1、十一数列的应用(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.某工厂购买一台机器价格为a万元,实行分期付款,每期付款b万元,每期为一月,共付12次,若按月利率5,每月复利一次,则a,b满足()A.b= B.b=C.b= D.b【解析】选D.因为+=a,所以12ba(1+0.005)12,所以ba,所以b.2.周髀算经中有这样一个问题:从冬至日起,依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气,其日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,则立夏日影长为()A.1.5尺 B.2.5尺C.3.5尺 D.
2、4.5尺【解析】选D.设数列为an,公差为d,a1+a4+a7=3a1+9d=31.5,S9=9a1+36d=85.5,解得a1=13.5,d=-1,所以立夏日影长为a10=4.5.3.现存入银行10 000元钱,年利率是3.60%,那么按照复利,第5年末的本利和是()A.10 0001.0363 B.10 0001.0364C.10 0001.0365 D.10 0001.0366【解析】选C.由题意得S=10 000(1+3.60%)5=10 0001.0365.4.某采摘园的樱桃前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示,从图中记录的结果看,前x年的平均产量最高,第y年的年产量最高,则x和
3、y的值分别为()A.7和4 B.7和8C.10和4 D.10和10【解析】选A.设前n年的总产量Sn与n在图中对应P点,则前n年的年平均产量为直线OP的斜率,由题干图易知当n=7时,直线OP的斜率最大,即前7年的年平均产量最高,x=7;又an=Sn-Sn-1,所以变化量最大的是第4年,即y=4. 5.某钢厂的年产值由2000年的40万吨,增加到2010年的50万吨,经历了10年的时间,如果按此年增长率计算,该钢厂2020年的年产值将接近()A.60万吨 B.61万吨C.63万吨D.64万吨【解析】选C.设年增长率为x,则2010年为:40(1+x)10=50,则(1+x)10=.2020年为:
4、40(1+x)20=40(1+x)102=40=62.563(万吨).6.某林厂现在的森林木材存量是1 800万立方米,木材以每年25%的增长率生长,而每年要砍伐固定的木材量为x万立方米,为达到经两次砍伐后木材存量增加50%的目标,则x的值是()A.40 B.45 C.50 D.55【解析】选C.经过一次砍伐后,木材存量为1 800(1+25%)-x=2 250-x;经过两次砍伐后,木材存量为(2 250-x)(1+25%)-x=2 812.5-2.25x.由题意应有2 812.5-2.25x=1 800(1+50%),解得x=50.二、填空题(每小题5分,共10分)7.一件家用电器,现价2
5、000元,实行分期付款,一年后还清,购买后一个月第一次付款,以后每月付款一次,每次付款数相同,共付12次,月利率为0.8%,并按复利计息,那么每期应付款_元.(参考数据:1.008111.092,1.008121.100,1.08112.332,1.08122.518)【解析】设每期应付款x元,第n期付款后欠款An元,则A1=2 000(1+0.008)-x=2 0001.008-x,A2=(2 0001.008-x)1.008-x=2 0001.0082-1.008x-x,A12=2 0001.00812-(1.00811+1.00810+1)x,因为A12=0,所以2 0001.00812
6、-(1.00811+1.00810+1)x=0,解得x=176.即每期应付款176元.答案:1768.某人买了一辆价值10万元的新车,专家预测这种车每年按10%的速度折旧,n年后这辆车的价值为an元,则an=_,若他打算用满4年时卖掉这辆车,他大约能得到_元.【解析】n年后这辆车的价值构成等比数列an,其中,a1=100 000(1-10%),q=1-10%,所以an=100 000(1-10%)n,所以a4=100 000(1-10%)4=65 610(元).答案:100 000(1-10%)n65 610三、解答题(每小题10分,共20分)9.某种汽车,购车费用是10万元,第一年维修费用是
7、0.2万元,以后逐年递增0.2万元,且每年的保险费、养路费、汽油费等约为0.9万元.(1)设这种汽车使用x年(xN*)的维修费用的和为g万元,求g的表达式;(2)这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最小?【解析】(1)由题意,维修费是以0.2为首项,0.2为公差的等差数列,则汽车使用x年的维修费用的和为g(x)=0.2x+0.2=0.1x2+0.1x,xN*.即g(x)=0.1x2+0.1x,xN*;(2)设汽车使用x年年平均费用为f(x),则f(x)=0.1x+1,因为0.1x+2,当且仅当0.1x=,即x=10时,f(x)最小.所以这种汽车使用10年时,它的年平均费用最小.10.在中国绿化
8、基金会的支持下,库布齐沙漠得到有效治理.2017年底沙漠的绿化率已达30%,从2018年开始,每年将出现这样的情况:上一年底沙漠面积的16%被栽上树改造为绿洲,而同时,上一年底绿洲面积的4%又被侵蚀,变为沙漠.(1)设库布齐沙漠面积为1,由绿洲面积和沙漠面积构成.2017年底绿洲面积为a1=0.3,经过1年绿洲面积为a2,经过n年绿洲面积为an+1,试用an表示an+1;(2)问至少需要经过多少年的努力才能使库布齐沙漠的绿洲面积超过60%(年数取整数).【解析】(1)第n+1年绿洲面积由上一年即第n年绿洲面积、增加上一年底沙漠面积的16%以及减少上一年底绿洲面积的4%这三部分构成,即an+1=
9、an+0.16(1-an)-0.04an=0.8an+0.16;(2)因为an+1=0.8an+0.16,所以an+1-0.8=0.8(an-0.8),所以数列an-0.8构成以a1-0.8=-0.5为首项,0.8为公比的等比数列,因此an-0.8=-0.50.8n-1,所以an=0.8-0.50.8n-1,由an=0.8-0.50.8n-10.6,得0.8n-10.4,所以n6,因此至少需要经过6-1=5年的努力才能使库布齐沙漠的绿洲面积超过60%.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.某学校餐厅每天供应500名学生用餐,每星期一有A,B两种菜可供选择,调查资料表明,凡是在
10、星期一选A种菜的学生,下星期一会有20%改选B种菜;而选B种菜的学生,下星期一会有30%改选A种菜.用an,bn分别表示在第n个星期的星期一选A种菜和选B种菜的学生人数,则an+1与an的关系可以表示为()A.an+1=an+150 B.an+1=an+200C.an+1=an+300 D.an+1=an+180【解析】选A.依题意得消去bn,得an+1=an+150.2.某公司今年获利5 000万元,如果以后每年的利润都比上一年增加10%,那么总利润达3亿元时大约还需要()(参考数据:lg1.010.004,lg1.060.025,lg1.10.04,lg1.60.20)A.4年 B.7年
11、C.12年 D.50年【解析】选A.根据题意,每年的利润构成一个等比数列an,其中首项a1=5 000,公比q=1+10%=1.1,Sn=30 000.于是得到=30 000,整理,得1.1n=1.6,两边取对数,得nlg 1.1=lg 1.6,解得n=5,故还需要4年.3.某纯净水厂在净化过程中,每增加一次过滤可减少水中杂质的20%,要使水中杂质减少到原来的5%以下,则至少需过滤的次数为(lg 20.301 0)()A.5 B.10 C.14 D.15【解析】选C.设原杂质数为1,由题意,得各次过滤杂质数成等比数列,且a1=1,公比q=1-20%,故an+1=(1-20%)n.由题意可知(1
12、-20%)n5%,即0.8n0.05.两边取对数,得nlg 0.8lg 0.05,因为lg 0.8,即n=13.41,故取n=14.4.根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn(万件)近似地满足Sn= (21n-n2-5)(n=1,2,12).按此预测,在本年度内,需求量超过1.5万件的月份是()A.5月、6月 B.6月、7月C.7月、8月 D.8月、9月【解析】选C.第n月的家用商品需求量为Sn-Sn-1=(21n-n2-5)-21(n-1)- (n-1)2-5=;令1.5,即n2-15n+540,解得6nan;n17,an+1an;即n=17,an取最大值18
13、 891,此时为2033年底;即到2033年底,市场的单车保有量达到最多,为18 891辆.10.甲、乙两超市同时开业,第一年的全年销售额均为a万元,由于经营方式不同,甲超市前n年的总销售额为(n2-n+2)万元,乙超市第n年的销售额比前一年的销售额多a万元.(1)求甲、乙两超市第n年销售额的表达式;(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%,则该超市将被另一超市收购,判断哪一超市有可能被收购?如果有这种情况,将会出现在第几年?【解析】(1)设甲、乙两超市第n年的销售额分别为an,bn.则有a1=a,当n2时,an=(n2-n+2)-(n-1)2-(n-1)+2=(n-1)a
14、,所以an=bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+(bn-bn-1)=a(nN+).(2)易知bn3a,所以乙超市将被甲超市收购,由bnan,得a7,所以n7,即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半,乙超市将被甲超市收购.11.甲、乙两人用农药治虫,由于计算错误,在A,B两个喷雾器中分别配制成12%和6%的药水各10千克,实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的,现在只有两个能容纳1千克药水的药瓶,他们从A,B两个喷雾器中分别取1千克的药水,将A中取得的倒入B中,B中取得的倒入A中,这样操作进行了n次后,A喷雾器中药水的浓度为an%,B喷雾器中药水的浓度为bn%.(1)证明an+bn是
15、一个常数;(2)求an与an-1的关系式;(3)求an的表达式.【解析】(1)开始时,A中含有1012%=1.2千克的农药,B中含有106%=0.6千克的农药,n次操作后,A中含有10an%=0.1an千克的农药,B中含有10bn%=0.1bn千克的农药,它们的和应与开始时农药的质量和相等,从而有0.1an+0.1bn=1.2+0.6,所以an+bn=18(常数).(2)第n次操作后,A中10千克药水中农药的质量具有关系式9an-1+1bn-1=10an,由(1)知bn-1=18-an-1,代入化简得an=an-1+.(3)令an+=(an-1+),利用待定系数法可求出=-9,所以an-9=(an-1-9),可知数列an-9是以a1-9为首项,为公比的等比数列,由an=an-1+得,a1=12+=11.4,由等比数列的通项公式知,an-9=(a1-9)=2.4=3,所以an=3+9.
