1、章末质量检测(一)空间向量与立体几何一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1以下四组向量：a(1，2,1)，b(1,2，1)；a(8,4,0)，b(2,1,0)；a(1,0，1)，b(3,0,3)；a，b(4，3,3)其中互相平行的是()A BC D2已知向量a(2，3,5)与b(4，x，y)平行，则x，y的值为()A6和10 B6和10C6和10 D6和103在四面体OABC中，点P为棱BC的中点设a，b，c，那么向量用基底a，b，c可表示为()Aabc BabcCabc D.abc4正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与
2、平面ACD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.5已知长方体ABCDA1B1C1D1，下列向量的数量积一定不为0的是()AAD1B1CBBD1C.AD1DBD16已知A(4,6，1)，B(4,3,2)，则下列各向量中是平面AOB的一个法向量的是()A(0,1,6) B(1,2，1)C(15,4,36) D(15,4，36)7四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)，则PA与底面ABCD的关系是()A相交 B垂直 C不垂直 D成60角8已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE与平面SBC所成的角的余弦值为()A.
3、B. C. D.9如图所示，在四面体PABC中，PC平面ABC，ABBCCAPC，那么二面角BAPC的余弦值为()A. B.C. D.10已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是边AB，AD的中点，GC垂直于正方形ABCD所在平面，且GC2，则点B到平面EFG的距离为()A3 B. C. D.11已知四棱锥OABCD中，a，b，c，点M在OA上，且OM2MA，N为BC中点，则()A.abc B.abcCabc D.abc12将正方形ABCD沿对角线BD折成一个直二面角，点C到达点C1，则异面直线AB与C1D所成角是()A90 B60 C45 D30二、填空题(本大题共4个小题，每小题
4、5分，共20分把答案填在题中的横线上)13若a(2，3,5)，b(3,1，4)，则|a2b|_.14在空间直角坐标系中，已知a(2，1,3)，b(4,2，x)若ab，则x_. 15如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为ABC的重心，E是BD上一点，BE3ED，以，为基底，则_.16已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是A1B1的中点，则直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值为_三、解答题(本大题共6个小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)在四棱锥PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BAD90，ADBC，ABBCa，AD2
5、a，且PA底面ABCD，PD与底面成30角(1)若AEPD，E为垂足，求证：BEPD；(2)求异面直线AE与CD所成角的余弦值18(12分)如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点E为棱PC的中点(1)证明：BEDC；(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(3)若F为棱PC上一点，满足BFAC，求二面角FABP的余弦值19(12分)如图，在三棱锥PABC中，PAPBAB2，BC3，ABC90，平面PAB平面ABC，D，E分别为AB，AC中点(1)求证：DE平面PBC；(2)求证：ABPE；(3)求二面角A PB E的大小20(12分)如
6、图，已知四棱锥P ABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD2，侧面PBC底面ABCD，O是BC的中点，AO交BD于E.(1)求证：PABD；(2)求二面角PDCB的大小；(3)求证：平面PAD平面PAB.21(12分)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADCD，ADBC，PAADCD2，BC3.E为PD的中点，点F在PC上，且.(1)求证：CD平面PAD；(2)求二面角FAEP的余弦值；(3)设点G在PB上，且.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由22(12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1
7、C1，CC1的中点，ABBC，ACAA12.(1)求证：AC平面BEF；(2)求二面角BCDC1的余弦值；(3)证明：直线FG与平面BCD相交章末质量检测(一)空间向量与立体几何1解析：因为a(1，2,1)b(1,2，1)，所以ab；a(8,4,0)，b(2,1,0)，a4b，所以ab；a(1,0，1)，b(3,0,3)，ab，所以ab；a，b(4，3,3)，ab，所以ab，因此选D.答案：D2解析：因为向量a(2，3,5)与b(4，x，y)平行，所以解得x6，y10.答案：B3解析：由向量减法的三角形法则可知，因为P为棱BC的中点，由向量加法的平行四边形法则可知()，所以()abc.故B正确
8、答案：B4.解析：不妨设正方体的棱长为1，如图，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)平面ACD1的法向量为DB1(1,1,1)，又BB1(0,0,1)，则cosDB1，BB1.故BB1与平面ACD1所成角的余弦值为 .答案：D5解析：当长方体的侧面AA1D1D与BB1C1C为正方形时，AD1B1C，所以AD1B1C0；当长方体的底面为正方形时，BD1，所以BD10；由长方体的性质知AB平面AA1D1D，所以AD1，所以AD10；无论长方体具体何种结构，都不可能有BD1，也就不可能有BD10，故选D.答案：D6解析：设法向量为(x，y，z)，则解得令y4，
9、则得法向量为(15,4，36)答案：D7解析：0，0，PAAB，PAAD.又ABADA，PA平面ABCD.答案：B8解析：设AE与平面SBC所成的角为，以底面中心O为原点，以射线OA为x轴正半轴，以射线OB为y轴正半轴，以射线OS为z轴正半轴，建立空间直角坐标系，设底面边长为，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，S(0,0,1)，E，所以(1，1,0)，(0,1，1)，设平面SBC的法向量为n(x，y，z)，则即令x1，所以n(1，1，1)因为cos，所以cos .故选B.答案：B9解析：如图所示，作BDAP于D，作CEAP于E.设AB1，则易得CE，EP，PAPB，可以求
10、得BD，ED.因为，所以2222222，所以，所以cos，由图知，二面角BAPC的余弦值为.故选C.答案：C10解析：如图，建立空间直角坐标系，则B(0,4,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)，(2,4，2)，(4,2，2)，设n(x，y，z)是平面EFG的一个法向量，则即令x1，则y1，z3，则n(1,1,3)，而(2,0,0)，故d.答案：D11解析：()()abc.答案：C12.解析：方法一：如图，则ABCD，所以C1D与CD所成的角即为异面直线AB与C1D所成角，设正方形边长为2，则OCOC1，所以CC12，所以CC1D为等边三角形，故异面直线AB与C1D所成角
11、是60.方法二：设正方形边长为2，则OAOBOCODOC1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0)，B(，0,0)，C1(0,0，)，D(，0,0)所以(，0)，DC1(，0，)，所以cos，故异面直线AB与C1D所成角是60.答案：B13解析：a2b(8，5,13)，|a2b|.答案：14解析：因为ab，所以ab2(4)(1)23x0，解得x.答案：15解析：连接AE，则().答案：16解析：如图，建立空间直角坐标系，(0,1,0)，AD1(1,0,1)，.设平面ABC1D1的法向量为n(x，y，z)，由可解得n(1,0,1)设直线AE与平面ABC1D1所成的角为，则sin .答案：1
12、7解析：(1)证明：PA平面ABCD，PAAB.又ABAD，PAADA，AB平面PAD，ABPD.又AEPD，ABAEA，PD平面ABE，故BEPD.(2)以A为原点，AB，AD，AP所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点C，D的坐标分别为(a，a,0)，(0,2a,0)PA平面ABCD，PDA是PD与底面ABCD所成的角，PDA30.于是，在RtAED中，由AD2a，得AEa.过E作EFAD，垂足为F，在RtAFE中，由AEa，EAF60，得AF，EFa，E.于是，(a，a,0)设与的夹角为，则由cos .AE与CD所成角的余弦值为.18解析：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图
13、)，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)(1)证明：向量(0,1,1)，(2,0,0)，故0，所以BEDC.(2)向量(1,2,0)，(1,0，2)设n(x，y，z)为平面PBD的法向量，则即不妨令y1，可得n(2,1,1)为平面PBD的一个法向量于是有cosn，.所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.(3)向量(1,2,0)，(2，2,2)，(2,2,0)，(1,0,0)由点F在棱PC上，设，01.故(12，22，2)由BFAC，得0，因此，2(12)2(22)0，解得.即.设n1(x，y，z)为平面FAB的法
14、向量，则即不妨令z1，可得n1(0，3,1)为平面FAB的一个法向量取平面ABP的法向量n2(0,1,0)则cosn1，n2.易知，二面角FABP是锐角，所以其余弦值为.19解析：(1)证明：D，E分别为AB，AC中点，DEBC.又DE平面PBC，BC平面PBC，DE平面PBC.(2)证明：连接PD，PAPB，D为AB中点，PDAB.DEBC，BCAB，DEAB.又PDDED，PD平面PDE，DE平面PDE，AB平面PDE，又PE平面PDE，ABPE.(3)平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABCAB，PDAB，PD平面ABC.如图，以D为原点建立空间直角坐标系，B(1,0,0)，P(0,0
15、，)，E，(1,0，)，.设平面PBE的法向量n1(x，y，z)，令z，得n1(3,2，)DE平面PAB，平面PAB的法向量为n2(0,1,0)设二面角APBE的大小为，由图知，cos |cosn1，n2|，60，二面角APBE的大小为60.20解析：解法一：(1)证明：PBPC，POBC.又平面PBC平面ABCD，平面PBC平面ABCDBC，PO平面ABCD.在梯形ABCD中，可得RtABORtBCD，BEOOABDBADBCDBA90，即AOBD.PA在平面ABCD内的射影为AO，PABD.(2)DCBC，且平面PBC平面ABCD，DC平面PBC.PC平面PBC，DCPC，PCB为二面角P
16、DCB的平面角PBC是等边三角形，PCB60，即二面角PDCB的大小为60.(3)证明：取PB的中点N，连接CN.PCBC，CNPB，ABBC，且平面PBC平面ABCD，AB平面PBC.AB平面PAB，平面PBC平面PAB.由，知CN平面PAB.取PA的中点M，连接DM，MN，则由MNABCD，MNABCD，得四边形MNCD为平行四边形，CNDM，DM平面PAB.DM平面PAD，平面PAD平面PAB.解法二：取BC的中点O，因为PBC是等边三角形，由侧面PBC底面ABCD，得PO底面ABCD.以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系O
17、xyz.(1)证明：CD1，在直角梯形中，ABBC2，在等边三角形PBC中，PO，A(1，2,0)，B(1,0,0)，D(1，1,0)，P(0,0，)，(2，1,0)，(1，2，)，(2)1(1)(2)0()0，即PABD.(2)取PC中点N，则.(0,2,0)，(1,0，)，00200，1000，平面PDC，显然(0,0，)，且平面ABCD，的夹角等于所求二面角的平面角000，|，|，cos，二面角PDCB的大小为60.(3)证明：取PA的中点M，连接DM，则M的坐标为.又，(1,0，)，10(2)()0，100()0，即DMPA，DMPB.又PAPBP，DM平面PAB，平面PAD平面PAB
18、.21解析：(1)由于PA平面ABCD，CD平面ABCD，则PACD，由题意可知ADCD，且PAADA，由线面垂直的判定定理可得CD平面PAD.(2)以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD，AP方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，易知：A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，由可得点F的坐标为F，则，由可得E(0,1,1)，则(0,1,1)，设平面AEF的法向量为：m(x，y，z)，则据此可得平面AEF的一个法向量为：m(1,1，1)，很明显平面AEP的一个法向量为n(1,0,0)，cosm，n，二面角FAEP的平面角为锐
19、角，故二面角FAEP的余弦值为.(3)易知P(0,0,2)，B(2，1,0)，由可得G，则，由(2)知平面AEF的一个法向量为：m(1,1，1)，又m0且点A在平面AEF内，故直线AG在平面AEF内22解析：(1)在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，四边形A1ACC1为矩形又E，F分别为AC，A1C1的中点，ACEF.ABBC.ACBE，又EFBEE，EF平面BEF，BE平面BEF，AC平面BEF.(2)由(1)知ACEF，ACBE，EFCC1.又CC1平面ABC，EF平面ABC.BE平面ABC，EFBE.如图建立空间直角坐标系Exyz.由题意得B(0,2,0)，C(1,0,0)，D(1,0,1)，F(0,0,2)，G(0,2,1)(2,0,1)，(1,2,0)，设平面BCD的法向量为n(a，b，c)，令a2，则b1，c4，平面BCD的法向量n(2，1，4)，又平面CDC1的法向量为(0,2,0)，cosn.由图可得二面角BCDC1为钝角，所以二面角BCDC1的余弦值为.(3)由(2)知平面BCD的法向量为n(2，1，4)，G(0,2,1)，F(0,0,2)，(0，2,1)，n2，n与不垂直，GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内，GF与平面BCD相交
