使得以，为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在，m的取值范围为【解析】【分析】（1）由椭圆的定义可求出a的值，再把点E的坐标代入椭圆方程，即可求出b的值，从而得到椭圆C的方程；（2）先设点P，Q的坐标以直线l的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到P，Q横坐标的和与积，再利用菱形的对角线垂
14、直得到向量数量为0，将坐标代入后化简得到m与k的关系式，可求出m的取值范围.【详解】解：（1）点E在椭圆上，且，又定点在椭圆上，椭圆C的方程为：；（2）假设存在点满足条件，设，直线l的方程为：，联立方程，消去y得：，又，由题意知，即，则，故存在点，使得以，为邻边的平行四边形是菱形，m的取值范围为.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆，解决此类问题的关键是把直线代入椭圆利用韦达定理，转化成向量之间的关系，属于中等题.20.对定义在0，1上的函数f（x），如果同时满足以下三个条件：对任意x0，1，总有f（x）0；f（1）=1；若x10，x20，x1+x21，有f（x1+x2）f（x1）
15、+f（x2）成立则称函数f（x）为理想函数（1）判断g（x）=2x1（x0，1）是否为理想函数，并说明理由；（2）若f（x）为理想函数，求f（x）的最小值和最大值；（3）若f（x）为理想函数，假设存在x00，1满足ff（x0）=x0，求证：f（x0）=x0【答案】（1）是；（2）f（x）取得最小值2，f（x）取得最大值3；（3）见解析【解析】【详解】（1）显然f（x）=2x1在0，1上满足f（x）0；f（1）=1若x10，x20，且x1+x21，则有f（x1+x2）f（x1）+f（x2）=2x1+x21（2x11）+（2x21）=（2x21）（2x11）0故f（x）=2x1满足条件，所以f（x
16、）=2x1为理想函数，（2）设x1，x20，1，x1x2，则x2x1（0，1f（x2）=f（x2x1）+x1f（x2x1）+f（x1）2f（x2）f（x1）f （x2x1）20，f（x1）f（x2），则当0x1时，f（0）f（x）f（1），在中，令x1=x2=0，得f（0）2，由得f（0）2，f（0）=2，当x=1时，f（1）=3，当x=0时，f（x）取得最小值2，当x=1时，f（x）取得最大值3，（3）由条件知，任给m、n0，1，当mn时，由mn知nm0，1，f（n）=f（nm+m）f（nm）+f（m）f（m）若f（x0）x0，则f（x0）ff（x0）=x0，前后矛盾；若：f（x0）x0，则
17、f（x0）ff（x0）=x0，前后矛盾故f（x0）=x021.已知数列的前项和为，且满足，设，.（）求证：数列是等比数列；（）若，求实数的最小值；（）当时，给出一个新数列，其中，设这个新数列的前项和为，若可以写成（，且，）的形式，则称为“指数型和”.问中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由.【答案】（I）详见解析；（II）；（III）为指数型和.【解析】【分析】（I）通过计算证明证得，来证得数列是等比数列.（II）利用求得数列的通项公式，由，求得的最小值.（III）先求得的通项公式，对分成偶数和奇数两种情况进行分类讨论，根据“指数型和”的定义，求出符合题
18、意的“指数型和”.【详解】（I），.由于，当时，所以数列是等比数列.，.（II）由（I）得，所以.因为，.当时，而，所以，即，化简得，由于当时，单调递减，最大值为，所以，又，所以的最小值为.（III）由（I）当时，当时，.也符合上式，所以对正整数都有.由，（且），只能是不小于的奇数.当为偶数时，由于和都是大于的正整数，所以存在正整数，使得，所以，且，相应的，即有，为“指数型和”； 当为奇数时，由于是个奇数之和，仍为奇数，又为正偶数，所以不成立，此时没“指数型和”.综上所述，中项存在“指数型和”，为.【点睛】本小题主要考查已知求，考查根据数列的单调性求参数的取值范围，考查新定义的理解和运用，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.
