1、2017年黑龙江省双鸭山市宝清县高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1若M=x|2x2，N=x|y=log2（x1），则MN=（）Ax|2x0Bx|1x0C2，0Dx|1x22复数z满足z（1+i）=|1i|，则复数z的虚部是（）A1B1CD3已知向量与的夹角为，|=，则在方向上的投影为（）ABCD4中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每
2、天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”问此人第4天和第5天共走了（）A60里B48里C36里D24里5某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A2+B4+C2+2D56执行如图的程序框图，若程序运行中输出的一组数是（x，12），则x的值为（）A27B81C243D7297数列an是正项等比数列，bn是等差数列，且a6=b7，则有（）Aa3+a9b4+b10Ba3+a9b4+b10Ca3+a9b4+b10Da3+a9与b4+b10 大小不确定8在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在a、b、c三家
3、酒店选择一家，且这三家至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共有（）A96种B124种C130种D150种9已知实数x，y满足不等式组，若目标函数z=kx+y仅在点（1，1）处取得最小值，则实数k的取值范围是 （）A（1，+）B（，1）C（1，+）D（，1）10设a=dx，则二项式（x2）5的展开式中x的系数为（）A40B40C80D8011已知球O是的棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为（）ABCD12设AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，AnBnCn的面积为Sn，n=1，2，3若b1c1，b1+c1=2a1，an+1=an，则（）ASn
4、为递减数列BSn为递增数列CS2n1为递增数列，S2n为递减数列DS2n1为递减数列，S2n为递增数列二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13已知（，），且sin+cos=，则cos的值14已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）m有3个零点，则实数m的取值范围是15设曲线y=xn+1（nN+）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2015x1+log2015x2+log2015x2014的值为16函数f（x）=lnx+ax存在与直线2xy=0平行的切线，则实数a的取值范围为三、解答题：解答写出文字说明、证明过程或演算过程17在锐角ABC中， =（1）求
5、角A；（2）若a=，求bc的取值范围182016年上半年，股票投资人袁先生同时投资了甲、乙两只股票，其中甲股票赚钱的概率为，赔钱的概率是；乙股票赚钱的概率为，赔钱的概率为对于甲股票，若赚钱则会赚取5万元，若赔钱则损失4万元；对于乙股票，若赚钱则会赚取6万元，若赔钱则损失5万元（）求袁先生2016年上半年同时投资甲、乙两只股票赚钱的概率；（）试求袁先生2016年上半年同事投资甲、乙两只股票的总收益的分布列和数学期望19如图，斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是直角三角形，ACB=90，点B1在底面内的射影恰好是BC的中点，且BC=CA=2（1）求证：平面ACC1A1平面B1C1CB；（2）若二面角
6、BAB1C1的余弦值为，求斜三棱柱ABCA1B1C1的高20如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： +=1（ab0）的焦距为2，且过点（，）（1）求椭圆E的方程；（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值；设过点M垂直于PB的直线为m求证：直线m过定点，并求出定点的坐标21已知函数f（x）=lnxx（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若方程f（x）=m（m2）有两个相异实根x1，x2，且x1x2，证明：x1x222选修4-4：坐标系与参数方程选讲
7、22在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的参数方程为为参数），曲线C2的极坐标方程为（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上一点，Q曲线C2上一点，求|PQ|的最小值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|xa|+|2x1|（aR）（）当a=1时，求f（x）2的解集；（）若f（x）|2x+1|的解集包含集合，1，求实数a的取值范围2017年黑龙江省双鸭山市宝清县高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1若
8、M=x|2x2，N=x|y=log2（x1），则MN=（）Ax|2x0Bx|1x0C2，0Dx|1x2【考点】交集及其运算【分析】求出N中x的范围确定出N，找出M与N的交集即可【解答】解：由N中y=log2（x1），得到x10，解得：x1，即N=x|x1，M=x|2x2，MN=x|1x2，故选：D2复数z满足z（1+i）=|1i|，则复数z的虚部是（）A1B1CD【考点】复数代数形式的混合运算【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出【解答】解：z（1+i）=|1i|，z（1+i）（1i）=（1i），z=i，则复数z的虚部是，故选：C3已知向量与的夹角为，|=，则在方向上的投影为（）ABC
9、D【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据向量的数量积定义解答【解答】解：因为向量与的夹角为，|=，则在方向上的投影为，|cos=；故选C4中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”问此人第4天和第5天共走了（）A60里B48里C36里D24里【考点】函数模型的选择与应用【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该
10、人第4天和第5天共走的路程【解答】解：记每天走的路程里数为an，可知an是公比q=的等比数列，由S6=378，得S6=，解得：a1=192，此人第4天和第5天共走了24+12=36里故选：C5某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A2+B4+C2+2D5【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据三视图可判断直观图为：OA面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC面AEO，AC=，OE=判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积【解答】解：根据三视图可判断直观图为：OA面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EC=EB=1，OA=1，可得AE
11、BC，BCOA，运用直线平面的垂直得出：BC面AEO，AC=，OE=SABC=22=2，SOAC=SOAB=1=SBCO=2=故该三棱锥的表面积是2，故选：C6执行如图的程序框图，若程序运行中输出的一组数是（x，12），则x的值为（）A27B81C243D729【考点】程序框图【分析】根据已知中的程序框图，模拟程序的运行过程，并分析程序执行过程中，变量x、y值的变化规律，即可得出答案【解答】解：由程序框图知：第一次运行x=3，y=3，（33）；第二次运行x=9，y=6，（9，6）；第三次运行x=27，y=9，（27，9）；第四次运行x=81，y=12，（81，12）；所以程序运行中输出的一组数
12、是（x，12）时，x=81故选：B7数列an是正项等比数列，bn是等差数列，且a6=b7，则有（）Aa3+a9b4+b10Ba3+a9b4+b10Ca3+a9b4+b10Da3+a9与b4+b10 大小不确定【考点】数列的函数特性【分析】由于bn是等差数列，可得b4+b10=2b7已知a6=b7，于是b4+b10=2a6由于数列an是正项等比数列，可得a3+a9=2a6即可得出【解答】解：bn是等差数列，b4+b10=2b7，a6=b7，b4+b10=2a6，数列an是正项等比数列，a3+a9=2a6，a3+a9b4+b10故选：B8在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便接
13、待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在a、b、c三家酒店选择一家，且这三家至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共有（）A96种B124种C130种D150种【考点】计数原理的应用【分析】由题意知五个参会国要在a、b、c三家酒店选择一家，且这三家至少有一个参会国入住，可以把5个国家人分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2；当按照1、1、3来分时共有C53A33，当按照1、2、2来分时注意其中包含一个平均分组的问题，不要出错【解答】解：五个参会国要在a、b、c三家酒店选择一家，且这三家至少有一个参会国入住，可以把5个国家人分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是
14、1、2、2当按照1、1、3来分时共有C53A33=60，当按照1、2、2来分时共有A3390，根据分类计数原理知共有60+90=150，故选D9已知实数x，y满足不等式组，若目标函数z=kx+y仅在点（1，1）处取得最小值，则实数k的取值范围是 （）A（1，+）B（，1）C（1，+）D（，1）【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用目标函数z=kx+y取得最小值时的唯一最优解是（1，1），得到直线y=kx+z斜率的变化，从而求出k的取值范围【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分OAB）由z=kx+y得y=kx+z，即直线的截距最大，z
15、也最大平移直线ykx+z，要使目标函数z=kx+y取得最小值时的唯一最优解是（1，1），即直线y=kx+z经过点A（1，1）时，截距最小，由图象可知当阴影部分必须在直线y=kx+z的右上方，此时只要满足直线y=kx+z的斜率k大于直线OA的斜率即可直线OA的斜率为1，k1，所以k1故选：B10设a=dx，则二项式（x2）5的展开式中x的系数为（）A40B40C80D80【考点】二项式系数的性质【分析】先求出定积分a的值，再利用二项展开式的通项公式，令x的指数等于1，求出r的值，即可计算结果【解答】解：a=dx=lnx=lne2ln1=20=2，（x2）5=（x2）5的展开式的通项公式为：Tr+
16、1=x2（5r）=（2）rx103r，令103r=1，解得r=3，（x2）5的展开式中含x项的系数为（2）3=80故选：D11已知球O是的棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为（）ABCD【考点】球的体积和表面积【分析】平面ACD1是边长为的正三角形，且球与与以点D为公共点的三个面的切点恰为三角形ACD1三边的中点，从而得到所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，由此能求出结果【解答】解：根据题意知，平面ACD1是边长为的正三角形，且球与与以点D为公共点的三个面的切点恰为三角形ACD1三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得
17、，ACD1内切圆的半径是tan30=，则所求的截面圆的面积是=故选：D12设AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，AnBnCn的面积为Sn，n=1，2，3若b1c1，b1+c1=2a1，an+1=an，则（）ASn为递减数列BSn为递增数列CS2n1为递增数列，S2n为递减数列DS2n1为递减数列，S2n为递增数列【考点】数列递推式；数列的函数特性【分析】由an+1=an可知AnBnCn的边BnCn为定值a1，由bn+1+cn+12a1=及b1+c1=2a1得bn+cn=2a1，则在AnBnCn中边长BnCn=a1为定值，另两边AnCn、AnBn的长度之和bn+cn=2a1为定值，由此可
18、知顶点An在以Bn、Cn为焦点的椭圆上，根据bn+1cn+1=，得bncn=，可知n+时bncn，据此可判断AnBnCn的边BnCn的高hn随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案【解答】解：b1=2a1c1且b1c1，2a1c1c1，a1c1，b1a1=2a1c1a1=a1c10，b1a1c1，又b1c1a1，2a1c1c1a1，2c1a1，由题意， +an，bn+1+cn+12an=（bn+cn2an），bn+cn2an=0，bn+cn=2an=2a1，bn+cn=2a1，又由题意，bn+1cn+1=，=a1bn，bn+1a1=，bna1=，cn=2a1bn=， = 单调递增（可证
19、当n=1时0）故选B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13已知（，），且sin+cos=，则cos的值【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析】采用“平方”将sin+cos=化简可得sin的值，即可求解cos的值【解答】解：sin+cos=，（sin+cos）2=1+sin=，即sin=又（，），cos=故答案为14已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）m有3个零点，则实数m的取值范围是（0，1）【考点】函数的零点【分析】先把原函数转化为函数f（x）=，再作出其图象，然后结合图象进行求解【解答】解：函数f（x）=，得到图象为：又函数g（x）=f（x）m有3个零点，知f（
20、x）=m有三个零点，则实数m的取值范围是（0，1）故答案为：（0，1）15设曲线y=xn+1（nN+）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2015x1+log2015x2+log2015x2014的值为1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；对数的运算性质【分析】要求log2015x1+log2015x2+log2015x2014，需求x1x2x2014的值，只须求出切线与x轴的交点的横坐标即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决【解答】解：对y=xn+1（nN*）求导，得y=（n+1）xn，令x=1得在点（1，1）
21、处的切线的斜率k=n+1，在点（1，1）处的切线方程为y1=k（xn1）=（n+1）（xn1），不妨设y=0，则x1x2x3xn=，从而log2015x1+log2015x2+log2015x2014=log2015（x1x2x2014）=故答案为：116函数f（x）=lnx+ax存在与直线2xy=0平行的切线，则实数a的取值范围为（，2）（2，2）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】函数f（x）=lnx+ax存在与直线2xy=0平行的切线方程f（x）=+a在区间x（0，+）上有解，并且去掉直线2xy=0与曲线f（x）相切的情况，解出即可【解答】解：函数f（x）=lnx+ax的导数为
22、f（x）=+a（x0）函数f（x）=lnx+ax存在与直线2xy=0平行的切线，方程+a=2在区间x（0，+）上有解即a=2在区间x（0，+）上有解a2若直线2xy=0与曲线f（x）=lnx+ax相切，设切点为（x0，2x0）则，解得x0=e此时a=2综上可知：实数a的取值范围是（，2）（2，2）故答案为：（，2）（2，2）三、解答题：解答写出文字说明、证明过程或演算过程17在锐角ABC中， =（1）求角A；（2）若a=，求bc的取值范围【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（1）由余弦定理可得：a2+c2b2=2accosB，代入已知整理可得sin2A=1，从而可求A的值（2）由（1）及正弦定理
23、可得bc=，根据已知求得角的范围，即可求得bc的取值范围【解答】解：（1）由余弦定理可得：a2+c2b2=2accosB，sin2A=1且，（2），又，b=2sinB，c=2sinC，bc=2sin2sinC=，182016年上半年，股票投资人袁先生同时投资了甲、乙两只股票，其中甲股票赚钱的概率为，赔钱的概率是；乙股票赚钱的概率为，赔钱的概率为对于甲股票，若赚钱则会赚取5万元，若赔钱则损失4万元；对于乙股票，若赚钱则会赚取6万元，若赔钱则损失5万元（）求袁先生2016年上半年同时投资甲、乙两只股票赚钱的概率；（）试求袁先生2016年上半年同事投资甲、乙两只股票的总收益的分布列和数学期望【考点】
24、离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（）利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式能求出袁先生2016年上半年同时投资甲、乙两只股票赚钱的概率（）用X万元表示袁先生2016年上半年同时投资甲、乙两只股票的总收益，则X所有可能取值为9，0，2，11，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望【解答】解：（）袁先生2016年上半年同时投资甲、乙两只股票赚钱的概率为：p=（）用X万元表示袁先生2016年上半年同时投资甲、乙两只股票的总收益，则X所有可能取值为9，0，2，11，P（X=9）=，P（X=0）=，P（X=2）=，P（X=11）=，X的分布列为： X9
25、 0 2 11 PE（X）=19如图，斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是直角三角形，ACB=90，点B1在底面内的射影恰好是BC的中点，且BC=CA=2（1）求证：平面ACC1A1平面B1C1CB；（2）若二面角BAB1C1的余弦值为，求斜三棱柱ABCA1B1C1的高【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算【分析】（1）取BC中点M，连接B1M，证明B1MAC，ACBC，AC平面B1C1CB，然后证明平面ACC1A1平面B1C1CB；（2）以CA为ox轴，CB为oy轴，过点C与面ABC垂直方向为oz轴，建立空间直角坐标系，设B1M=t，求出相关点的坐标，求出平
26、面AB1B法向量，平面AB1C1法向量，利用二面角BAB1C1的余弦值为，转化求解斜三棱柱的高即可【解答】解：（1）取BC中点M，连接B1M，则B1M平面ACB，B1MAC又ACBC，且B1MBC=M，AC平面B1C1CB因为AC平面ACC1A1，所以平面ACC1A1平面B1C1CB；（2）以CA为ox轴，CB为oy轴，过点C与面ABC垂直方向为oz轴，建立空间直角坐标系CA=BC=2，设B1M=t，则A（2，0，0），B（0，2，0），M（0，1，0），B1（0，1，t），C1（0，1，t）即设面AB1B法向量，同理面AB1C1法向量因为二面角BAB1C1的余弦值为，t4+29t296=0t
27、2=3，所以斜三棱柱的高为20如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： +=1（ab0）的焦距为2，且过点（，）（1）求椭圆E的方程；（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值；设过点M垂直于PB的直线为m求证：直线m过定点，并求出定点的坐标【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）由题意c=1，解出即可；（2）设P（x0，y0）（y00），即可得出直线AP的方程，令x=2，即可得到点M的坐标，利用斜率计算公式即可得出k1，k2，再利用点P在椭圆
28、上即可证明利用直线的点斜式及其的有关结论即可证明【解答】解：（1）由题意椭圆E： +=1（ab0）的焦距为2，且过点（，），c=1，解得a=2，b=，椭圆E的标准方程为（2）设P（x0，y0）（y00），则直线AP的方程为：y=（x+2）令x=2得M（2，）k1=，k2=，k1k2=，P（x0，y0）在椭圆上，=1k1k2=为定值直线BP的斜率为，直线m的斜率为km=，则直线m的方程为y=（x2）+y0=（x2）+=（x+1），所以直线m过定点（1，0）21已知函数f（x）=lnxx（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若方程f（x）=m（m2）有两个相异实根x1，x2，且x1x2，证明：x1
29、x222【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】（1）确定函数的定义域，求导数，即可求函数f（x）的单调区间；（2）证明x22，构造g（x）=lnxxm，证明g（x）在（0，1）上单调递增，即可证明结论【解答】解：（1）f（x）=lnxx的定义域为（0，+） 令f（x）0得x1，令f（x）0得0x1所以函数f（x）=lnxx的单调减区间是（1，+），单调递增区间（0，1） （2）由（1）可设f（x）=m（m2）有两个相异实根x1，x2，满足lnxxm=0且0x11，x21，lnx1x1m=lnx2x2m=0 由题意可知lnx2x2=m2ln22 又由（1）可知f（x）=lnxx在（1，+）递减
30、故x22 令g（x）=lnxxmg（x1）g（）=x2+3lnx2ln2 令h（t）=+3lntln2（t2），则h（t）=当t2时，h（t）0，h（t）是减函数，所以h（t）h（2）=2ln20所以当x22 时，g（x1）g（）0，即g（x1）g（） 因为g（x）在（0，1）上单调递增，所以x1，故x1x222 综上所述：x1x222 选修4-4：坐标系与参数方程选讲22在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的参数方程为为参数），曲线C2的极坐标方程为（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上一点，Q曲线C2上一
31、点，求|PQ|的最小值【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（1）由消去参数，得曲线C1的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化方法，得到曲线C2的直角坐标方程；（2）设P（2cos，2sin），利用点到直线的距离公式，即可求|PQ|的最小值【解答】解：（1）由消去参数，得曲线C1的普通方程为由得，曲线C2的直角坐标方程为（2）设P（2cos，2sin），则点P到曲线C2的距离为当时，d有最小值，所以|PQ|的最小值为选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|xa|+|2x1|（aR）（）当a=1时，求f（x）2的解集；（）若f（x）|2x+1|的解集包含集合，1，求实数
32、a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法【分析】（ I）运用分段函数求得f（x）的解析式，由f（x）2，即有或或，解不等式即可得到所求解集；（）由题意可得当时，不等式f（x）|2x+1|恒成立即有（x2）maxa（x+2）min求得不等式两边的最值，即可得到a的范围【解答】解：（ I）当a=1时，f（x）=|x1|+|2x1|，f（x）2|x1|+|2x1|2，上述不等式可化为或或解得或或或或，原不等式的解集为（ II）f（x）|2x+1|的解集包含，当时，不等式f（x）|2x+1|恒成立，即|xa|+|2x1|2x+1|在上恒成立，|xa|+2x12x+1，即|xa|2，2xa2，x2ax+2在上恒成立，（x2）maxa（x+2）min，所以实数a的取值范围是 2017年4月3日
