1、 1.2 导数的计算第一课时 几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一、预习教材问题导入根据以下提纲，预习教材P12P16的内容，回答下列问题已知函数：yf(x)c，yf(x)x，yf(x)x2，yf(x)1x，yf(x)x.(1)函数yf(x)c的导数是什么？提示：yxfxxfxxccx 0，ylimx0yx0.(2)函数的导数分别是什么？提示：由导数的定义得：(x)1，(x2)2x，1x 1x2，(x)12 x.(3)函数均可表示为yx(Q*)的形式，其导数有何规律？提示：(x)1x11，(x2)2x21，(x)x12)12 x112 12 x，(x)x1.二、归纳总结
2、核心必记1基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c 为常数)f(x)f(x)x(Q*)f(x)f(x)sin xf(x)f(x)cos xf(x)f(x)axf(x)(a0)f(x)exf(x)f(x)logaxf(x)_(a0，且 a1)f(x)ln xf(x)_0 x1cos xsin xaxln aex1xln a1x2导数运算法则(1)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)；当g(x)c时，cf(x)(3)fxgx _(g(x)0)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)cf(x)fxgxfxgxgx2三、综合迁移深化思维(1)常数函数的导数为0说明什么？提示：说明常
3、数函数f(x)c图象上每一点处的切线的斜率都为0，即每一点处的切线都平行(或重合)于x轴(2)对于公式“若f(x)x(Q*)，则f(x)x1”，若把“Q*”改为“R”，公式是否仍然成立？提示：当R 时，f(x)x1仍然成立(3)下面的计算过程正确吗？sin4 cos4 22.(4)若f(x)，g(x)都是可导函数，且f(x)0，那么下列关系式成立吗？af(x)bg(x)af(x)bg(x)(a，b为常数)；1fx fxfx2.提示：由导数的运算法则可知，这两个关系式都正确提示：不正确因为 sin4 22 是一个常数，而常数的导数为零，所以sin4 0.探究点一 利用导数公式求函数的导数思考探究
4、你能说出函数f(x)c与f(x)x、f(x)sin x与f(x)cos x、f(x)ax与f(x)ex、f(x)logax与f(x)ln x的导数公式有什么特点和联系吗？名师指津：(1)幂函数f(x)x中的可以由Q*推广到任意实数(2)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，(符号)正同余反”(3)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数，(ex)ex是(ax)axln a的特例(4)对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数，(ln x)1x是(logax)1xln a的特例 典例精析求下列函数的导数：(1)y10 x；(2)ylg x；(3)ylog12x；(4)y4 x3；(
5、5)ysin x2cos x221.解(1)y(10 x)10 xln 10.(2)y(lg x)1xln 10.(3)y(log 12x)1xln 12 1xln 2.(4)y(4 x3)(x34)34x14 344 x.(5)ysin x2cos x221sin2x22sin x2cos x2cos2x21sin x，y(sin x)cos x.类题通法 求简单函数的导函数有两种基本方法(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式针对训练1求下列函数的导数：(1)y1ex
6、；(2)y110 x；(3)ylg 5；(4)y3lg3 x；(5)y2cos2x21.解：(1)y1ex 1exln1e1exex.(2)y110 x 110 xln 110ln 1010 x10 x ln 10.(3)ylg 5是常数函数，y(lg 5)0.(4)y3 lg3 xlg x，y(lg x)1xln 10.(5)y2cos2x21cos x，y(cos x)sin x.探究点二 利用导数的运算法则求导数典例精析求下列函数的导数：(1)yx3ex；(2)yxsin x2cosx2；(3)yx2log3x;(4)yex1ex1.解(1)y(x3)exx3(ex)3x2exx3exx
7、2(3x)ex.(2)yx12sin x，yx12(sin x)112cos x.(3)y(x2log3x)(x2)(log3x)2x 1xln 3.(4)yex1ex1ex1ex1ex12exex1ex1exex12 2exex12.类题通法 利用导数运算法则求解的策略(1)分析求导式符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等(3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导
8、针对训练 2求下列函数的导数：(1)ycos xx；(2)yxsin x x；(3)y1 x1 x1 x1 x；(4)ylg x 1x2.解：(1)ycos xxcos xxcos xxx2 xsin xcos xx2xsin xcos xx2.(2)y(xsin x)(x)sin xxcos x 12 x.(3)y1 x21x1 x21x22x1x 41x2，y41x2 41x1x241x2.(4)ylg x 1x2(lg x)1x2 1xln 10 2x3.探究点三 利用导数公式研究曲线的切线问题典例精析 点P是曲线yex上任意一点，求点P到直线yx的最小距离思考点拨 将直线yx向上平移，
9、当直线与曲线yex相切时，该切点到直线yx的距离最小解 如图，当曲线yex在点P(x0，y0)处的切线与直线yx平行时，点P到直线yx的距离最近则曲线yex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y(ex)ex，ex01，得x00，代入yex，得y01，即P(0,1)利用点到直线的距离公式得最小距离为 22.类题通法 关于函数导数的应用及其解决方法 应用求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用方法先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用针
10、对训练 3设函数f(x)13x3a2x2bxc，其中a0，曲线yf(x)在点P(0，f(0)处的切线方程为y1，则b_，c_.解析：(1)由题意得f(x)x2axb，由切点P(0，f(0)既在函数f(x)13x3a2x2bxc上又在切线y1上，得f00，f01，即02a0b0，1303a202b0c1，解得b0，c1.答案：0 14求过曲线ycos x上点P3，12 且与曲线在这点处的切线垂直的直线方程解：ycos x，y(cos x)sin x，曲线在点P3，12 处的切线的斜率为ky|x 3sin3 32，过点P且与切线垂直的直线的斜率为2 33，满足题意的直线方程为y122 33 x3，即2 33 xy122 39 0.课堂归纳领悟1本节课的重点是基本初等函数的导数公式及导数运算法则，难点是灵活运用导数公式和运算法则解决相关问题2本节课要重点掌握的规律方法(1)利用导数公式求导数，见探究点一；(2)利用导数运算法则求导数，见探究点二；(3)利用导数运算研究曲线的切线问题，见探究点三3本节课的易错点是导数公式(ax)axln a和(logax)1xln a以及运算法则f(x)g(x)与fxgx 的区别 “课下梯度提能”见“课时跟踪检测(三)”(单击进入电子文档)
