1、2.1.2数列的递推公式(选学)学习目标1.理解递推公式是数列的一种表示方法.2.能根据递推公式写出数列的前n项.3.掌握由一些简单的递推公式求通项公式的方法知识链接1数列中的项与数集中的元素进行对比，数列中的项具有的性质有_答案(1)确定性；(2)可重复性；(3)有序性；(4)数列中的每一项都是数2数列的项与对应的序号能否构成函数关系？类比函数的表示方法，想一想数列有哪些表示方法？答案数列的项与对应的序号能构成函数关系数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，an，.除了列举法外，数列还可以用公式法、列表法、图象法来表示预习导引1递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项
2、)开始的任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式2数列的表示方法数列的表示方法有列举法、通项公式法、图象法、列表法、递推公式法要点一由递推公式写出数列的项例1已知数列an满足下列条件，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式(1)a10，an1an(2n1)；(2)a11，an1.解(1)a10，an1an(2n1)，a2a1(211)011；a3a2(221)134；a4a3(231)459；a5a4(241)9716.故该数列的一个通项公式是an(n1)2.(2)a11，an1，a2，a3，a4，a5，它的前5项依次是1，
3、.它的前5项又可写成，故它的一个通项公式为an. 规律方法(1)根据递推公式写数列的前几项，要弄清公式中各部分的关系，依次代入计算即可(2)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式跟踪演练1设数列an满足写出这个数列的前5项解由题意可知a11，a2112，a311，a411，a511.要点二由递推公式求通项例2已知数列an满足：a11,2n1anan1(nN，n2)(1)求数列an的通项公式；(2)这个数列从第几项开始及其以后各项均小于？解(1)ana1()n1()n2()2()11()12(n1)，an
4、.(2)bn(n)2，nN时，bn递增，即an为递减数列，当n4时，6，an，当n5时，10，an.从第5项开始各项均小于.规律方法由递推公式求通项公式的技巧(1)由数列的递推公式求通项公式是数列的重要问题之一，是高考考查的热点，累加法、累乘法、迭代法是解决这类问题的常用技巧(2)当anan1f(n)且满足一定条件时，常用an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1来求an.(3)当f(n)且满足一定条件时，常用ana1来求an.跟踪演练2已知数列an，a11，以后各项由anan1(n2)给出(1)写出数列an的前5项；(2)求数列an的通项公式解(1)a11；a2a1；a3a2；a4a
5、3；a5a4.(2)由anan1得anan1(n2)，an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a11()()()(1)1112(nN)要点三数列与函数的综合应用例3f(x)log2x(0x1)，且数列an满足f()2n(nN)(1)求数列an的通项公式；(2)判断数列an的增减性解(1)f(x)log2x，又f()2nm，log22n，即an2n.整理得a2nan20，ann.又0x1，故01，于是an0，ann(nN)(2)1.anan，数列an是递增数列规律方法数列是一类特殊的函数，用函数与方程的思想处理数列问题在判断数列an的单调性时，可以用作差法或作商法跟踪演练3函数
6、f(n)数列an的通项anf(1)f(2)f(3)f(2n)(nN)(1)求a1，a2，a4的值；(2)写出an与an1的一个递推关系式(注：135(2n1)4n1)解(1)a1f(1)f(2)f(1)f(1)2.a2f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(3)f(1)f(2)13a16.a4f(1)f(2)f(3)f(16)86.(2)an1f(1)f(2)f(2n1)，anf(1)f(2)f(2n)，f(1)f(3)f(5)f(2n1)f(2)f(4)f(6)f(2n)135(2n1)f(1)f(2)f(3)f(2n1)，anan14n1(n2).1数列1,3,6,10,15，的递推公
7、式是()Aan1ann，nNBanan1n，nN，n2Can1an(n1)，nN，n2Danan1(n1)，nN，n2答案B2已知数列an满足a12，an1an10(nN)，则此数列的通项an等于()An21Bn1C1nD3n答案D解析an1an1.ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)2(1)(1)(1)2(1)(n1)3n.3用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是_答案an2n1解析a13，a2325，a33227，a432229，an2n1.4已知：数列an中，a11，an1an(1)写出数列的前5项；(2)猜想
8、数列an的通项公式解(1)a11，a21，a3，a4，a5.(2)猜想：an.1递推公式的理解与应用(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式(2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n的恒等式，如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项(4)运用递推法给出数列，不容易了解数列的全貌，计算也不方便，所以我们经常用它得出数列的通项公式或者得到一个特殊数列，比如具有周期性质的数列2数列的通项公式与递推公式的作用和联系通项公式递推公式作用通项公式是给出数
9、列的主要形式，由通项公式可求出数列的各项及指定项，也可以解决数列的性质问题(如增减性，最值等).数列的递推公式是给出数列的另一重要形式由递推公式可以依次求出数列的各项.联系数列的通项公式与递推公式有时可以相互转化，如数列1,3,5，2n1，的一个通项公式为an2n1(nN)，用递推公式表示为a11，anan12(n2，nN).一、基础达标1已知an1an30，则数列an是()A递增数列B递减数列C常数项 D不能确定答案A2已知数列an的首项为a11，且满足an1an，则此数列的第4项是()A1 B.C. D.答案B3在数列an中，a11，对所有的n2，都有a1a2a3ann2，则a3a5等于(
10、)A. B.C. D.答案C解析a1a2a332，a1a222，a1a2a3a4a552，a1a2a3a442，则a3，a5.故a3a5.4在数列an中，a12，an1anln(1)，则an等于()A2ln n B2(n1)ln nC2nln n D1nln n答案A解析由题意可知：an1anln，即an1anln(n1)ln n，于是an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1ln nln(n1)ln(n1)ln(n2)ln 2ln 122ln n.5已知数列，那么0.98,0.96,0.94中是该数列的项的个数是()A0个 B1个C2个 D3个答案C解析先求得通项公式an，再令0.9
11、8，可得n49；令0.96，可得n24，令0.94，可得n，故0.94不是数列的项，因此选C.6已知数列an满足a10，a22，且对任意m，nN都有a2m1a2n12amn12(mn)2.则a3，a5分别等于_答案6,20解析由题意，令m2，n1则a3a12a22，所以a36，令m3，n1则a5a12a324，所以a520.7已知a11，an1an2，求数列an的一个通项公式解方法一(叠加法)a11，an1an2，a2a12，a3a22，a4a32，anan12(n2)，将这些式子的两边分别相加得(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)2(n1)，即ana12(n1)，又a11，an
12、2n1(n2)，当n1时，a11也满足上式，故数列an的一个通项公式为an2n1.方法二(迭代法)anan112an222a1(n1)22n1(n2)，当n1时，a11也满足an2n1，故数列an的一个通项公式为an2n1.二、能力提升8若a11，an1，则数列an的第4项是()A. B.C. D.答案C解析a2，a3，a4.9已知数列an满足an1若a1，则a2 014_.答案解析计算得a2，a3，a4，故数列an是以3为周期的周期数列，又知2 014除以3余1，所以a2 014a1.10根据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想数列的通项公式(1)a10，an1an2n1(nN)(2)a1
13、1，an1an(nN)(3)a12，a23，an23an12an(nN)解(1)a10，a21，a34，a49.猜想an(n1)2.(2)a11，a2，a3，a4.猜想an.(3)a12，a23，a35，a49.猜想an2n11.11已知数列an满足a11，an1panqn，其中p，q均为正数，且a23，a413.(1)求p，q的值；(2)求an3与an的递推关系式解(1)由已知可得a2pa1q，即pq3，a4pa33qp(pa22q)3qp2a22pq3q，即3p22pq3q13，由得或因为p，q均为正数，所以p1，q2.(2)由(1)知an1an2n，则an2an12(n1)(an2n)2(n1)an4n2.故an3an22(n2)an6n6.12在数列an中，a12，an1an，求an的通项公式解an1an，.2，(n2)把上述等式左右两边分别相乘，得2，即n，而a12，an2n.三、探究与创新13设an是首项为1的正项数列，且(n1)anaan1an0(n1,2,3，)，求它的通项公式解(n1)anaan1an0，(an1an)(n1)an1nan0.又an0，an1an0.(n1)an1nan0，即.又 a11，an.
