1、第二章 函数的概念、基本初等函数()及函数的应用 1.函数(1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数(3)了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)(4)理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；了解函数奇偶性的含义(5)会运用基本初等函数的图象分析函数的性质 2指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景(2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算(3)理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为 2，3，10，12，13的
2、指数函数的图象(4)体会指数函数是一类重要的函数模型 3对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用(2)理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为 2，10，12的对数函数的图象(3)体会对数函数是一类重要的函数模型(4)了解指数函数 yax(a0，且 a1)与对数函数 ylogax(a0，且 a1)互为反函数 4幂函数(1)了解幂函数的概念(2)结合函数 yx，yx2，yx3，yx12，y1x的图象，了解它们的变化情况 5函数与方程 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一
3、元二次方程根的存在性与根的个数 6函数模型及其应用(1)了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用 21 函数及其表示 1函数的概念 一般地，设 A，B 是_两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有_f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个_，记作 yf(x)，xA，其中，x 叫做，x 的取值范围 A 叫做函数的_；与 x 的值相对应的
4、 y 值叫做_，其集合f(x)|xA叫做函数的_ 2函数的表示方法(1)解析法：就是用_表示两个变量之间的对应关系的方法(2)图象法：就是用_表示两个变量之间的对应关系的方法(3)列表法：就是来_表示两个变量之间的对应关系的方法 3构成函数的三要素(1)函数的三要素是：，.(2)两个函数相等：如果两个函数的_相同，并且_完全一致，则称这两个函数相等 4分段函数 若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数 5映射的概念 一般地，设 A，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的_元素 x，在集合 B 中都有_元素 y
5、 与之对应，那么就称对应 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射 6映射与函数的关系(1)联系：映射的定义是在函数的现代定义(集合语言定义)的基础上引申、拓展而来的；函数是一种特殊的_(2)区别：函数是从非空数集 A 到非空数集 B的映射；对于映射而言，A 和 B 不一定是数集 7复合函数 一般地，对于两个函数 yf(u)和 ug(x)，如果通过变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为函数 yf(u)和 ug(x)的复合函数，记作 yf(g(x)，其中 yf(u)叫做复合函数 yf(g(x)的外层函数，ug(x)叫做 yf(g(x)的内层函数 自查自纠 1唯一确定的数 函
6、数 自变量 定义域 函数值 值域 2(1)数学表达式(2)图象(3)列出表格 3(1)定义域 对应关系 值域(2)定义域 对应关系 5任意一个 唯一确定的 6(1)映射 (2015湖北)函 数 f(x)4|x|lgx25x6x3的定义域为()A(2，3)B(2，4 C(2，3)(3，4 D(1，3)(3，6 解：依题意有 4|x|0，解得4x4，由x25x6x30，解得 x2 且 x3，由求交集得函数的定义域为(2，3)(3，4故选 C.下列各图表示两个变量 x，y 的对应关系，则下列判断正确的是()A都表示映射，都表示 y 是 x 的函数 B仅表示 y 是 x 的函数 C仅表示 y 是 x
7、的函数 D都不能表示 y 是 x 的函数 解：根据映射的定义，中，x 与 y 的对应关系都不是映射，当然不是函数关系，是映射，是函数关系故选 C.(2015全国新课标)设 函 数 f(x)1log2（2x），x1，所以f(log212)2(log 12)21 2log 626，故 f(2)f(log212)9.故选 C.(2015甘肃模拟)已 知f(x)2x，x0，f（x1），x0，则f 43_.解：由题意知 f43 f431 f13 f131 f23 22343.故填43.(2015福建)若 函 数f(x)x6，x2，3logax，x2 (a0，且 a1)的值域是 类型一 函数和映射的定义
8、下列对应是集合 P 上的函数的是_(填序号)PZ，QN*，对应关系 f：对集合 P 中的元素取绝对值与集合 Q 中的元素相对应；P1，1，2，2，Q1，4，对应关系 f：xyx2，xP，yQ；P三角形，Qx|x0，对应关系 f：对P 中三角形求面积与集合 Q 中元素对应 解：由于中集合 P 中元素 0 在集合 Q 中没有对应元素，而中集合 P 不是数集，所以和都不是集合 P 上的函数由题意知，正确故填.点拨：函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，只需要检验：定义域和对应关系是否给出；根据给出的对应关系，自变量 x 在其定义域内的每一个值是否都有唯一确定的函数值 y 与
9、之对应；集合 P，Q 是否为非空数集 给出下列四个对应：AR，BR，对应关系 f：xy，y 1x1；Aa|12aN*，Bb|b1n，nN*，对应关系 f：ab，b1a；Ax|x0，BR，对应关系 f：xy，y2x；Ax|x 是平面 内的矩形，By|y 是平面 内的圆，对应关系 f：每一个矩形都对应它的外接圆 其中是从A到B的映射的为_(填序号)解：对于，当 x1 时，y 值不存在，所以不是从 A 到 B 的映射；对于，A，B 两个集合分别用列举法表述为 A2，4，6，B1，12，13，14，由对应关系 f：ab，b1a知，是从 A 到 B 的映射；不是从 A 到 B 的映射，如 A 中元素 1
10、 对应 B中两个元素1；是从 A 到 B 的映射 故填.类型二 判断两个函数是否相等 已知函数 f(x)|x1|，则下列函数中与 f(x)相等的函数是()Ag(x)|x21|x1|Bg(x)|x21|x1|，x1，2，x1 Cg(x)x1，x0，1x，x0 Dg(x)x1 解：因为 g(x)|x21|x1|x1|，x1，2，x1 与 f(x)的定义域和对应关系完全一致，故选 B.点拨：两个函数相等的充要条件是它们的定义域和对应关系完全一致，与函数的自变量和因变量用什么字母表示无关在对函数解析式进行化简变形时应注意定义域是否发生改变(即是否是等价变形)；对于含绝对值的函数式可以展开为分段函数后再
11、判断 下列各组函数中，表示同一函数的是()Af(x)|x|，g(x)x2 Bf(x)x2，g(x)(x)2 Cf(x)x21x1，g(x)x1 Df(x)x1 x1，g(x)x21 解：A 中，g(x)|x|，所以 f(x)g(x)B 中，f(x)|x|，g(x)x(x0)，所以两函数的定义域不同 C 中，f(x)x1(x1)，g(x)x1，所以两函数的定义域不同 D 中，f(x)x1 x1(x10 且 x10)，f(x)的定义域为x|x1；g(x)x21(x210)，g(x)的定义域为x|x1 或 x1 所以两函数的定义域不同故选 A.类型三 求函数的定义域 (1)(2016江苏)函数 y
12、32xx2的定义域是_ 解：要使函数有意义，必须 32xx20，即x22x30，所以3x1.故填 (2)若函数 yf(x)的定义域为 2，2)故填(2，2 2，2)点拨：求函数定义域的原则：用列表法表示的函数的定义域，是指表格中实数 x 的集合；用图象法表示的函数的定义域，是指图象在 x 轴上的投影所对应的实数的集合；当函数 yf(x)用解析法表示时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数 x 的集合，一般通过列不等式(组)求其解集常见的条件有：分式的分母不等于 0，对数的真数大于 0，偶次根式下的被开方数大于或等于 0 等若已知函数 yf(x)的定义域为，则函数 yf(g(x)的定义域由不等式
13、 ag(x)b 解出 (1)函数 f(x)ln11x 1x2的定义域为_ 解：由条件知11x0，x0，1x20 x1或x0，x0，1x1x(0，1故填(0，1 (2)已知 f(2x)的定义域是，则 f(log2x)的定义域为_ 解：由已知 x，所以 2x12，2，故 f(x)的定义域为12，2，所以在函数 yf(log2x)中，12log2x2，即 log2 2log2xlog24，所以 2x4，故 f(log2x)的定义域为 2，4故填 2，4 类型四 求函数的值域 求下列函数的值域：(1)y1x21x2；(2)y2x 1x；(3)y2x 1x2；(4)yx22x5x1；(5)若 x，y 满
14、足 3x22y26x，求函数 zx2y2的值域；(6)f(x)|2x1|x4.解：(1)解法一：(反解)由 y1x21x2，解得 x21y1y，因为 x20，所以1y1y0，解得1y1，所以函数值域为(1，1 解法二：(分离常数法)因为 y1x21x2121x2，又因为 1x21，所以 021x22，所以112x211，所以函数的值域为(1，1(2)(代数换元法)令 t 1x(t0)，所以 x1t2，所以 y2(1t2)t2t2t22t142178.因为 t0，所以 y178，故函数的值域为，178.(3)(三角换元法)令 xcost(0t)，所以 y2costsint5sin(t)(其中co
15、s 15，sin 25)因为 0t，所以 t，所以 sin()sin(t)1.故函数的值域为(4)解法一：(不等式法)因为 yx22x5x1（x1）24x1(x1)4x1，又因为 x1 时，x10，x1 时，x10，所以当 x1 时，y(x1)4x12 44，且 当 x 3，等 号 成 立；当 x0 恒成立，所以函数的定义域为 R.由 y2x2x2x2x1，得(y2)x2(y1)xy20.当 y20，即 y2 时，上式化为 3x00，所以 x0R.当 y20，即 y2 时，因为当 xR 时，方程(y2)x2(y1)xy20 恒有实根，所以(y1)24(y2)20，所以1y5 且 y2.故函数的
16、值域为故填 (4)(2015江西模拟)设 O 为坐标原点，给定一个定点 A(4，3)，点 B(x，0)在 x 轴的正半轴上移动l(x)表示AB的长，则函数 yxl（x）的值域为_ 解：依题意有 x0，l(x)（x4）232 x28x25，所 以y xl（x）xx28x25 118x25x2.由于 18x25x2251x 4252 925，所以18x25x235，故 0y53.即 函 数 y xl（x）的 值 域 是 0，53.故 填0，53.类型五 求函数的解析式 根据要求求函数的解析式：(1)(2015福建模拟)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x1)2f(x)若当 0 x1 时，f(
17、x)x(1x)，则当1x0 时，f(x)_.(2)已知 f(x)是一次函数，并且 f(f(x)4x3，求 f(x)(3)(2015武昌模拟)已知 f1x1x 1x21x2，求f(x)(4)已知 fx1x x21x23，求 f(x)解：(1)当1x0 时，有 0 x11，故 f(x1)(x1)x(x1)，又 f(x1)2f(x)，故 f(x)12f(x1)x（x1）2.所以当1x0 时，f(x)x（x1）2.故填x（x1）2.(2)设 f(x)axb(a0)，则 f(f(x)f(axb)a(axb)b a2xabb4x3，所以a24，abb3，解得a2，b1或a2，b3.故所求的函数为 f(x)
18、2x1 或 f(x)2x3.(3)设 t1x1x，由此得 x1t1t(t1)，则 f(t)11t1t211t1t2 2t1t2，故 f(x)的解析式为 f(x)2x1x2(x1)(4)因为 fx1x x21x23x1x25，而 x1x2 或 x1x2，所以 f(x)x25(x2 或 x2)点拨：由 yf(g(x)的解析式求函数 yf(x)的解析式，应根据条件，采取不同的方法：若函数 g(x)的类型已知，则用待定系数法；已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意变量的取值范围；函数方程法(即解方程组法)，将 f(x)作为一个“未知数”，建立方程(组)，消去另外的“未知数”，便得到
19、f(x)的解析式，含 f1x 或 f(x)的类型常用此法 (1)已知 f2x1 lgx，求 f(x)的解析式(2)已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x1)2f(x1)2x17，求 f(x)的解析式(3)(2015湖南模拟)定义在(1，1)内的函数f(x)满足 2f(x)f(x)lg(x1)，求函数 f(x)的解析式(4)已知 f(2x1)4x28x3，求 f(x)的解析式 解：(1)令2x1t，由于 x0，所以 t1 且 x 2t1，所以 f(t)lg 2t1，即 f(x)lg 2x1(x1)(2)设 f(x)axb(a0)，由题意得 322x17，即 ax5ab2x17，所以a2，5a
20、b17，所以a2，b7.所以 f(x)2x7.(3)当 x(1，1)时，有 2f(x)f(x)lg(x1)x(1，1)，以x 代替 x 得，2f(x)f(x)lg(x1)由消去 f(x)得，f(x)23lg(x1)13lg(1x)，x(1，1)(4)设 2x1t，则 x12(t1)，所 以 f(2x 1)f(t)4 12（t1）2812（t1）3t22t，所以 f(x)x22x.类型六 分段函数 (1)(2016山西四校联考)定义在 R 上的函数f(x)满足f(x)log2（8x），x0，f（x1）f（x2），x0，则 f(3)的值为()A1 B2 C2 D3(2)(2014上海)设f(x)（
21、xa）2，x0，x1xa，x0.若 f(0)是 f(x)的最小值，则 a的取值范围为()A B C D(3)设 函 数f(x)x22x2，x0，x2，x0.若f(f(a)2，则 a_.解：(1)f(3)f(2)f(1)f(1)f(0)f(1)f(0)log283.故选 D.(2)因为当 x0 时，f(x)(xa)2，又 f(0)是 f(x)的最小值，所以 a0；当 x0 时，f(x)x1xa2a，当且仅当 x1 时取“”要满足f(0)是 f(x)的最小值，须 2af(0)a2，即 a2a20，解之得1a2，所以 a 的取值范围是故选 D.(3)当 a0 时，f(a)a20，f(f(a)a42a
22、222，解得 a2(a0 与 a2舍去)当 a0 时，f(a)a22a2(a1)210，f(f(a)(a22a2)22，此方程无解故填 2.点拨：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现形如 f(f(x0)的求值问题时，应从内到外依次求值(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围 (1)(2015浙江)函 数f(x)x2，x1，x6x6，x1，则 f(f(2)_.(2)已知函数 f(x)f（x1），x2，3x，x2，则f(lo
23、g32)的值为_(3)(2015山东)设函数f(x)3x1，x1，2x，x1，则满足 f(f(a)2f(a)的 a 的取值范围是()A.23，1 B C.23，D，D 项值域不是，C 项对定义域中除 2 以外的任一 x 均有两个 y 与之对应，故 A，C，D 均不符合条件故选 B.2有以下判断：f(x)|x|x 与 g(x)1，x0，1，x0 表示同一函数；函数 yf(x)的图象与直线 x1 的交点最多有 1 个；f(x)x22x1 与g(t)t22t1 是同一函数；若 f(x)|x1|x|，则 ff120.其中正确的有()A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 解：对于，由于函数 f(x)|
24、x|x 的定义域为x|xR，且 x0，而函数 g(x)1，x0，1，x0，则“f(x)0”是“x0”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件 解：若 f(x)0，则当 x0 时，f(x)x2xx(x1)0，解得 x0；当 x0 时，f(x)log2x0，解得 0 x1，所以 0 x1，所以“f(x)0”是“x0”的充分不必要条件故选 A.5某校要召开学生代表大会，规定各班每 10人推选 1 名代表，当各班人数除以 10 的余数大于 6时再增选一名代表那么，各班可推选代表人数 y与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y(表示不大于 x 的最大整数)可以
25、表示为()Ayx10 Byx310 Cyx410 Dyx510 解法一：特殊值法，若 x56，则 y5，排除C，D；若 x57，则 y6，排除 A，故 B 正确 解法二：设 x10m(09，m，N)，当 06 时，x310m310mx10，当 60，则 f(2 018)的值为()A1 B0 C1 D2 解：因为 f(2 018)f(2 017)f(2 016)f(2 016)f(2 015)f(2 016)f(2 015)，同理有f(2 015)f(2 012)，所以 f(2 018)f(33662)f(2)，f(2)f(1)1.故选 A.7 函 数 f(x)1x x3 的 值 域 是_ 解：
26、由1x0，x30，解得3x1.因为 y0，所以 y242（1x）（x3），即 y242（x1）24(3x1)从而 y2，即 y，所以函数 f(x)的值域是故填 8(2015山东模拟)已知实数 a0，函数 f(x)2xa，x1，x2a，x1.若 f(1a)f(1a)，则 a 的值为_ 解：当 a0 时，1a1，1a1.此时 f(1a)2(1a)a2a，f(1a)(1a)2a13a.由 f(1a)f(1a)，得 2a13a，解得 a32，不合题意，舍去当 a0 时，1a1，1a1.此时 f(1a)(1a)2a1a，f(1a)2(1a)a23a.由 f(1a)f(1a)，得1a23a，解得 a34.
27、综上可知，a 的值为34.故填34.9已知 f(x)是二次函数，若 f(0)0，且 f(x1)f(x)x1.(1)求函数 f(x)的解析式；(2)求函数 yf(x22)的值域 解：(1)设 f(x)ax2bxc(a0)，又 f(0)0，所以 c0，即 f(x)ax2bx.因为 f(x1)f(x)x1.所以 a(x1)2b(x1)ax2bxx1.所以(2ab)xab(b1)x1，所以2abb1，ab1，解得a12，b12.所以 f(x)12x212x.(2)由(1)知 yf(x22)12(x22)212(x22)12(x43x22)12x232218，当 x232时，y 取最小值18.所以函数
28、yf(x22)的值域为18，.10已知函数f(x)（1a2）x23（1a）x6.(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若 f(x)的值域为sgn x Bsgn sgn x Csgn sgn Dsgn sgn 解：因为 f(x)是 R 上的增函数，又 a1，所以当 x0 时，f(x)f(ax)，即 g(x)0；当 x0时，f(x)f(ax)，即 g(x)0；当 x0 时，f(x)f(ax)，即 g(x)0.由符号函数 sgn x1，x0，0，x0，1，x0可得，sgn1，x0，0，x0，1，x0sgn x故选 B.1已知集合 Ax|0 x8，集合 Bx|0 x4，则下列对应关系
29、中，不能看作从 A到 B 的映射的是()Af：xy18x Bf：xy14x Cf：xy12x Df：xyx 解：按照对应关系 f：xyx，对集合 A 中某些元素(如 x8)，集合 B 中不存在元素与之对应，故不能看作从 A 到 B 的映射选项 A，B，C 都符合题意故选 D.2(2016厦门模拟)函数 f(x)2x12x2x1的定义域是()A.x|x12 B.x|x12 C.x|x12且x1 D.x|x12且x1 解：由题意得2x10，2x2x10，解得 x12且x1.故选 D.3函数 f(x)sin（x2），1x0，ex1，x0，若f(1)f(a)2，则 a 的所有可能值为()A1 B1，2
30、2 C 22 D1，22 解：f(1)1，当 a0 时，f(a)ea1，所以 1ea 12，所以 a1；当1a0 时，f(a)sin(a2)，所以 1sin(a2)2，所以 a22 2k(kZ)，因为1a1，0，x1，x，0 x1，故 f1x f(x)，满足定义综上可知，满足“倒负”变换的函数是.故选 B.6已知函数 f(x)12x，ax0，x22x，0 x4的值域是，则实数 a 的取值范围是()A(，3 B D3 解：当 0 x4 时，f(x)；当 ax0 时，f(x)12a，1，所以12a，1 ，812a1，即3a0.故选 B.7已知 f(x1)x2x，则 f(x)_.解：设 x1t(t1
31、)，则 xt1，代入 f(x1)x2x，得 f(t)t21(t1)，所以 f(x)x21(x1)故填 x21(x1)8(2016陕西联考)设集合 Ax|0 x1，Bx|1x2，f(x)2x，xA，42x，xB，若 x0A且 f(f(x0)A，则 x0的取值范围是_ 解：因为 0 x01，所以 f(x0)整理可得这次行车总费用 y 关于 x 的表达式是 y3 600 x2x，x(2)y3 600 x2x120 2，当且仅当3 600 x2x，即 x30 2时取等号 故当 x30 2时，这次行车的总费用最低，为120 2元 10规定为不超过 t 的最大整数，例如12，4，对任意实数 x，令 f1(
32、x)，g(x)4x，进一步令 f2(x)f1(g(x)(1)若 x 716，分别求 f1(x)和 f2(x)；(2)若 f1(x)1，f2(x)3 同时成立，求 x 的取值范围 解：(1)因为 x 716时，4x74，所以 f1(x)741.因为 g(x)7474 34.所以 f2(x)f1(g(x)f134 3.(2)因为 f1(x)1，g(x)4x1，所以 f2(x)f1(4x1)3.所以14x2，316x44，所以 716x12.故 x 的取值范围是716，12.(2016广州模拟)已知映射 f：P(m，n)P(m，n)(m0，n0)设点 A(1，3)，B(2，2)，点 M 是线段 AB
33、 上一动点，f：MM.当点 M 在线段 AB 上从点 A 开始运动到点 B 结束时，点M 的对应点 M所经过的路线长度为()A.12 B.6 C.4 D.3 解：因为点 A(1，3)，B(2，2)，所以线段 AB的方程为 xy4(1x2)设 M(x，y)，则 M(x2，y2)，又因为点 M 是线段 AB 上一动点，所以 x2y24(1x 2)，所以点 M 的对应点 M的轨迹是一段圆弧，且该圆弧所对圆心角为3 4 12，所以点 M 的对应点 M所经过的路线长度为1226.故选 B.22 函数的单调性与最大(小)值 1函数的单调性(1)增函数与减函数 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I：如果对
34、于定义域 I 内某个区间 D 上的 自变量的值 x1，x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的 自变量的值 x1，x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是 (2)单调性与单调区间 如果函数 yf(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 yf(x)在这一区间具有(严格的)，区间 D 叫做 yf(x)的 2函数的最值(1)最大值 一般地，设函数 yf(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：对于任意的 xI，都有 ；存在 x0I，使得 那么，我们称
35、 M 是函数 yf(x)的最大值(2)最小值 一般地，设函数 yf(x)的定义域为 I，如果存在实数 N 满足：对于任意的 xI，都有 ；存在 x0I，使得 那么我们称 N 是函数 yf(x)的最小值 自查自纠 1(1)任意两个 增函数 任意两个 减函数(2)单调性 单调区间 2(1)f(x)M f(x0)M(2)f(x)N f(x0)N (2016北京)下列函数中，在区间(1，1)上为减函数的是()Ay 11x Bycosx Cyln(x1)Dy2x 解：选项 A 中函数 y 11x 1x1在区间(1，1)上是增函数；选项 B 中函数 ycosx 在区间(1，0)上是增函数，在区间(0，1)
36、上是减函数；选项C 中函数 yln(x1)在区间(1，1)上是增函数；选项 D 中函数 y2x12x在区间(1，1)上是减函数故选 D.(2015湖南)设函数 f(x)ln(1x)ln(1x)，则 f(x)是()A奇函数，且在(0，1)上是增函数 B奇函数，且在(0，1)上是减函数 C偶函数，且在(0，1)上是增函数 D偶函数，且在(0，1)上是减函数 解：f(x)的定义域为(1，1)，关于原点对称又f(x)ln(1x)ln(1x)f(x)，故 f(x)为奇函数显然，f(x)在(0，1)上单调递增故选 A.已知函数 f(x)loga|x|在(0，)上单调递增，则()Af(3)f(2)f(1)B
37、f(1)f(2)f(3)Cf(2)f(1)f(3)Df(3)f(1)1，f(1)f(2)f(3)又函数 f(x)loga|x|为偶函数，所以 f(2)f(2)，所以f(1)f(2)f(3)故选 B.(2014天津)函数f(x)log12(x24)的单调递增区间为_ 解：函数 yf(x)的定义域为(，2)(2，)，因为函数 yf(x)由 ylog12t 与 tg(x)x24 复合而成，又 ylog12t 在(0，)上单调递减，g(x)在(，2)上单调递减，所以函数yf(x)在(，2)上单调递增故填(，2)已知函数 f(x)x22ax3 在区间上具有单调性，则实数 a 的取值范围为_ 解：函数的对
38、称轴为直线 xa，因此要使函数f(x)在区间上具有单调性，只需 a1 或 a2.故填(，1，上是增函数，在，和；单调减区间为和时，u 为减函数，当 x，单调减区间为上是减函数；当 ax1a，又 x1x20，故 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)0)在(0，a上是减函数，在(a，)上是增函数 解法二：求导可得 f(x)1ax2.令 f(x)0，则 1ax20，解得 x a或 x a(舍)令 f(x)0，则 1ax20，解得 axa.因为 x0，所以 0 x a.所以 f(x)在(0，a上是减函数；在(a，)上是增函数 点拨：求函数的单调区间和判断函数的单调性方法一致，通常有以下几种方法：(1
39、)复合函数法：f(g(x)的单调性遵循“同增异减”的原则；(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义求解；(3)图象法：可由函数图象的直观性写出它的单调区间；(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间特别注意：单调区间必为定义域的子集 (1)函数 y122x23x1的递减区间为_ 解：作出 t2x23x1 的图象如图，因为 0121，所以 y12t单调递减要使 y122x23x1递 减，只 要 x 34，.故 填34，.(2)求证：函数 f(x)x3x 在(，)上是增函数 证法一：(定义法)任取 x1x2，则 x1x20，所以 f(x1)f(x2)(x31x1)(x32x2)(x31x
40、32)(x1x2)(x1x2)(x21x1x2x221)(x1x2)x112x2234x221 0，即 f(x1)0 在(，)上恒成立，所以 f(x)在(，)上是增函数 类型二 函数单调性的应用 (2015汕头月考)已知函数 f(x)loga(ax2x12)在1，32 上恒正，则实数 a 的取值范围是_ 解：设 g(x)ax2x12，需满足 g(x)ax2x120，即 a1x 12x2.因为 x1，32，所以1x 12x2max12，从而 a12.函数 g(x)ax2x12的对称轴为x 12a1 时，函数 f(x)在1，32 上单调递增，所以 f(1)logaa112 0，解得 a32；当12
41、a0，解得12a1.若对任意的 xR，不等式 f(x)m234m 恒成立，则实数 m 的取值范围为_ 解：易知函数 f(x)x2x，x1，log13x，x1在区间，12 上单调递增，在区间12，上单调递减，所以函数在 x12处取得最大值14，所以有14m23m4，解得 m14或 m1.故填，14 上的最大值与最小值 解：(1)证明：令 xy0，可得 f(0)f(0)f(00)f(0)，从而 f(0)0.令 yx，可得 f(x)f(x)f(xx)f(0)0，即 f(x)f(x)，故 f(x)为奇函数(2)证明：对任意 x1，x2R，不妨设 x1x2，则x1x20，于是 f(x1x2)0，从而 f
42、(x1)f(x2)ff(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)0 的解集的子集 因为函数在上是减函数，显然 0a1，2ax0，即a1，x1，2a1，所 以1a0，若 f(x)m22am1 对所有 x，a恒成立，则实数 m 的取值范围是_ 解：用x2替换 x2，得f（x1）f（x2）x1（x2）0，由于 f(x)是奇函数，所以f（x1）f（x2）x1x20，所以函数 f(x)是定义域上的增函数，所以 f(x)maxf(1)1.不等式 f(x)m22am1 对所有 x，a恒成立，即 m22am11 对任意 a恒成立，即 2mam20 对任意 a恒成立令 g(a)2mam2，则只要g
43、（1）2mm20，g（1）2mm20 即可，解得m2 或 m2 或 m0.故填(，20上单调递增，求实数 m 的取值范围 解：(1)令 x0，f(x)f(x)，即 ax2bx(x22x)所以 a1，b2，所以 ab1.(2)由(1)知，f(x)x22x，x0，x22x，x1，m21，解得 11 时，f(x)0，且对于任意的正数 x，y 都有 f(xy)f(x)f(y)(1)证明：函数 f(x)在定义域上是单调增函数；(2)如果 f13 1 且 f(x)f1x2 2，求 x的取值范围 解：(1)证明：设 0 x11，所以 fx2x1 0，所以 f(x2)f(x1)0.故 f(x)在定义域上是单调
44、增函数(2)当 xy1 时，f(1)0.令 y1x，得 f(1)f(x)f1x，所以 f1x f(x)故由 f13 1，得 f(3)1.于是 f(x)f1x2 f(x)f(x2)f(x22x)2，而 2 f(3)f(3)f(9)，则 有 f(x2 2x)f(9)所以 x 满足x22x9，x0，x20，解得 x1 10.故实数 x 的取值范围是，求函数 g(x)的最小值 解：(1)f(x)2x1xa.因为 f(x)在(0，1)上是增函数，所以 2x1xa 在(0，1)上恒成立，即 a2x1x min(x(0，1)，因为 2x1x2 2当且仅当 x 22 时，取等号，所以 a 的取值范围为a|a2
45、 2(2)设 tex，则 h(t)t2|ta(显然 t)，当 a1 时，h(t)t2ta 在区间上是增函数，所以 h(t)的最小值为 h(1)2a.当 1a2 2时，h(t)t2ta，1ta，t2ta，at3.因为函数 h(t)在区间上是增函数，在区间上也是增函数，又 h(t)在上是连续函数，所以 h(t)在上为增函数，所以 h(t)的最小值为 h(1)a，所以 g(x)min2a，a1，a，1a2 2.23 函数的奇偶性与周期性 1奇、偶函数的概念(1)偶函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 ，那么函数 f(x)就叫做偶函数(2)奇函数 一般地，如果对于函数 f(
46、x)的定义域内任意一个 x，都有 ，那么函数 f(x)就叫做奇函数 2奇、偶函数的图象特征 偶函数的图象关于 对称；奇函数的图象关于 对称 3具有奇偶性函数的定义域的特点 具有奇偶性函数的定义域关于 ，即“定义域关于 ”是“一个函数具有奇偶性”的 条件 4周期函数的概念(1)周期、周期函数 对于函数 f(x)，如果存在一个 T，使得当 x 取定义域内 的值时，都有 ，那么函数 f(x)就叫做周期函数T 叫做这个函数的周期(2)最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个 的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期 5函数奇偶性与单调性之间的关系(1)若函数 f(x)为奇函数
47、，且在上为增(减)函数，则 f(x)在上为 ；(2)若函数 f(x)为偶函数，且在上为增(减)函数，则 f(x)在上为 6奇、偶函数的“运算”(共同定义域上)奇奇 ，偶偶 ，奇奇 ，偶偶 ，奇偶 .7函数的对称性 如果函数 f(x)，xD，满足 xD，恒有 f(ax)f(bx)，那么函数的图象有对称轴 xab2；如果函数 f(x)，xD，满足 xD，恒有 f(ax)f(bx)，那么函数的图象有对称中心ab2，0.8函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数 f(x)(xD)在定义域内有两条对称轴 xa，xb(ab)，则函数 f(x)是周期函数，且周期 T2(ba)(不一定是最小正周期，下同)(2
48、)如果函数 f(x)(xD)在定义域内有两个对称中心 A(a，0)，B(b，0)(ab)，那么函数 f(x)是周期函数，且周期 T2(ba)(3)如果函数 f(x)，xD 在定义域内有一条对称轴 xa 和一个对称中心 B(b，0)(ab)，那么函数 f(x)是周期函数，且周期 T4|ba|.自查自纠 1(1)f(x)f(x)(2)f(x)f(x)2y 轴 原点 3原点对称 原点对称 必要不充分 4(1)非零常数 每一个 f(xT)f(x)(2)最小 5(1)增(减)函数(2)减(增)函数 6奇 偶 偶 偶 奇 (2015广东)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()Ayxex Byx1x
49、 Cy2x12x Dy 1x2 解：令 f(x)xex，则 f(1)1e，f(1)1e1，有 f(1)f(1)0，所以 yxex既不是奇函数也不是偶函数，而选项 B，C，D 中的函数依次是奇函数、偶函数、偶函数故选 A.(2014福建)已 知 函 数f(x)x21，x0，cosx，x0，则下列结论正确的是()Af(x)是偶函数 Bf(x)是增函数 Cf(x)是周期函数 Df(x)的值域为，关于原点对称 所以 f(x)4x2（x3）3 4x2x.所以 f(x)f(x)，所以 f(x)是奇函数(4)由9x20，x290 得 x3.所以 f(x)的定义域为3，3，关于原点对称 又 f(3)f(3)0
50、，f(3)f(3)0.所以 f(x)f(x)所以 f(x)既是奇函数，又是偶函数(5)因为函数的定义域为 R，又因为 f(x)f(x)logaloga(x x21)loga(x21x)loga(x21x)loga loga(x21x2)loga10.即 f(x)f(x)，所以 f(x)为奇函数 点拨：(1)判断函数奇偶性的步骤是：求函数定义域，看定义域是否关于原点对称，若不对称，则既不是奇函数，也不是偶函数；验证 f(x)是否等于f(x)，或验证其等价形式 f(x)f(x)0 或f（x）f（x）1(f(x)0)是否成立(2)对于分段函数的奇偶性应分段验证，但比较繁琐，且容易判断错误，通常是用图
51、象法来判断(3)对于含有 x 的对数式或指数式的函数常用“f(x)f(x)0”来判断 (1)(2015安徽模拟)若函数 f(x)k2x1k2x 在 定 义 域 上 为 奇 函 数，则 实 数 k _.解：因为 f(x)k2x1k2xk2x12xk，所以 f(x)f(x)（k2x）（2xk）（k2x1）（1k2x）（1k2x）（2xk）（k21）（22x1）（1k2x）（2xk）.由 f(x)f(x)0 对定义域中的 x 均成立可得 k21，所以 k1.故填1.(2)已知函数 f(x)ln1x1x.判断函数的奇偶性 解：由1x1x0，得1x1，即 f(x)ln1x1x的定义域为(1，1)又 f(
52、x)ln1x1xln1x1x1ln1x1xf(x)，故 f(x)为奇函数 (3)已知函数 f(x)ln(19x23x)1.判断函数的奇偶性 解：令 19x23x0，得 xR，故函数 f(x)的定义域为 R.f(x)f(x)ln(19x2 3x)1 ln(19x23x)12，故 f(x)不是奇函数；f(x)f(x)ln(19x2 3x)1 ln(19x23x)1ln(19x23x)2，不恒为0，故 f(x)不是偶函数 综上得 f(x)不具有奇偶性(4)已知函数 f(x)lg（4x2）|x2|x4|.判断函数的奇偶性 解：由4x20，|x2|x4|0，得2x2，即函数 f(x)的定义域是x|2x2
53、 又 f(x)lg（4x2）|x2|x4|lg（4x2）2xx4 16lg(4x2)，所以 f(x)16lg16lg(4x2)f(x)，故函数 f(x)是偶函数 (5)已知函数 f(x)x2x，x0，x2x，x0.判断函数的奇偶性 解：当 x0 时，f(x)x2x，x0，f(x)(x)2xx2xf(x)；当 x0 时，f(x)x2x，x0，f(x)(x)2xx2xf(x)所以 f(x)是奇函数 类型二 利用函数性质求解析式 已知函数 f(x)满足 f(x)f(x2)13.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若 f(1)2，求 f(99)的值；(3)若当 x时，f(x)x，试求 x时函数 f(
54、x)的解析式 解：(1)证明：由题意知 f(x)0，则 f(x2)13f（x）.用 x2 代替 x 得 f(x4)13f（x2）f(x)，故 f(x)为周期函数，且 4 为 f(x)的周期(2)若 f(1)2，则 f(99)f(2443)f(3)13f（1）132.(3)当 x时，x4，则 f(x4)x4，又周期为 4，所以 f(x)f(x4)x4.当 x(6，8时，x6(0，2，则 f(x6)x6，根据周期为 4，则 f(x2)f(x6)x6.又 f(x)f(x2)13，所以 f(x)13f（x2）13x6.所以解析式为 f(x)x4，4x6，13x6，6x8.点拨：本题存在规律性：若 f(
55、xa)f(x)b(常数)，则 2a 为 f(x)的周期(a0)；同理，f(xa)f(x)或 f(xa)1f（x）或 f(xa)1f（x），均可推得 2a 为 f(x)的周期(a0)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且它的图象关于直线 x1 对称(1)求证：f(x)是周期为 4 的周期函数；(2)若 f(x)x(0 x1)，求 x时，函数 f(x)的解析式 解：(1)证明：由函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称，有 f(x1)f(1x)，即有 f(x)f(x2)又函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，故有 f(x)f(x)故 f(x2)f(x)从而 f(x4)f(x2)f(x)，
56、所以 f(x)是周期为 4 的周期函数(2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数，有f(0)0.x，f(x)f(x)x.故 x时，f(x)x.x时，x4，f(x)f(x4)x4.从而，x时，函数 f(x)x4.类型三 奇偶性与单调性的综合问题 函数 f(x)的定义域为 Dx|x0，且满足对于任意 x1，x2D，有 f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求 f(1)的值；(2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果 f(4)1，f(x1)2，且 f(x)在(0，)上是增函数，求 x 的取值范围 解：(1)因为对于任意 x1，x2D，有 f(x1x2)f(x1)f(x2)，所以令 x1x
57、21，得 f(1)2f(1)，所以 f(1)0.(2)f(x)为偶函数证明如下：令 x1x21，有 f(1)f(1)f(1)，所以 f(1)12f(1)0.令 x11，x2x，有 f(x)f(1)f(x)，所以 f(x)f(x)，所以 f(x)为偶函数(3)依题设有 f(44)f(4)f(4)2，由(2)知，f(x)是偶函数，所以 f(x1)2，等价于 f(|x1|)f(16)又 f(x)在(0，)上是增函数，所以 0|x1|16，解得15x17 且 x1.所以 x 的取值范围是x|15x0 的解集为()A(，2)(2，)B(，2)(0，2)C(2，0)(2，)D(2，0)(0，2)解法一：由
58、题意得 f(x)在(0，)内是增函数，且 f(2)f(2)0.作出符合条件的 f(x)的大致图象如图所示，易得 xf(x)0 的解集为(，2)(2，)解法二：由已知得 x2 时，f(x)0；当2x0 时，f(x)0，xf(x)0.又f(x)为奇函数，则 f(x)在(0，)上是增函数，且 f(2)0.故 0 x2 时，xf(x)0；当 x2 时，xf(x)0.因此，xf(x)0 的解集为(，2)(2，)故选 A.6(2015衡水模拟)函数 f(x)在定义域 R 上的导函数是 f(x)，若 f(x)f(2x)，且当 x(，1)时，(x1)f(x)0，设 af(0)，bf(2)，cf(log28)，
59、则()Aabbc Ccab Dacb 解：当 x(，1)时，(x1)f(x)0，所以函数在(，1)上单调递增，又f(x)f(2x)，得函数 f(x)的图象关于直线 x1对称，所以函数 f(x)图象上的点距离 x1 越近函数值越大又 log283，所以 log28110 21，得 f(2)f(0)f(log28)故选 C.7 (2016温州质检)已 知 函 数 f(x)x2x1x21，若 f(a)23，则 f(a)_ 解：先将函数表达式化简为 f(x)1xx21，由此可得 f(x)1 xx21，所以有 f(x)f(x)2，即有 f(a)f(a)2，所以 f(a)43.故填43.8设函数 f(x)
60、x3x，若 02 时，f(mcos)f(1m)0 恒成立，则实数 m 的取值范围是_ 解：f(x)x3x 是 R 上的奇函数与增函数，故由 f(mcos)f(1m)0 得 f(mcos)f(1m)f(m1)，mcosm1，即 m(1cos)1 对任意 0，2 成立当 0 时，不等式 m(1 cos)0)上是单调函数，且 f(0)f(a)0，则方程 f(x)0在区间内根的个数是()A3 B2 C1 D0 解：因为 f(0)f(a)0，所以 f(x)在内至少有一个零点，又因为 f(x)在上是单调函数，所以 f(x)在上有且仅有一个零点又因为 f(x)是偶函数，所以 f(x)f(x)，所以 f(x)
61、在内有两个零点，即方程 f(x)0 在区间内根的个数为 2.故选 B.5(2016郑州二模)函数 f(x)x|xa|b是奇函数的充要条件是()Aab0 Bab0 Ca2b20 Dab 解：f(x)为奇函数，首先 f(0)0，则 b0；其次 f(x)f(x)x|xa|x|xa|xa|xa|恒成立，则 a0，即当 f(x)为奇函数时，一定有 ab0，这与 C 中条件是等价的故选 C.6已知函数 f(x)x22x，x0，x22x，x0.若 f(a)f(a)2f(1)，则 a 的取值范围是()A C D 解：易知函数 f(x)是偶函数，故 f(a)f(a)，原不等式等价于 f(a)f(1)，即 f(|
62、a|)f(1)，而函数在，且它们在上的图象如图所示，则不等式f（x）g（x）0 的解集是_ 解：依据偶函数的图象关于 y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称，先补全 f(x)与 g(x)的图象如图，因 为 f（x）g（x）0，所 以f（x）0，g（x）0或f（x）0，g（x）0.观察两函数的图象，其中一个在 x轴上方，一个在 x 轴下方，即满足要求，所以3x0 或3 x.故填3，0 3，.8设函数 yf(x)的定义域为 D，如果存在非零常数 T，对于任意 xD，都有 f(xT)Tf(x)，则称函数 yf(x)是“似周期函数”，非零常数 T为函数 yf(x)的“似周期”现有下面四个关于“似周期函数
63、”的命题：如果“似周期函数”yf(x)的“似周期”为1，那么它是周期为 2 的周期函数；函数 f(x)x 是“似周期函数”；函数 f(x)2x是“似周期函数”；如果函数 f(x)cosx 是“似周期函数”，那么“k，kZ”其中是真命题的序号是_ 解：对于，f(x1)f(x)，则 f(x)f(x1)，从而 f(x1)f(x1)，也即 f(x2)f(x)，正确；对于，xTTx(T1)xT0，由 x的任意性得T0，T10，无解，错误；对于，2(xT)T2x2T2xT2x，所以 2TT，即12TT，由函数 yx 与 y12x在第一象限有交点知 T 存在，正确；对于，cos(xT)Tcosxcos(xT
64、)Tcosx，不妨分别取 xT 及 x0得1TcosT，cosTT，解得T1，2k，kZ，T1，（2k1），kZ，正确故填.9函数 yf(x)(x0)是奇函数，且当 x(0，)时是增函数，若f(1)0，求不等式fxx123 对任意 xR 恒成立，求实数 m 的取值范围 解：(1)若 f(x)在 R 上为奇函数，则 f(0)0，令 ab0，则 f(00)f(0)f(0)k，所以 k0.证明：令 ab0，由 f(ab)f(a)f(b)，得 f(00)f(0)f(0)，即 f(0)0.令 ax，bx，则 f(xx)f(x)f(x)，又 f(0)0，则有 0f(x)f(x)，即f(x)f(x)对任意x
65、R成立，所以f(x)是奇函数(2)因为 f(4)f(2)f(2)15，所以 f(2)3.所以 f(mx22mx3)3f(2)对任意 xR 恒成立 又 f(x)是 R 上的增函数，所以 mx22mx32对任意 xR 恒成立，即 mx22mx10 对任意 xR 恒成立，当 m0 时，显然成立；当 m0 时，由m0，4m24m0，得 0m0，所以 2ag(x)h(2x)0 可化为 2ah（2x）g（x）4x4x2x2x.令 2x2 xt，x，则t32，154，4x4xt22，所以4x4x2x2xt2t.又函数 yt2t在32，154 上单调递增，所以函数 yt2t的最小值为3243176，t2t 的
66、最大值为176，所以 2a176，即 a1712.故填1712，.24 二次函数 1二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)(a0)；(2)顶点式：f(x)(a0)；(3)零点式：f(x)(a0)2二次函数的图象与性质 二次函数 f(x)ax2bxc(a0)的图象是一条抛物线，它的对称轴、顶点坐标、开口方向、值域、单调性分别是：(1)对称轴：x ；(2)顶点坐标：；(3)开口方向：a0 时，开口 ，a0 时，开口 ；(4)值域：a0 时，y ，a0时，y ；(5)单调性：a0 时，f(x)在 上是减函数，在 上是增函数；a0 时，f(x)在，b2a 上是 ，在 b2a，上是_ 3二次函数
67、、二次方程、二次不等式三者之间的关系 二次函数 f(x)ax2bxc(a0)的零点(图象与 x 轴交点的横坐标)是相应一元二次方程 ax2bxc0 的_，也是一元二次不等式 ax2bxc0(或 ax2bxc0)解集的_ 4二次函数在闭区间上的最值 二次函数在闭区间上必有最大值和最小值 它 只 能 在 区 间 的 _ 或 二 次 函 数 的_处取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值 5一元二次方程根的讨论(即二次函数零点的分布)设 x1，x2是实系数一元二次方程 ax2bxc0(a0)的两实根，则 x1，x2的分布范围与系数之间的关系如表所示 根的分布(mnp 且m，n，p 均为常数)图象 满
68、足的条件 x1x2m 0，b2a0.mx1x2 0，b2am，f（m）0.x1mx2 f(m)0，m b2a0，f（n）0.mx1nx2p f（m）0，f（n）0.mx1x2n 0，m b2an.只有一根在区间(m，n)内 f(m)f(n)0 即可，解得 00，则一次函数 yaxb 为增函数，二次函数 yax2bxc 的开口向上，故可排除 A；若a0，同理可排除D.对于选项B，由直线可知a0，b0，从而 b2abc，abc0，集合 Am|f(m)0 B mA，都有 f(m3)0 C m0A，使得 f(m03)0 D m0A，使得 f(m03)bc，abc0 可知 a0，c0，且 f(1)0，f
69、(0)c1 时，f(x)0.由 ab，得 1ba，设方程 ax2bxc0 的另一个根为 x1，则 x11ba1，即 x12，由 f(m)0 可得2m1，所以 1m30.故选 A.类型三 二次函数的最值 (2015浙江)已知函数 f(x)x2axb(a，bR)，记 M(a，b)是|f(x)|在区间上的最大值(1)证明：当|a|2 时，M(a，b)2；(2)当 a，b 满足 M(a，b)2 时，求|a|b|的最大值 解：(1)证明：由 f(x)xa22ba24，得对称轴为直线 xa2.由|a|2，得a2 1，故 f(x)在上单调，所以 M(a，b)max|f(1)|，|f(1)|当 a2 时，由
70、f(1)f(1)2a4，得 maxf(1)，f(1)2，即 M(a，b)2.当 a2 时，由 f(1)f(1)2a4，得 maxf(1)，f(1)2，即 M(a，b)2.综上，当|a|2 时，M(a，b)2.(2)由 M(a，b)2 得|1ab|f(1)|2，|1ab|f(1)|2，故|ab|3，|ab|3，由|a|b|ab|，ab0，|ab|，ab0，得|a|b|3.当 a2，b1 时，|a|b|3，且|x22x1|在上的最大值为 2，即 M(2，1)2.所以|a|b|的最大值为 3.点拨：求解二次函数在闭区间上的最值问题，关键是抓住“三点一轴”(见“名师点睛”)本题考查含有两个参数的二次函
71、数的最值问题，属于“动轴定区间”问题，首先根据已知条件判断二次函数对称轴与所给区间的关系，再依据函数单调性、不等式的性质，结合分类讨论的数学思想进行解答 f(x)x2ax12a4在区间上的最大值为 2，求 a 的值 解：f(x)xa2212a4a24.当 0a21，即 0a2 时，在区间上 f(x)max12a4a242，则 a3 或 a2，不合题意 当a21，即 a2 时，在区间上 f(x)maxf(1)3a4 122a103.当a20，即 a0 时，在区间上 f(x)maxf(0)a4122a6.综上知，a103 或 a6.类型四 二次方程根的分布 已知关于 x 的二次方程 x22mx2m
72、10.(1)若方程有两根，其中一根在区间(1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求 m 的取值范围；(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求 m 的取值范围 解：(1)条件说明抛物线 f(x)x22mx2m1 与 x 轴的交点分别在区间(1，0)和(1，2)内，作出函数 f(x)的大致图象，得 f（0）2m10，f（1）4m20 m12，mR，m56.所以56m0，f（1）4m20，（2m）24（2m1）0，0m12，m12，m1 2或m1 2，1m0.所 以12 m 12.故 m 的取值范围为m|12m1 2.点拨：对一元二次方程根的问题的研究，主要分三个方面：(1)根的个数问题，由判别式判
73、断；(2)正负根问题，由判别式及韦达定理判断；(3)根的分布问题，依函数与方程思想，通过考查开口方向、对称轴、判别式、端点函数值等数形结合求解(详见“考点梳理”)已知二次函数 f(x)x22bxc(b，cR)满足 f(1)0，且关于 x 的方程 f(x)xb0 的两个实数根分别在区间(3，2)，(0，1)内，求实数 b 的取值范围 解：由题意知 f(1)12bc0，所以 c12b，记 g(x)f(x)xbx2(2b1)xbc x2(2b1)xb1，则g（3）57b0，g（2）15b0，g（0）1b0，g（1）b10，解得b57，b15，b1，b1，即 b15，57.因此 b 的取值范围为15，
74、57.类型五 二次函数的综合应用 已知 f(x)m(x2m)(xm3)，g(x)2x2.若同时满足条件：xR，f(x)0 或 g(x)0；x(，4)，f(x)g(x)0.求实数 m 的取值范围 解：当 x1 时，g(x)1 时，g(x)0，当 x1 时，g(x)0，故 m0 不符合要求；当m0时，根据函数f(x)和函数g(x)的单调性，一定存在区间上的最值或值域问题，通常有两种类型：其一是定函数(解析式确定)，动区间(区间的端点含有参数)；其二是动函数(解析式中含有参数)，定区间(区间是确定的)无论哪种情况，解题的关键都是抓住“三点一轴”，“三点”即区间两端点与区间中点，“一轴”即为抛物线的对
75、称轴对于动函数、动区间的类型同样是抓住“三点一轴”，只不过讨论要复杂一些而已 3二次函数的综合应用 解二次函数的综合应用问题，要充分应用二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的密切关系，对所求问题进行等价转化，要注意 f(x)ax2bxc(a0)的结构特点和 a，b，c 的几何意义(可结合解析几何中的抛物线方程 x22py 理解 a 的几何意义)，注意一些特殊点的函数值，如 f(0)c，f(1)abc，f(1)abc 等 1函数 f(x)2x2mx3，当 x时是减函数，则 f(1)等于()A3 B13 C7 D5 解：由题意知 f(x)的对称轴 xm4，要使 f(x)在上是减函数，则m42，所
76、以 m8，所以 f(1)28313.故选 B.2已知 a，b，cR，函数 f(x)ax2bxc.若 f(0)f(4)f(1)，则()Aa0，4ab0 Ba0，2ab0 Daf(1)，所以 f(x)先减后增，于是 a0.故选 A.3二次函数 f(x)ax22axc 在区间上单调递减，且 f(m)f(0)，则实数 m 的取值范围是()A(，0 B 解：二次函数 f(x)ax22axc 在区间上单调递减，则 a0，图象对称轴为 x1，所以 a0，即函数图象的开口向上，且 f(0)f(2)，则当f(m)f(0)时，有 0m2.故选 D.4(2016北京西城期末)定义域为 R 的函数f(x)满足 f(x
77、1)2f(x)，且当 x(0，1时，f(x)x2x，则当 x时，f(x)的最小值为()A 116 B18 C14 D0 解：由 f(1)2f(0)得 f(0)12f(1)0，所以当 x时，f(x)x2x.设 x，则 x2，则 f(x2)(x2)2(x2)，又 f(x2)f(x1)1)2f(x1)4f(x)，所以 f(x)14(x23x2)，所以当 x32时，f(x)取最小值为 116.故选 A.5已知函数 f(x)ax2bx1(a，bR 且 a0)有两个零点，其中一个零点在区间(1，2)内，则 ab 的取值范围是()A(，1)B(1，)C(1，1)D(2，)解：易知 x1x21a0，即两根为一
78、正一负，若一 个 零 点 在 区 间(1，2)内，则f（1）ab10，a0，如图，作出点(a，b)对应的平面区域，易知点 A(0，1)使得目标函数 z ab 取得最小值，由于边界为虚线，故有 z1.故选 B.6(2016浙江)已知函数 f(x)x2bx，则“b0”是“f(f(x)的最小值与 f(x)的最小值相等”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解：由题意知 f(x)x2bxxb22b24，最小值为b24.令 tx2bx，则 f(f(x)f(t)t2 bttb22b24，tb24，当 b0 时，f(f(x)的最小值为b24，所以“b0”能推出“f
79、(f(x)的最小值与 f(x)的最小值相等”；当 b0 时，f(f(x)x4 的最小值为 0，f(x)的最小值也为 0，所以“f(f(x)的最小值与 f(x)的最小值相等”不能推出“ba 在区间上满足：恒有解，则实数 a 的取值范围为_；恒成立，则实数 a 的取值范围为_ 解：f(x)a 在区间上恒有解，则 af(x)max，又 f(x)x22x 且 x，当 x3 时，f(x)max15，故 a 的取值范围为 aa 在区间上恒成立，则 af(x)min，又因f(x)x22x 且 x，当 x1 时，f(x)min3，故 a 的取值范围为 a3.故填(，15)；(，3)8设 f(x)与 g(x)是
80、定义在同一区间上的两个函数，若函数 yf(x)g(x)在上有两个不同的零点，则称 f(x)和 g(x)在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”若 f(x)x23x4 与 g(x)2xm 在上是“关联函数”，则实数 m 的取值范围为_ 解：由题意知，yf(x)g(x)x25x4m在上有两个不同的零点在同一直角坐标系中作出函数 ym 与 yx25x4(x)的图象如图所示，结合图象可知，当 x时，yx25x494，2，故当 m94，2 时，函数 ym 与 yx25x4(x)的图象有两个交点故填94，2.9已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a，且不等式 f(x)2x 的解集为(1，3)若方程 f(
81、x)6a0 有两个相等的实根，求函数 f(x)的解析式 解：依题意可设 f(x)2xa(x1)(x3)，且 a0.于是 f(x)a(x1)(x3)2xax2(24a)x3a.由 f(x)6a0，得 ax2(24a)x9a0.所以(24a)236a205a24a10.解之得 a1(舍)或 a15.所以 f(x)15x265x35.10设二次函数 f(x)ax2bxc(a0)在区间上的最大值、最小值分别是 M，m，集合 Ax|f(x)x(1)若 A1，2，且 f(0)2，求 M 和 m 的值；(2)若 A1，且 a1，记 g(a)Mm，求 g(a)的最小值 解：(1)由 f(0)2 可知 c2.又
82、 A1，2，故 1，2 是方程 ax2(b1)x20 的两实根 所以121ba，22a，解得 a1，b2.所以 f(x)x22x2(x1)21，因此 Mf(2)10，mf(1)1.(2)由题意知，方程 ax2(b1)xc0 有两相等实根 x1.所以111ba，1ca，即b12a，ca.所以 f(x)ax2(12a)xa，其对称轴方程为 x2a12a 1 12a.又 a1，故 1 12a12，1.所以 Mf(2)9a2，mf2a12a114a.g(a)Mm9a 14a1.又 g(a)在区间上是减函数，则实数 a 的取值范围是()A(，3 B D上是减函数，则 1a4，即 a3.故选 A.2(20
83、16成都模拟)若函数 yx23x4 的定义域为，值域为254，4，则 m 的取值范围是()A(0，4 B.32，3 C.32，4 D.32，解：二次函数 yx23x4 图象的对称轴是 x32，开口向上，最小值是 ymin254，在 x32处取得，所以由函数的值域是254，4，可知 m 应该在对称轴的右边，当函数值是4 时，对应的自变量的值是 x0 或 x3，如果 m 比 3 大，那么函数值就超出254，4 这个范围，所以 m 的取值范围是32，3.故选 B.3(2016温州模拟)方程 x2ax20 在区间上有解，则实数 a 的取值范围为()A.235，B(1，)C.235，1 D.，235 解
84、法一：令 f(x)x2ax2，而 f(0)2，故只要f（1）0，f（5）0，解得235 a1.解法二：由 a2xx 在区间上单调递减知a235，1.故选 C.4函数 f(x)ax2bxc 与其导函数 f(x)在同一坐标系内的图象可能是()A B C D.解：若二次函数 f(x)的图象开口向上，则导函数 f(x)为增函数，排除 A；同理排除 D；若 f(x)2axb 过原点，则 b0，则 yf(x)的对称轴为y 轴，排除 B.故选 C.5(2016揭阳测试)已知 f(x)2x2pxq，g(x)x4x是定义在集合 Mx1x52 上的两个函数对任意的 xM，存在常数 x0M，使得f(x)f(x0)，
85、g(x)g(x0)，且 f(x0)g(x0)则函数 f(x)在集合 M 上的最大值为()A4 B.92 C6 D.892 解：利用导数可知函数 g(x)x4x在区间1，52 上的最小值为 4，最大值为 5，对任意的 xM，存在常数 x0M，使得 g(x)g(x0)，则 g(x0)g(x)min4，此时 x02.根据题意知，f(x)minf(x0)4，即二次函数 f(x)2x2pxq 的顶点坐标为(2，4)，因此 f(x)2(x2)24，在集合 M上的最大值为 f(1)6.故选 C.6(2015四川)如果函数 f(x)12(m2)x2(n8)x1(m0，n0)在区间12，2 上单调递减，那么 m
86、n 的最大值为()A16 B18 C25 D.812 解：(1)当 m2 时，二次函数 f(x)的对称轴为x8nm2.若 m0 时，f(x)x2(n8)x1，8n2 12，n9，mn0；若 0m2 时，m22 时，m20，f(x)的图象是开口向上的抛物线，则8nm22，所以2mn12，由2 2mn12，2mn得m3，n6，mn18.(2)当 m2 时，一次函数 f(x)(n8)x1单调递减，则 n8，mn2n1 时，ymaxf(1)a；当 0a1 时，ymaxf(a)a2a1；当 a|xa|至少有一个负数解，则实数 a 的取值范围是_ 解：在同一坐标系中画出函数 f(x)2x2，g(x)|xa
87、|的图象，如图所示y2x2 是开口向下的抛物线，y|xa|是与 x 轴交于(a，0)点的“V 字形”折线，显然当 a2 时，y2x2(x0)的图象都在折线下方，则当 a2 时不等式 2x2|xa|无负数解当 a2 时，由 2x2xa 得x2xa20，由 14a80 得 a94，此时 yxa 与 y2x2(x0)相切，则当 a94时，不等式亦无负数解，故94a0，解得 x3，所以 Mx|x3 f(x)2x234x42x3(2x)2，令 2xt，因为 x3，所以 t8 或 0t8 或0t2)，由二次函数性质可知，当 0t8 时，f(x)(，160)当 2xt23，即 xlog223时，ymax43
88、.综上可知，当 xlog223时，f(x)取到最大值为43，无最小值 10(2016聊城模拟)设二次函数 f(x)ax2bx(a0)满足条件：f(1x)f(1x)；函数 yf(x)的图象与直线 yx 只有一个公共点(1)求 f(x)的解析式；(2)若不等式 f(x)12tx在 t时恒成立，求实数 x 的取值范围 解：(1)因为由知 f(x)ax2bx(a0)图象的对称轴是直线 x1，所以 b2a1，b2a.因为函数 yf(x)的图象与直线 yx 只有一个公共点，所以 ax2(b1)x0 有两个相同的实根，所以(b1)20，即 b1，所以 a12.所以 f(x)12x2x.(2)因为 1，所以
89、f(x)12tx等价于f(x)tx2，即12x2xtx2 在 t时恒成立函数 g(t)xt12x2x2 0 在 t时恒成立，所以g（2）0，g（2）0，即x22x40，x26x40，解得 x3 5，故实数 x 的取值范围是(，3 5)(3 5，)已知二次函数 yf(x)图象的顶点坐标为1，12 且图象过点(0，0)(1)求 f(x)的解析式(2)是否存在实数 m，n(mn)使得函数 f(x)的定义域和值域分别是和？若存在，求出 m，n 的值；若不存在，请说明理由 解：(1)设 f(x)a(x1)212，由 f(0)0，得 a12，故 f(x)12(x1)212，即 f(x)12x2x.(2)f
90、(x)12(x1)212在 R 上的最大值是12.若存在合要求的 m，n，则 f(x)在上的最大值是2n，所以 2n12，即 n140，rQ）.3指数函数的图象及性质 定义 一般地，函数 yax(a0，且 a1)叫做指数函数 图 象 a1 0a1 定义域 _ 值域 _ 性质 过定点_ 在 R 上是_ 在 R 上是_ (二)对数函数 1对数(1)对数：如果 axN(a0，且 a1)，那么 x叫做以 a 为底 N 的 ，记作 x .其中 a 叫做对数的 ，N 叫做 (2)两类重要的对数 常用对数：以 为底的对数叫做常用对数，并把 log10N 记作；自然对数：以 为底的对数称为自然对数，并把 lo
91、geN 记作 注：(i)无理数 e2.718 28；(ii)负数和零没有对数；(iii)loga1 ，logaa .(3)对数与指数之间的关系 当 a0，a1 时，axN xlogaN.(4)对数运算的性质 如果 a0，且 a1，M0，N0，那么：loga(MN)；logaMN ；logaMn ；一般地，logamMn ；(5)换底公式及对数恒等式 对数恒等式：Naalog ；换底公式：logab (a0 且 a1；c0 且 c1；b0)特别地，logab_.2对数函数的图象及性质 定义 一般地，函数 ylogax(a0，且 a1)叫做对数函数 图象 a1 0a1 定义域 _ 值域 _ 性质
92、过定点_ 在(0，)上是 在(0，)上是 3.对数函数与指数函数的关系 对数函数 ylogax(a0，且 a1)与指数函数yax(a0 且 a1)互为反函数；它们的图象关于直线_对称(三)幂函数 1幂函数的定义 一般地，函数叫做幂函数，其中 x 是自变量，是常数 2几个常用的幂函数的图象与性质 定义 幂函数 yx(R)图象 0 0 性 质(1)图象过点 图象过点 (2)在第一象限内，函数值随 x 的增大而增大，即在(0，)上是_ 在第一象限内，函数值随 x 的增大而减小，即在(0，)上是_(3)形如 yxmn或 yxmn(m，n 为互质的正整数)类型函数的奇偶性判断：当 m，n 都为奇数时，幂
93、函数在定义域上为奇函数；当 m为奇数，n 为偶数时，幂函数在定义域上为非奇非偶函数；当 m 为偶数，n 为奇数时，幂函数在定义域上为偶函数.自查自纠(一)1(1)n 次方根 正 负 n a 两 相反数 n a n a n a 0 n 00(2)根指数 被开方数(3)a|a|2(1)1 (2)1an(3)n am(4)1n am(5)0 没有意义(6)ars ars arbr 3R(0，)(0，1)增函数 减函数(二)1(1)对数 logaN 底数 真数(2)10 lgN e lnN(iii)0 1(3)(4)logaMlogaN logaMlogaN nlogaM nmlogaM(5)N lo
94、gcblogca 1logba 2(0，)R(1，0)增函数 减函数 3yx(三)1yx 2(1)(0，0)和(1，1)(1，1)(2)增函数 减函数 (2016北京)已知 x，yR，且 xy0，则()A.1x1y0 Bsinxsiny0 C.12x12y0 解：y12x单调递减，所以12x12yy.故选 C.(2015四川)设 a，b 都是不等于 1 的正数，则“3a3b3”是“loga3logb3”的()A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 解：由 3a3b3 知，ab1，则 loga3logb3；反过来，设 0a1，b1，依然有 loga3logb3，但
95、此时 3a3b.故选 B.设函数 f(x)21x，x1，1log2x，x1，则满足f(x)2 的 x 的取值范围是()A B C上为减函数，由 f13 0，得 f13 0.所以 f(log18x)0log18x13，解得x2 或 0 x12.故填0，12(2，)类型一 指数幂的运算 化简下列各式(其中各字母均为正数)：(1)1.5 13 760 80.25 4 2 (3 2 3)62323；(2)21111332265()ababa b；(3)a438a13b4b2323 aba232332 baaa3 a25a3 a.解：(1)原式231323421422332313 2108110.(2)
96、原式111133221566ababab1 111 1 53 262 3 6ab 1a.(3)原 式 a13（a13）3（2b13）3（a13）2a13（2b13）（2b13）2a132b13a（aa23）12（a12a13）15a13(a132b13)aa132b13a56a16 a13aa23a2.点拨：指数幂的运算应注意：(1)运算的先后顺序；(2)化负数指数幂为正数指数幂；(3)化根式为分数指数幂；(4)化小数为分数 计算：(1)82310012143 168134；(2)化简：4a23b13113323 a b.解：(1)原式(23)23(102)12(2 2)3234 342210
97、126233 28 1103238625.(2)原式(6)2 13 3a1 13 3b 6a.类型二 指数函数的图象及其应用 (1)函数 f(x)axb的图象如图所示，其中 a，b 为常数，则下列结论正确的是()Aa1，b0 Ba1，b0 C0a1，b0 D0a1，b0(2)(2016衡水模拟)若曲线|y|2x1 与直线 yb 没有公共点，则 b 的取值范围是_ 解：(1)由图象知 f(x)是减函数，所以 0a1，又由图象在 y 轴的截距小于 1 可知 ab1，即 b0，所以 b0.故选 D.(2)曲线|y|2x1 与直线 yb 的图象如图所示，由图象可知：如果|y|2x1 与直线 yb 没有
98、公共点，则 b 应满足的条件是 b故填 点拨：已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应注意分类讨论有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解 (1)已知实数 a，b 满足等式 2 017a2 018b，下列五个关系式：0ba；ab0；0ab；ba0；ab.其中不可能成立的关系式有()A1 个 B2 个 C3 个 D4 个(2)(2016济宁模拟)已知函数 f(x)|2x1|，a
99、bc 且 f(a)f(c)f(b)，则下列结论中一定成立的是()Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0 C2a2c D2a2c2 解：(1)设 2 017a2 018bt，如图所示，由函数图象，可得：若 t1，则有 ab0；若 t1，则有 ab0；若 0t1，则有 ab0.故可能成立，而不可能成立故选B.(2)作出函数 f(x)|2x1|的图象，如图，因为 abc，且 f(a)f(c)f(b)，结合图象知 f(a)1，a0，c0，所以 02a1.所以 f(a)|2a1|12a1，所以 f(c)1，所以 0c1.所以 12c2，所以 f(c)|2c1|2c1，又因为 f(a)f(c)，所以 12
100、a2c1，所以 2a2c2.故选 D.类型三 指数函数的综合问题 (2015北京)设 函 数f(x)2xa，x1，4（xa）（x2a），x1.(1)若 a1，则 f(x)的最小值为_；(2)若 f(x)恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是_ 解：(1)a1时，f(x)2x1，x1，4（x1）（x2），x1.当x 1时，f(x)(1，1)，f(x)无最小值；当 x1 时，f(x)在1，32 为减函数，在32，为增函数，当 x32时，f(x)取得最小值为1.(2)若函数 g(x)2xa 在 x0，并且当 x1 时，g(1)2a0，则 0a2；此时函数 h(x)4(xa)(x2a)的图象与 x
101、 轴只有一个交点，所以 2a1 且 a1，则12a1.综合得12a1.若函数 g(x)2xa 的图象与 x 轴无交点，则函数 h(x)4(xa)(x2a)的图象与 x 轴有两个交点当 a0 时，g(x)与 x 轴无交点，h(x)4(xa)(x2a)在恒成立，求实数 m 的取值范围 解：(1)当 x0 时，f(x)0；当 x0 时，f(x)2x12x.由条件可知 2x12x2，即 22x22x10，解得 2x1 2.因为 2x0，所以 2x1 2，即 xlog2(12)(2)当 t时，2t22t 122t m2t12t 0，因为 2t0，两边同乘以 2t，即得 m(22t1)(24t1)因为 2
102、2t10，所以 m(22t1)因为 t，所以(122t)，故 m 的取值范围是上的最大值为 2，则 m2()A.14 B.2 C.32 D.12 解：作出函数 f(x)|log2x|的图象如图由题意可得 0m1n，所以 0m2m，结合图象可知函数 f(x)在上的最大值为 f(m2)，则有log2m22，m22214.故选 A.点拨：先画出对数函数 ylog2x 的图象，再利用图象变换得到函数 f(x)|log2x|的图象，通过分析函数图象对应的函数性质，比较函数值大小 若不等式(x1)2logax 在当 x(1，2)时恒成立，则实数 a 的取值范围为_ 解：设 f1(x)(x1)2，f2(x)
103、logax，要使当x(1，2)时，不等式(x1)2logax 恒成立，只需yf1(x)在(1，2)上的图象在 yf2(x)图象的下方即可 当 0a1 时，如图所示，只需 f1(2)f2(2)，即(21)2loga2，loga21，所以 10，a1，即2a0，a1，解得 1a2，即 a，求实数 a 的值 解：(1)由 f(x)的定义域为 R，知 x22ax30 的解集为 R，则 4a2120，解得 3a 3.所以 a 的取值范围为(3，3)(2)函数 f(x)的值域为 R 等价于 ux22ax3取(0，)上的一切值，所以只要 umin3a20a 3或 a 3.所以实数 a 的取值范围是(，3 3
104、，)(3)由 f(x)在 类型八 对数函数的综合问题 已知函数 f(x)loga1mxx1 是奇函数(a0，a1)(1)求 m 的值；(2)判断 f(x)在区间(1，)上的单调性；(3)当 a12时，若对于上的每一个 x 的值，不等式 f(x)12xb 恒成立，求实数 b 的取值范围 解：(1)因为 f(x)是奇函数，所以 f(x)f(x)在其定义域内恒成立，即 loga 1mxx1loga1mxx1，所以 1m2x21x2恒成立，所以 m1 或 m1(舍去)，即 m1.(2)由(1)得 f(x)logax1x1(a0，a1)，令 ux1x11 2x1，则 u 在(1，)上为减函数 所以当 a
105、1 时，f(x)在(1，)上是减函数；当 0a1 时，f(x)在(1，)上是增函数(3)对于上的每一个 x 的值，不等式 f(x)12xb 恒成立f(x)12xb 在上恒成立 令 g(x)f(x)12x，由(2)知，g(x)在上是单调递增函数，所以 bg(x)ming(3)98，即 b 的取值范围是，98.点拨：解第(1)问时要特别注意“脱去”对数符号后恒成立的等式只是 f(x)为奇函数的必要条件，而不是充要条件，所以要检验；第(2)问也可用单调函数的定义来判断，但很复杂；第(3)问利用函数与方程思想对恒成立问题进行了等价转化 已知 f(x)lg 2xaxb，f(1)0，当x0 时，恒有 f(
106、x)f1x lgx.(1)求 f(x)的解析式；(2)若方程 f(x)lg(mx)的解集是，求实数m 的取值范围 解：(1)因为当 x0 时，f(x)f1x lgx 恒成立，所以 lg 2xaxblg2bxalgx，即(ab)x2(ab)x0.因为 x0，所以上式若恒成立，则只能有 ab，又 f(1)0，即 ab2，从而 ab1，所以f(x)lg 2x1x.(2)由 lg 2xx1lg(mx)知 2xx1mx，2xx10，即x2（m1）xm0，x0，由于方程的解集为，故有如下两种情况：方程 x2(m1)xm0 无解，即 0，解得 32 2m32 2；方程 x2(m1)xm0 有解，两根均在区间
107、 内，令g(x)x2 (m 1)x m，则 有0，g（1）0，g（0）0，11m2 0，即m32 2或m32 2，1m3，无解 综合知，实数 m 的取值范围是m|3 2 2m(m2m1)12，则实数 m 的取值范围是()A.，512 B.512，C(1，2)D.512，2 解：(1)由于 f(x)为幂函数，所以 n22n21，解得 n1 或 n3，当 n3 时，f(x)在(0，)上是增函数，故舍去故选 A.(2)因为函数 yx12的定义域为 解：依题意知函数 f(x)的周期为 2，在坐标平面内画出函数 yf(x)与函数 yloga|x|的图象，如图，结合图象可知，要使函数 g(x)f(x)lo
108、ga|x|至少有 5 个零点，则有0a1，loga51 或a1，loga51，解得 0a15或 a5，即实数 a 的取值范围是0，15 时恒成立，求实数 m 的取值范围 解：(1)因为 f(x)bax的图象过点 A(1，6)，B(3，24)，所以ba6，ba324，得 a24，又 a0 且 a1，所以 a2，b3，所以 f(x)32x.(2)由(1)知1ax1bxm0 在 x(，1时恒成立可化为 m12x13x在 x(，1时恒成立令 g(x)12x13x，则 g(x)在(，1上单调递减，所以 mg(x)ming(1)121356，故所求实数 m 的取值范围是，56.10已知函数 f(x)32l
109、og2x，g(x)log2x.(1)当 x时，求函数 h(x)(f(x)1)g(x)的值域；(2)如 果 对 任 意 的x，不 等 式f(x2)f(x)kg(x)恒成立，求实数 k 的取值范围 解：(1)h(x)(42log2x)log2x2(log2x1)22，因为 x，所以 log2x，故函数 h(x)的值域为(2)由 f(x2)f(x)kg(x)，得(34log2x)(3log2x)klog2x，令 tlog2x，因为 x，所以 tlog2x，所以(34t)(3t)kt 对一切 t恒成立，当 t0 时，kR；当 t(0，2时，k（34t）（3t）t恒成立，即 kbc Babc Cbac
110、Dac120.3，所以 1ab.又 ylog0.3x 在(0，)上为减函数，所以 log0.30.2log0.30.31，即 c1，所以 ba0，a1)在上的最大值与最小值之和为 loga26，则 a 的值为()A.12 B.14 C2 D4 解：显然函数 yax与 ylogax 在上的单调性相同，因此函数 f(x)axlogax 在上的最大值与最小值之和为 f(1)f(2)(aloga1)(a2loga2)aa2loga2loga26，故 aa26，解得 a2 或 a3(舍去)故选 C.4函数 yln1x与 y x21在同一坐标系内的大致图象为()A B.C D.解：yln1x为偶函数，当
111、x0 时，yln1xlnx 为减函数，故排除 A，B；y x210，其图象在 x 轴下方，排除 D.故选 C.5设实数 a，b 是关于 x 的方程|lgx|c 的两个不同实数根，且 ab10，则 abc 的取值范围是()A(0，1)B(1，10)C(10，100)D(1，100)解：作出 y|lgx|的图象如图，由图象可知，0a1b10.又因为|lga|c，|lgb|c，所以 lgac，lgbc，即 lga lgb0，所以 ab1，于是 abcc.而 clgb1，所以 0abc1.故选 A.6设函数 f(x)exx2，g(x)lnxx23.若实数 a，b 满足 f(a)0，g(b)0，则()A
112、g(a)0f(b)Bf(b)0g(a)C0g(a)f(b)Df(b)g(a)0 解：因为函数 f(x)exx2 在 R 上单调递增，且 f(0)120，故 f(a)0 时a(0，1)又 g(x)lnxx23 在(0，)上单调递增，且 g(1)20，所以 g(a)0，故当 g(b)0 时 b(1，2)又f(1)e10，且 f(x)exx2 在 R 上单调递增，故 f(b)f(1)0.综上可知，g(a)00，且 a1，若函数 f(x)在R 上是单调递增函数，则须满足a1，3a10，loga1（3a1）14a，解得为空集 若函数 f(x)在 R 上是单调递减函数，则须满足 0a1，3a10，loga
113、1（3a1）14a，解得17a13.因为 f(x)在定义域 R 上不是单调函数，所以实数 a 的取值范围是0，17 13，1(1，)故填0，17 13，1(1，)8已知函数 f(x)x1，0 x1，2x12，x1，设ab0，若 f(a)f(b)，则 bf(a)的取值范围是_ 解：画出函数图象如图所示，由图象可知要使ab0，f(a)f(b)同时成立，则12b1，bf(a)bf(b)b(b1)b2bb12214，所以34bf(a)2.故填34，2.9(2016四川二诊)设函数 f(x)log4(4x 1)ax(aR)(1)若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，求 a的值；(2)若不等式 f(x
114、)f(x)mtm 对任意xR，t恒成立，求实数 m 的取值范围 解：(1)由函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，得 f(x)f(x)恒成立，即 log4(4x1)axlog4(4x1)ax，所以 2axlog44x14x1 log414xx，所以(2a1)x0 恒成立，则 2a10，故 a12.(2)f(x)f(x)log4(4x 1)ax log4(4 x 1)ax log4 log4(2 4x 4x)log4(22 4x4x)1，当且仅当 x0 时等号成立 所以 mtm1 对任意 t恒成立，令 h(t)mtm，由h（2）2mm1，h（1）mm1，解得1m12，故实数 m 的取值范围是1
115、，12.10(2016湖北模拟)已知函数 f(x)xk2k2(kZ)满足 f(2)0，使函数 g(x)1qf(x)(2q1)x 在区间上的值域为4，178？若存在，求出 q；若不存在，请说明理由 解：(1)因为 f(2)0，解得1k0 满足题设，由(1)知 g(x)qx2(2q1)x1，x 因为 g(2)1，所以两个最值点只能在端点(1，g(1)和顶点2q12q，4q214q处取得 而 4q214q g(1)4q214q(2 3q)（4q1）24q0，所以 g(x)max4q214q178，g(x)ming(1)23q4.解得 q2.所以存在 q2 满足题意 f(x)logax(a0 且 a1
116、)，如果对于任意的 x13，2 都有|f(x)|1 成立，求 a 的取值范围 解：由已知 f(x)logax，当 0a0，当 a1 时，f13|f(2)|loga13loga2loga230，故f13|f(2)|总成立 作 y|f(x)|的图象如图(上述结论也可由图象给出)要使 x13，2 时恒有|f(x)|1，只需f131，即1loga131，即 logaa1loga13logaa，当 a1 时，得 a113a，即 a3；当 0a1 时，得 a113a，得 0a13.综上所述，a 的取值范围是0，13 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数 yf(x)在区间 内有零点，即存在c
117、，使得 ，这个 c 也就是方程 f(x)0 的根 3二次函数的零点分布(即一元二次方程根的分布，见 2.4 节“考点梳理”5)自查自纠 1(1)f(x)0 实数根 交点的横坐标(2)有交点 有零点 零点 函数 yf(x)2f(a)f(b)0(a，b)(a，b)f(c)0 (2015安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()Aycosx Bysinx Cylnx Dyx21 解：ycosx 是偶函数且有无数多个零点，ysinx 为奇函数，ylnx 既不是奇函数也不是偶函数，yx21 是偶函数但没有零点故选 A.函数 f(x)2x|log0.5x|1 的零点个数为()A1 B2 C3 D4 解
118、：判断函数 f(x)的零点个数可转化为判断方程 f(x)2x|log0.5x|10 的根的个数，由此得到|log0.5x|12x，设 y1|log0.5x|，y212x，则两个函数 y1与 y2的交点个数即为所求，如图所示，可知交点有两个故选 B.(2014山东)已知函数 f(x)|x2|1，g(x)kx.若方程 f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是()A.0，12 B.12，1 C(1，2)D(2，)解：在同一平面直角坐标系中分别画出函数 yf(x)，yg(x)的图象如图所示，方程 f(x)g(x)有两个不相等的实根，等价于两个函数的图象有两个不同的交点结合图象可知，
119、当直线 ykx的斜率大于坐标原点与点(2，1)连线的斜率且小于直线 yx1 的斜率时符合题意，故12k1.故选B.方程 lnx82x 的实数根 x(k，k1)，kZ，则 k_.解：构 造 函 数 f(x)lnx 2x 8，所 以 f(x)1x20(x0)，则 f(x)在(0，)上单调递增，又 f(1)60，f(2)ln240，f(3)ln320，f(4)ln40，所以 f(x)的唯一零点在(3，4)内，因此 k3.故填 3.(2014苏锡模拟)已知奇函数 f(x)是 R 上的单调函数，若函数 yf(x2)f(kx)只有一个零点，则实数 k 的值是_ 解：由 f(x2)f(kx)0 得 f(x2
120、)f(kx)，因为 f(x)是奇函数，有f(kx)f(xk)，故有 f(x2)f(xk)，又 f(x)是 R 上的单调函数，所以方程 x2xk 即 x2xk0 有唯一解，由 0 解得 k14.故填14.类型一 判断函数零点所在的区间 (2014北京)已知函数 f(x)6xlog2x.在下列区间中，包含 f(x)零点的区间是()A(0，1)B(1，2)C(2，4)D(4，)解：f(x)在(0，)为减函数，又 f(1)60，f(2)20，f(4)322120.故选 C.点拨：要判断在给定区间连续的函数是否存在零点，只需计算区间端点的函数值是否满足零点存在性定理的条件；如果题目没有给出具体区间，则需
121、要估算函数值并利用函数的单调性等性质来求但应注意到：不满足 f(a)f(b)0.所以 f(x)在其定义域上是单调递增函数 因为 f14 e1440，f(0)20，f14 e1420，所以 f14 f12 0，所以 f(x)的零点所在区间为14，12.故选 C.类型二 零点个数的判断 (2015江苏)已知函数 f(x)|lnx|，g(x)0，0 x1，|x24|2，x1，则 方 程|f(x)g(x)|1 实根的个数为_ 解：由题意知，方程|f(x)g(x)|1 实根的个数即为函数 yf(x)与 y1g(x)交点个数及函数 yf(x)与 y1g(x)交点个数之和，而 y1 g(x)1，0 x1，7
122、x2，x2，x21，1x2，作图易知函数 yf(x)与 y1g(x)有两个交点，又 y1g(x)1，0 x1，5x2，x2，x23，1x2，作图易知函数 yf(x)与 y 1g(x)有两个交点，因此共有 4 个交点故填 4.点拨：(1)连续函数在区间上满足 f(a)f(b)0 时，函数在(a，b)内的零点至少有一个，但不能确定究竟有多少个要更准确地判断函数在(a，b)内零点的个数，还得结合函数在该区间的单调性、极值等性质进行判断；(2)对于解析式较复杂的函数，可根据解析式特征化为 f(x)g(x)的形式，通过考察两个函数图象的交点个数来求原函数的零点个数；(3)有时求两函数图象交点的个数，不仅
123、要研究其走势(单调性、极值点、渐近线等)，而且要明确其变化速度快慢 (2016南昌二模)已知函数 yf(x)是周期为 2 的周期函数，且当 x时，f(x)2|x|1，则函数 F(x)f(x)|lgx|的零点个数是()A9 B10 C11 D18 解：在坐标平面内画出 yf(x)与 y|lgx|的大致图象如图，由图象可知，它们共有 10 个不同的交点，因此函数 F(x)f(x)|lgx|的零点个数是10.故选 B.类型三 已知零点情况求参数范围 已知函数 f(x)x22exm1，g(x)xe2x(x0)(1)若 yg(x)m 有零点，求 m 的取值范围；(2)试确定 m 的取值范围，使得 g(x
124、)f(x)0有两个相异实根 解：(1)因为 g(x)xe2x2 e22e，等号成立的条件是 xe，故 g(x)的值域是上连续；(2)计算 f(a)，f(b)的值并判断 f(a)f(b)的符号；(3)若 f(a)f(b)0，则有实数解 除了用上面的零点存在性定理判断外，有时还需结合相应函数的图象来作出判断 3确定函数 f(x)零点个数(方程 f(x)0 的实根个数)的方法：(1)判断二次函数 f(x)在 R 上的零点个数，一般由对应的二次方程 f(x)0 的判别式 0，0，0 来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅
125、要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题(3)若函数 f(x)在上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又 f(a)f(b)0，则 yf(x)在区间(a，b)内有唯一零点 1设 f(x)是上的增函数，且 f12 f12 0，则方程 f(x)0 在内()A可能有 3 个实数根 B可能有 2 个实数根 C有唯一的实数根 D没有实数根 解：由 f(x)在上是增函数，且 f12 f12 15 Ba15或 a1 C1a15 Da1 解：由题可知函数 f(x)的图象是一条直线，所以 f(x)在区间(1，1)上存在一个零点等价于 f(1)f(1)0，即(15a)
126、(a1)0.解得 a15或a1.故选 B.3(2016广州测试)已知 e 是自然对数的底数，函数 f(x)exx2 的零点为 a，函数 g(x)lnxx2 的零点为 b，则下列不等式中成立的是()Af(a)f(1)f(b)Bf(a)f(b)f(1)Cf(1)f(a)f(b)Df(b)f(1)f(a)解：作图易知 yex与 y2x 的交点横坐标a(0，1)，ylnx 与 y2x 的交点横坐标 b(1，2)而 f(x)单调递增，所以 f(a)f(1)f(b)故选 A.4 (2014黄冈九月质检)函 数f(x)1xx22x33 cos2x 在 区 间 上 零 点 的 个 数 为()A3 B4 C5
127、D6 解：令 g(x)1xx22x33，则 g(x)1xx20，故 g(x)在 R 上单调递增，而 g(3)g(3)0，故 g(x)在(3，3)上仅有 1 个零点作图易知 ycos2x 在上有 4 个零点，且易判断这 5 个零点互不相同故选 C.5已知 x0是函数 f(x)11xlnx 的一个零点，若 x1(1，x0)，x2(x0，)，则()Af(x1)0，f(x2)0 Bf(x1)0，f(x2)0 Cf(x1)0，f(x2)0 Df(x1)0，f(x2)0 解：令 f(x)11xlnx0.从而有 lnx1x1，此方程的解即为函数 f(x)的零点在同一坐标系中作出函数 ylnx 与 y 1x1
128、的图象如图所示由图象易知，1x11lnx1，从而 lnx11x110，故 lnx111x10，即 f(x1)0.同理 f(x2)0.故选 D.6(2015浙江模拟)函数 yln|x1|的图象与函数 y2cosx(2x4)的图象所有交点的横坐标之和等于()A8 B6 C4 D2 解：作出两函数的大致图象如图所示 两函数图象都关于直线 x1 对称，且共有 6个交点，故所有交点的横坐标之和为 6.故选 B.7设 f(x)2xx4，x0 是函数 f(x)的一个正数零点，且 x0(a，a1)，其中 aN，则 a .解：因为 x0 是函数 f(x)的一个正数零点，即f(x0)02x x040，知 f(2)
129、22240，f(3)23340，所以 x0(2，3)，再由 y2x与 yx4 在(0，)上只有一个交点知 a 值惟一又因为 aN，所以 a2.故填 2.8已知函数 f(x)1x2m|x|有三个零点，则实数 m 的取值范围为_ 解：函数 f(x)有三个零点等价于方程 1x2m|x|有且仅有三个实根当 m0 时，不合题意，舍去；当 m0 时，因为 1x2m|x|1m|x|(x2)，作函数 y|x|(x2)的图象，如图所示，由图象可知 m 应满足 01m1.故填(1，)9已知函数 f(x)x1，x0，log2x，x0，求函数 yf(f(x)1 的所有零点构成的集合 解：先解方程 f(t)1，即t0，
130、t11或t0，log2t1.得 t2 或 t12.再解方程 f(x)2 和 f(x)12.即x0，x12 或x0，log2x2 和x0，x112或x0，log2x12.得 x3 或 x14和 x12或 x 2.故所求为3，12，14，2.10是否存在这样的实数 a，使函数 f(x)x2(3a2)xa1 在区间上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由 解：令 f(x)0，则(3a2)24(a1)9a216a89a892890，即 f(x)0 有两个不相等的实数根，所 以 若 实 数a满 足 条 件，则 只 需 f(1)f(3)0 即可 f(1)f(3)(
131、13a2a1)(99a6a1)4(1a)(5a1)0，所以 a15或a1.检验：当 f(1)0 时，a1，所以 f(x)x2x.此时方程在上有两个实数根1 和 0，不合题意，故 a1.当 f(3)0 时，a15，此时 f(x)x2 135 x65.令 x2135 x650，解得 x25或 x3.此时方程在上有两个实数根，不合题意，故 a15.综上所述，a 的取值范围是，15(1，)11已知二次函数 f(x)ax2bxc(a0)(1)若 f(1)0，试判断函数 f(x)的零点个数；(2)若对任意 x1，x2R，且 x10，函数 f(x)有两个零点(2)证明：令 g(x)f(x)12，则 g(x1
132、)f(x1)12f（x1）f（x2）2，g(x2)f(x2)12f（x2）f（x1）2，所以 g(x1)g(x2)142.因为 f(x1)f(x2)，所以 g(x1)g(x2)0)的图象，可将 yf(x)的图象上每点的纵坐标伸(A1 时)或缩(A0)的图象，可将 yf(x)的图象上每点的横坐标伸(a1 时)到原来的_(4)翻折变换 y|f(x)|的图象作法：作出 yf(x)的图象，将图象位于 x 轴下方的部分以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方，上方的部分不变；yf(|x|)的图象作法：作出 yf(x)在 y 轴右边的图象，以 y 轴为对称轴将其翻折到左边得 yf(|x|)在 y 轴左边的图象
133、，右边的部分不变 自查自纠 2(1)yf(xa)右 yf(x)b 下(2)y 轴 x 轴 原点 xm(3)A 倍 1a倍 若 loga20，且 a1)，则函数 f(x)loga(x1)的图象大致是()解：因为 loga20，所以 0a1，由 f(x)loga(x1)的单调性可知 A，D 错误，再由定义域知B 选项正确故选 B.为了得到函数 y2x31 的图象，只需把函数 y2x的图象上所有的点()A向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 B向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 C向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 D向左平移 3 个单位长度，再向
134、上平移 1 个单位长度 解：y2x向右平移3个单位长度y2x3 向下平移1个单位长度y2x31.故选 A.(2016全国卷)函数 y2x2e|x|在的图象大致为()解：函数 f(x)2x2e|x|在上是偶函数，其图象关于 y 轴对称，因为 f(2)8e2，08e21，所以排除 A，B 选项；当 x时，f(x)4xex 有一个零点(f(0)f(1)0)，设为 x0，当x(0，x0)时，f(x)为减函数，当 x(x0，2)时，f(x)为增函数故选 D.函数 f(x)是定义在上的偶函数，其在上的图象如图所示，那么不等式f（x）cosx 0，在2，4 上 ycosx0.由 f(x)的图象知在1，2 上
135、f（x）cosx 0，因为 f(x)为偶函数，ycosx 也是偶函数，所以 yf（x）cosx 为偶函数，所 以 f（x）cosx0的 解 集 为 2，1 1，2.故填2，1 1，2.(2016东北三校)已 知 函 数f(x)log2（1x）1，1x0，x33x2，0 xa 的值域是，则实数a 的取值范围是_ 解：先 作 出 函 数f(x)log2(1 x)1(1x0，得 x1，由f(x)0，得 0 x0)的函数等是图象变换的基础；(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换等常用方法技巧，可以帮助我们简化作图过程 作出下列函数的图象：(1)ysin|x|；(2)yx2x3.解：(1)当 x0 时，
136、ysin|x|与 ysinx 的图象完全相同，又 ysin|x|为偶函数，其图象关于 y轴对称，故作出其图象如图所示 (2)yx2x31 1x3，该函数图象可由函数 y1x向左平移3个单位再向上平移1个单位得到，故作出其图象如图所示 类型二 识图 (2015安徽)函数 f(x)axb（xc）2的图象如图所示，则下列结论成立的是()Aa0，b0，c0 Ba0，c0 Ca0，c0 Da0，b0，c0 解：由 f(x)axb（xc）2及图象可知，xc，c0，则 c0；当 x0 时，f(0)bc20，所以 b0；当 y0，axb0，所以 xba0，所以a0.故 a0，b0，c0.故选 C.点拨：函数图
137、象的辨识可从以下几方面入手：(1)从函数的定义域判断图象的左右位置；从函数的值域判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性判断图象的对称性；(4)从函数的周期性判断图象的循环往复；(5)从函数的特殊点判断图象的相对位置等本题主要是通过函数解析式判断其定义域，通过定义域判断 c 的正负，通过特殊点的位置判断 a，b 的正负 (1)(2016成都模拟)函 数 y 2x|cos2x|22x1的部分图象大致为()(2)函数 f(x)3x，x1，log13x，x1 则 yf(1x)的图象是()解：(1)依题意，注意到当 x0 时，22x10，2x|cos2x|0，此
138、时 y0；当 x0 时，22x10，2x|cos2x|0，此时 y0，结合各选项知 A 正确故选 A.(2)画出 yf(x)的图象，再作其关于 y 轴对称的图象，得到 yf(x)的图象，再将所得图象向右平移 1 个单位，得到 yf(x1)f(x1)的图象，可知 C 正确故选 C.类型三 用图 设 a 为实数，且 1x3，试讨论关于x 的方程 x25x3a0 的实数解的个数 解：原方程即 ax25x3.分别作出函数 yx25x3x522134(1x3)和 ya 的图象，得当 a134 或 a1 时，原方程的实数解的个数为 0；当 a134 或 1a3时，原方程的实数解的个数为 1；当 3a134
139、 时，原方程的实数解的个数为 2.点拨：将方程的解的个数转化为函数图象的交点的个数；通过图形直观研究方程实数解的个数，是常用的讨论方程解的一种方法 已知函数 y|x21|x1 的图象与函数 ykx2 的图象恰有两个交点，则实数 k 的取值范围是_ 解：y|x21|x1 x1，x1或x1，x1，1x1.作出该函数的图象，如图中实线所示y kx2 恒过点(0，2)，根据图象可知，当 0k1或 1k0，当 x0 时可得 x1，当 x0 时可得1x0，即函数 f(x)的定义域是(1，0)(1，)，据此排除选项 A，D.函数 yx1x单调递增，故函数 f(x)lnx1x 在(1，0)，(1，)上单调递增
140、故选 B.6已知定义在 R 上的函数 f(x)满足：f(x)2x2，x1，0），x22，x0，1），且 f(x 2)f(x)，g(x)2x5x2，则方程 f(x)g(x)在区间上的所有实根之和为()A5 B6 C7 D8 解：由题意知 g(x)2x5x2 2（x2）1x2 2 1x2，函数 f(x)的周期为 2，作出函数 f(x)，g(x)在区间上的图象如图所示，可知函数 f(x)，g(x)在区间上的交点为 A，B，C，易知点 B 的横坐标为3，若设 C 的横坐标为 t(0t0.由图象知，当 x0 时，f(x)0，所以 2m0m1)处取得最大值，而 f(x)2mxmx，所以 x0 m1m1.综
141、上，1m2.故填(1，2)8已知函数 f(x)的定义域为 R，且 f(x)2x1，x0，f（x1），x0，若方程 f(x)xa 有两个不同的实根，则实数 a 的取值范围为_ 解：x0 时，f(x)2x1，0 x1 时，10 时，f(x)是周期函数，作出 yf(x)的图象如图所示 若方程 f(x)xa 有两个不同的实根，则函数yf(x)的图象与直线 yxa 有两个不同的交点，故 a4 或 a0 时，yf(x)的图象与直线 ya 只有一个交点，方程 f(x)a 只有一个实数根，即 a 的取值范围是(，0)(4，)10已知函数 f(x)的图象与函数 h(x)x1x2 的图象关于点 A(0，1)对称(
142、1)求 f(x)的解析式；(2)若 g(x)f(x)ax，且 g(x)在区间(0，2上为减函数，求实数 a 的取值范围 解：(1)设 f(x)图象上任一点 P(x，y)，则点 P关于(0，1)点的对称点 P(x，2y)在 h(x)的图象上，即 2yx1x2，所以 yf(x)x1x(x0)(2)g(x)f(x)axxa1x，g(x)1a1x2.因为 g(x)在(0，2上为减函数，所以 1a1x2 0 在(0，2上恒成立，即 a1x2在(0，2上恒成立，所以 a14，即 a3，故 a 的取值范围是表示不超过 x 的最大整数，若函数 f(x)xx a(x0)有且仅有 3 个零点，则实数 a 的取值范
143、围是()A.34，45 43，32 B.34，45 43，32 C.12，23 54，32 D.12，23 54，32 解：当 0 x1 时，f(x)xx aa，1x2 时，f(x)xx a1xa，2x0，记为大于或等于 m 的最小整数，如4，3，4，则从甲地到乙地通话时间为 5.5 分钟的话费为_元 解：因 为f(5.5)1.06(0.50 1)1.06(0.5061)4.24.故填 4.24.(2015四川)某食品的保鲜时间 y(单位：小时)与储藏温度 x(单位：)满足函数关系 y ekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b 为常数)若该食品在0的保鲜时间是192小时，在22的保鲜时间
144、是 48 小时，则该食品在 33的保鲜时间是_小时 解：由题意，192eb，48e22kb 得192eb，12e11k，于是当x33 时，ye33kb(e11k)3eb12319224(小时)故填 24.类型一 幂型函数模型 为迎接 2017 年“双十一网购狂欢节”，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售某产品进行促销经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量 p 万件与促销费用 x 万元满足：p 3 2x1(其中 0 xa，a 为正常数)已知生产该产品还需投入成本(102p)万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为420p 元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求(1)将该产品的利润
145、 y 万元表示为促销费用 x万元的函数；(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解：(1)由题意知，y420p px(102p)，将 p3 2x1代入化简得：y16 4x1x(0 xa)(2)y17 4x1x11724x1（x1）13，当且仅当 4x1x1，即 x1 时，上式取等号 当 a1 时，促销费用投入 1 万元时，厂家的利润最大；当 a1 时，y174x1x1 在上单调递增，所以 xa 时，函数有最大值，即促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大 综上，当 a1 时，促销费用投入 1 万元，厂家的利润最大；当 a1 时，促销费用投入 a 万元，厂家的利润最大 点拨：列函数关系式时，
146、注意自变量的取值范围；求最值这里运用了均值不等式法，要特别注意取等条件通常换元法、导数法也是解这类题比较常用的方法；本题中函数的定义域含有参数，所以要对参数进行分类讨论来确定函数的最大值在何处取到，结果也要分别列出 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系式 y ax310(x6)2.其中 3x6，a 为常数已知销售价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克(1)求 a 的值；(2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大 解：(1)因为 x5 时，y11，所以a2
147、1011，a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量 y 2x310(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)(x3)2x310（x6）2 210(x3)(x6)2，3x80 时，y5，不满足条件；故该函数模型不符合公司要求 对于函数模型()ylog2x2，它在上是增函数，满足条件；当 x100 时，ymaxlog210022log255，即f(x)5 恒成立，满足条件；设 h(x)log2x215x，则 h(x)log2ex15，又 x，所以 11001x 110，所以 h(x)log2e10 15210 15 0，所 以 h(x)在 上 是 递 减 的，因 此h(x)h(1
148、0)log21040，即 f(x)x5恒成立，满足条件.故该函数模型符合公司要求 综上所述，函数模型 ylog2x2 符合公司要求 类型四 分段函数模型 某旅游景点预计 2017 年 1 月份起前 x个月的旅游人数的和 p(x)(单位：万人)与 x 的关系近似地满足 p(x)12x(x1)(392x)(xN*，且x12)已知第 x 个月的人均消费额 q(x)(单位：元)与x的 近 似 关 系 是q(x)352x，xN*，且1x6，160 x，xN*，且7x12.(1)写出 2017 年第 x 个月的旅游人数 f(x)(单位：万人)与 x 的函数关系式；(2)试问 2017 年第几个月旅游消费总
149、额最大？最大月旅游消费总额为多少元？解：(1)当 x1 时，f(1)p(1)37，当 2x12，且 xN*时，f(x)p(x)p(x1)12x(x1)(392x)12(x1)x(412x)3x240 x，验证 x1 也满足此式，所以 f(x)3x240 x(xN*，且 1x12)(2)第 x 个月旅游消费总额为 g(x)（3x240 x）（352x），xN*，且1x6，（3x240 x）160 x，xN*，且7x12，即g(x)6x3185x21 400 x，xN*，且1x6，480 x6 400，xN*，且7x12.当 1x6，且 xN*时，g(x)18x2 370 x1 400，令 g(x
150、)0，解得 x5 或 x1409(舍去)当 1x5 时，g(x)0；当 5x6 时，g(x)0.所以当 x5 时，g(x)maxg(5)3 125(万元)当 7x12，且 xN*时，g(x)480 x 6 400 是减函数，所以当 x7 时，g(x)maxg(7)3 040(万元)综上，2017 年 5 月份的旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为 3 125 万元 点拨：对于分段函数应用题，尤其是求最值问题，不仅要分段考虑，最后还要再将各段综合起来进行比较要注意分段函数值域是各段上函数值域的并集，最大(小)值是各段上最大(小)值中最大(小)的 (2015浙江模拟)为了保护环境，发展低碳经济，
151、某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一种把二氧化碳处理转化为可利用化工产品的项目经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量 x(t)之间的函数关系可近似地表示为 y13x380 x25 040 x，x120，144），12x2200 x80 000，x144，500），且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 200 元，若该项目不获利，国家将给予补偿(1)当 x时，判断该项目能否获利如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？解：(1)当 x时，设该项目获利为 S，则
152、S200 x12x2200 x80 000 12x2400 x80 00012(x400)2，所以当 x时，S0，得 2x6.所以 yBC2x18x 3x2 (2x0且 a1)图象的一部分根据专家介绍，当注意力指数 p 大于等于 80 时听课效果最佳 (1)试求 pf(t)的函数关系式；(2)教师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳？请说明理由 解：(1)t(0，14时，设 pf(t)c(t12)282(c0)，将(14，81)代入得 c14，所以 t(0，14时，pf(t)14(t12)282；t时，将(14，81)代入 yloga(t5)83，得a13，所以pf(t)14（t12
153、）282，t（0，14，log13（t5）83，t（14，40.(2)当 t(0，14时，由14(t12)28280，解得 122 2t122 2，所以 t 当 t(14，40时，由 log13(t5)8380，解得 50)由题意得乙产品投资金额与利润的关系式为：g(x)m x，将点(4，4)代入上式，可得 m2，所以乙产品的利润与投资金额间的关系式为 g(x)2 x(x0)(2)设甲产品投资 x 万元，则乙产品投资(40 x)万元，且 x，则公司所得利润为 y 3lnx32 40 x，故有 y3x140 x，令 y0，解得 10 x15，令 y0，解得 15 x30，所以 x15 为函数的极
154、大值点，也是函数的最大值点 ymax3ln1532401532.7081321.124 万元 所以当甲产品投资 15 万元，乙产品投资 25 万元时，公司获得最大利润为 21.124 万元 (2015江苏)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为 l1，l2，山区边界曲线为 C，计划修建的公路为 l.如图所示，M，N 为 C的两个端点，测得点 M 到 l1，l2的距离分别为 5 千米和 40 千米，点 N 到 l1，l2的距离分别为 20 千米和 2.5 千米以 l2，l1所在的直线分别为 x，y
155、轴，建立平面直角坐标系 xOy.假设曲线 C 符合函数 yax2b(其中 a，b 为常数)模型 (1)求 a，b 的值；(2)设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点，P 的横坐标为 t.请写出公路 l 长度的函数解析式 f(t)，并写出其定义域；当 t 为何值时，公路 l 的长度最短？求出最短长度 解：(1)由题意知，点 M，N 的坐标分别为(5，40)，(20，2.5)，将其分别代入 yax2b，得a25b40，a400b2.5，解得a1 000，b0.(2)由(1)知，y 1 000 x2(5x20)，则Pt，1 000t2，所以 y2 000 x3，所以切线 l 的方程为 y1 000t
156、22 000t3(xt)，设在点 P 处的切线 l 交 x，y 轴分别于 A，B 两点，则 A3t2，0，B0，3 000t2，所以 f(t)3t223 000t2232t24106t4，t；设 g(t)t24106t4，则 g(t)2t16106t5，令 g(t)0，解得 t10 2.当 t(5，10 2)时，g(t)0，g(t)是减函数；当 t(10 2，20)时，g(t)0，g(t)是增函数，故 t10 2时，函数 g(t)有极小值也是最小值，所以 g(t)min300，此时 f(t)min15 3.答：当 t10 2时，公路 l 的长度最短，最短长度为 15 3千米 一、选择题：本大题
157、共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1函数 y1ln（x1）的定义域为()A(1，)B C(，1 D内恰有两个不同的公共点，则实数 a 的值是()A0 B0 或12 C14或12 D0 或14 解：因为 f(x2)f(x)，所以函数 f(x)为周期函数，T2.根据 0 x1 时，f(x)x2，可画出函数 yf(x)在一个周期内的图象如图 显然 a0 时，yx 与 yx2在内恰有两不同的公共点 另当直线 yxa 与 yx2(0 x1)相切时也恰有两个公共点，由题意知 y(x2)2x1，所以 x12，即 A12，14.又 A 点在 yxa
158、 上，所以 a14.故选 D.7(2015黑龙江模拟)设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)2xx3，则 f(x)的零点个数为()A1 B2 C3 D4 解：因为函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，所以 f(0)0，所以 0 是函数 f(x)的一个零点当 x0 时，令 f(x)2xx30，则 2xx3，分别画出函数 y2x和 yx3 的图象，如图所示，有一个交点，故函数 f(x)有一个零点又根据对称性知，当 x0时函数 f(x)也有一个零点综上所述，f(x)的零点个数为 3 个故选 C.8(2016唐山模拟)已知 f(x)（12a）x3a，x1，lnx，x1 的值
159、域为 R，那么实数 a的取值范围是()A(，1 B.1，12 C.1，12 D.0，12 解：因为当 x1 时，f(x)lnx0，且函数的值域为 R，所以当 x1 时，f(x)的值须取遍所有的负数 所以12a0，（12a）13a0，解得1a12.故选 C.9若 f(x)ax21，x0，（a21）eax，x0），则函数 yf(x)g(x)在区间上零点的个数是()A7 B8 C9 D10 解：由条件可作出函数 yf(x)及 yg(x)的图象如图，当 x0 时，yf(x)与 yex的图象有 6 个交点；当 x0 时，yf(x)与 ylnx 的图象有 4 个交点，共 10 个交点故选 D.11(201
160、5湖北模拟)对于函数 f(x)，若存在区间 A，使得y|yf(x)，xAA，则称函数 f(x)为“可等域函数”，区间 A 为函数 f(x)的一个“可等域区间”下列函数中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为()Af(x)sin2 x Bf(x)2x21 Cf(x)2x1 Df(x)log2(2x2)解：选项 A 中，区间，都可以是“可等域区间”；选项 C，D 中，函数均为增函数且与yx 不可能有两个交点；选项 B 中，当区间在 y 轴左侧或右侧时，易知不可能，故 0而f(0)1，所以 m1，再令 2x21x 得 x1，所以 f(x)2x21 存在唯一的“可等域区间”故选 B.12(2015湖
161、南模拟)已知 a0 且 a1，f(x)x2ax，当 x(1，1)时，均有 f(x)12，则实数 a 的取值范围是()A.0，12 C.12，1(1，2 D.0，14 上的最大值为 4，最小值为 m，且函数 g(x)(14m)x在上的最小值为1am，最大值为 a24，解得 a2，12m，与 m14矛盾；当 0a1 时，函数 f(x)在上的最小值为 a2m，最大值为 a14，解得 a14，m 11614.所以 a14.故填 14.15已知 f(x)|2x2|，若当 0ab时，有 f(a)f(b)，则 ab的取值范围是_ 解：作 yf(x)的图象如图，依题意有 0a 2b，由 f(a)f(b)，得|
162、2a2|2b2|，即 2a2b22.所以 a2b24.所以 aba2b222，且等号不成立，所以 0ab2.故填(0，2)16(2015北京)设函数 f(x)2xa，x1，4（xa）（x2a），x1.(1)若 a1，则 f(x)的最小值为_；(2)若 f(x)恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是_ 解：(1)当 a1 时，f(x)2x1，x1，4（x1）（x2），x1，其大致图象如图所示：由图可知 f(x)的最小值为1.(2)当 a0 时，显然函数 f(x)无零点；当 0a1 时，易知 f(x)在(，1)上有一个零点，要使 f(x)恰有 2 个零点，则当 x1时，f(x)有且只有一个零点
163、，结合图象可知，2a1，即 a12，则12a1；当 a1 时，2a1，由二次函数的性质可知，当 x1 时，f(x)有 2 个零点，则要使 f(x)恰有 2 个零点，则需要 f(x)在(，1)上无零点，则 2a0，即 a2.综上可知，满足条件的 a 的取值范围是 12，1 (2)由 mlog3x 得：f(x)log3(9x)log3(3x)(2log3x)(1log3x)(2m)(1m)m32214，又因为2m2，所以当 mlog3x32，即 x 39 时 f(x)取得最小值14，当 mlog3x2，即 x9 时 f(x)取得最大值 12.18(12 分)若函数 f(x)4xm2xm 有且只有一
164、个零点，求实数 m 的取值范围 解：设 t2x，则 f(x)有且只有一个零点等价于方程 t2mtm0 有且只有一个正实根 若 t2mtm0 有一根为 0 时，则 t1t2m0，则 t1t2m0，所以 t1t20，不合题意，应舍去；若 t2mtm0 有一正实根和一负实根时，则 t1t2m0，即 m0，t1t2m0.解得 m4.综上可知，实数 m 的取值范围是m|m0 或 m4 19(12 分)已知函数 f(x)a 1|x|.(1)求证：函数 yf(x)在(0，)上是增函数(2)若 f(x)2x 在(1，)上恒成立，求实数 a 的取值范围 解：(1)证明：当 x(0，)时，f(x)a1x，设 0
165、x10，x2x10，f(x2)f(x1)a1x2 a1x1 1x11x2x2x1x1x2 0，所以 f(x)在(0，)上是增函数(2)由题意 a1x2x 在(1，)上恒成立，设 h(x)2x1x，则 ah(x)在(1，)上恒成立 任取 x1，x2(1，)且 x1x2，h(x1)h(x2)(x1x2)2 1x1x2.因为 1x1x2，所以 x1x21，所以 2 1x1x20，所以 h(x1)h(x2)，所以 h(x)在(1，)上单调递增 故 ah(1)即 a3，所以实数 a 的取值范围是(，3 20(12 分)(2014南通二模)为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒 1 个
166、单位的净化剂，空气中释放的净化剂浓度 y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：天)变化的函数关系式近似为 y 168x1，0 x4，512x，4x10.若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次喷洒的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于 4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用(1)若一次喷洒 4 个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷洒 2 个单位的净化剂，6 天后再喷洒 a(1a4)个单位的净化剂，要使接下来的 4 天中能够持续有效净化，试求 a 的最小值(精确到 0.1，参考数据：2取 1.4)解：(1)因为一次喷洒 4 个单位的
167、净化剂，所以浓度 f(x)4y 648x4，0 x4，202x，4x10.则当 0 x4 时，由 648x44 解得 0 x8，所以此时 0 x4.当 4x10 时，由 202x4 解得 x8，所以此时 40 且 a1)是定义域为 R 的奇函数(1)若 f(1)0，试求不等式 f(x22x)f(x4)0 的解集；(2)若 f(1)32，且函数 g(x)a2xa2x4f(x)，求函数 g(x)在上单调递减；当 xa 时，f(x)2x(2a1)2(xa)10，所以 f(x)在区间(a，)上单调递增(3)令 h(x)f(x)4x(x0)，由(2)得，h(x)x2（2a1）x2a4x，0 xa，x2（
168、2a1）x4x，xa，则 h(x)2x（2a1）4x2，0 xa，2x（2a1）4x2，xa，当 0 xa 时，h(x)2x(2a1)4x2 2(xa)14x2a 时，因为 a2，所以 x2，即 04x20，所以 h(x)在区间(a，)上单调递增 因为 h(1)40，h(2a)2a2a0，若 a2，则 h(a)a2a4a42 20，此时 h(x)在(0，)上有唯一一个零点；若 a2，则 h(a)a2a4a a3a24aa2（a1）4a0，此时 h(x)在区间(0，a)上和(a，)上各有一个零点，共两个零点 综上，当 a2 时，f(x)4x在区间(0，)上有一个零点；当 a2 时，f(x)4x在区间(0，)上有两个零点
