1、试卷类型：A2007年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数 学（理科）20074本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分考试用时120分钟注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上用2B铅笔将答题卡上试卷类型（A）涂黑在答题卡右上角的“试室号”栏填写本科目试室号，在“座位号”列表内填写座位号，并用2B铅笔将相应的信息点涂黑不按要求填涂的，答卷无效2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指
2、定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效4考试必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回参考公式：第一部分 选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1的值为 A B C D2函数（）的反函数为 A（） B（）C（） D（）3已知向量和向量对应的复数分别为和，则向量对应的复数为 A B C D4是直线和直线垂直的A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件xyODxyOBxyOAxyOC5函数的图像大致是 6
3、4名男生和2名女生排成一排照相，要求2名女生必须相邻，则不同的排列方法为A B C DABCDEF图17如图1，为正六边形，则以、为焦点，且经过、四点的双曲线的离心率为 A BC D8已知方程（且）有两个实数根，其中一个根在区间内，则的取值范围为A B C D第二部分 非选择题（共110分）二、填空题：本大题共7小题，其中912题是必做题，1315题是选做题，每小题5分，满分30分9已知，若，则 10某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人为了了解该校教师的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师 人xyO1图
4、211函数的部分图象如图2所示，则 ， 12已知数列满足，（），则的值为 ， 的值为 选做题：在下面三道小题中选做两题，三题都选的只计算前两题的得分13已知，则的最小值为 PQABC图3O14在极坐标系中，若过点且与极轴垂直的直线交曲线于两点，则 15如图3，P是O的直径AB延长线上一点，PC与O相切于点C，APC的角平分线交AC于点Q，则的大小为_. 三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程16（本小题满分12分）已知a、b、c分别是ABC中角A、B、C的对边，且（）求角的大小； （）若，求的值17（本小题满分12分）袋中装着标有数字1，2，3的小球各2个，
5、从袋中任取2个小球，每个小球被取出的可能性都相等（）求取出的2个小球上的数字互不相同的概率；（）用表示取出的2个小球上的数字之和，求随机变量的概率分布与数学期望18（本小题满分14分）ABCA1B1C1D图4 如图4所示，在直三棱柱中，是棱的中点（）证明：平面；（）求二面角的余弦值19（本小题满分14分）已知曲线：（其中为自然对数的底数）在点处的切线与轴交于点，过点作轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线与轴交于点，过点作轴的垂线交曲线于点，依次下去得到一系列点、，设点的坐标为（）（）分别求与的表达式；（）设O为坐标原点，求20（本小题满分14分） 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经
6、过、三点（）求椭圆的方程；（）若直线：（）与椭圆交于、两点，证明直线与直线的交点在直线上21（本小题满分14分）已知函数，若对任意，且，都有 （）求实数的取值范围；（）对于给定的实数，有一个最小的负数，使得时，都成立，则当为何值时，最小，并求出的最小值2007年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算共8小题，每小题5分，满分50分1D 2A 3C 4C 5B 6B 7D 8A二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算本大题共7小题，其中912题是必做题，1315题是选做题。每小题5分，满分30分其中第11、12题中的第一个空均为2
7、分，第二个空均为3分93 10182 11； 12；3139 14 15三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程。16（本小题满分12分）（本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、解三角形等基础知识，考查运算求解能力）（）解：由余弦定理，得。 2分， 4分（）解法一：将代入，得 6分由余弦定理，得 8分， 10分 12分解法二：将代入，得 6分由正弦定理，得 8分， 10分又，则，。 12分解法三：，由正弦定理，得 6分， 8分 10分 12分17（本小题满分12分）（本小题主要考查互斥事件的概率、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查分
8、类与整合、或然与必然的数学思想与方法，以及运算求解能力）（）解法一：记“取出的2个小球上的数字互不相同”为事件，从袋中的6个小球中任取2个小球的方法共有种， 1分其中取出的2个小球上的数字互不相同的方法有， 3分 4分解法二：记“取出的2个小球上的数字互不相同”的事件记为，“取出的2个小球上的数字相同”的事件记为，则事件与事件是对立事件， 2分 4分（）解：由题意，所有可能的取值为：2，3，4，5，6 6分，故随机变量的概率分布为23456 10分因此，的数学期望12分18（本小题满分14分）（本小题主要考查空间中线面关系，二面角及其平面角、坐标方法的运用等基础知识，考查数形结合的数学思想和方
9、法，以及空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力）解法一：（），三棱柱为直三棱柱， ，平面 平面，而，则4分在中，在中，同理可得，（或：在与中，），即6分，平面 7分HGABCA1B1C1D（）如图，过作的垂线，垂足为，在平面内作交于点，连，则为二面角的平面角 9分在中，则，在中，求得在中，由余弦定理，得故二面角的余弦值为 14分解法二：，三棱柱为直三棱柱， yzxABCA1B1C1D，平面 2分以为坐标原点，、所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则， 4分（），即，平面 7分（）设是平面的法向量，由得取，则是平面的一个法向量 10分又是平面的一个法向量， 12分且与二面角
10、的大小相等由故二面角的余弦值为 14分19（本小题满分14分）（本小题主要考查数列、导数等基础知识，考查有限与无限的数学思想与方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）解：（），曲线：在点处的切线方程为，即此切线与轴的交点的坐标为，点的坐标为 2分点的坐标为（），曲线：在点处的切线方程为， 4分令，得点的横坐标为数列是以0为首项，为公差的等差数列。，（） 6分（）， 8分 10分 12分 14分20（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆的概念、椭圆的方程等基础知识，考查待定系数法、分类与整合、数形结合的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力）（）解法一：当椭圆E的焦点在x轴上时，
11、设其方程为（），则，又点在椭圆上，得解得椭圆的方程为当椭圆E的焦点在y轴上时，设其方程为（），则，又点在椭圆上，得解得，这与矛盾综上可知，椭圆的方程为 4分解法二：设椭圆方程为（），将、代入椭圆的方程，得解得，椭圆的方程为 4分（）证法一：将直线：代入椭圆的方程并整理，得， 6分设直线与椭圆的交点，由根与系数的关系，得， 8分直线的方程为：，它与直线的交点坐标为，同理可求得直线与直线的交点坐标为 10分下面证明、两点重合，即证明、两点的纵坐标相等：，因此结论成立综上可知，直线与直线的交点在直线上 14分证法二：将直线：，代入椭圆的方程并整理，得， 6分设直线与椭圆的交点，由根与系数的关系，得，
12、 8分直线的方程为：，即直线的方程为：，即 10分由直线与直线的方程消去，得 直线与直线的交点在直线上 14分证法三：将直线：，代入椭圆方程并整理，得， 6分设直线与椭圆的交点，由根与系数的关系，得， 8分消去得， 10分直线的方程为：，即直线的方程为：，即 12分由直线与直线的方程消去得，直线与直线的交点在直线上 14分21（本小题满分14分）（本小题主要考查函数及其运算、不等式及其性质等基础知识，考查化归与转化、数形结合的数学思想方法，以及抽象概括能力、逻辑推理能力、运算求解能力和创新意识）解：（）， 2分，实数的取值范围为 4分（）， 显然，对称轴 6分（1）当，即时，且令，解得，此时取较大的根，即， 10分（2）当，即时，且令，解得，此时取较小的根，即， 13分当且仅当时，取等号，当时，取得最小值3 14分
