1、数学试卷一、单选题（每题5分共90分）1已知集合，则（ ）A B C D2复数上的虚部为（ ）A B C D3设，为正数，且，则的最小值为（ ）A B C D4等差数列的前项和记为，若的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是（ ）A B C D5已知直线：与两坐标轴交于，两点，当点满足时，实数的值为( )A B0 C D26已知为边的两个三等分点，则（ ）A B C D7如图直角坐标系中，角、角的终边分别交单位圆于、两点，若点的纵坐标为，且满足，则的值为( )ABCD8已知圆和两点，若圆C上至少存在一点P，使得，则m的取值范围是（ ）ABCD9关于函数有如下命题：； 函数的图象关于原点中
2、心对称；函数的定义域与值域相同； 函数的图象必经过第二、四象限.其中正确命题的个数是（ ）A4B3C2D110如图，四边形是边长为2的正方形，平面，平面，则四面体的体积为（ ）ABC1D11已知椭圆（）的右焦点为，上顶点为，直线上存在一点满足，则椭圆的离心率取值范围为（ ）ABCD12已知，是过抛物线（）焦点的直线与抛物线的交点，是坐标原点，且满足，则抛物线的标准方程为（ ）ABCD13若，则的大小关系是（ ）ABCD14已知抛物线上有三点，的斜率分别为3，6，则的重心坐标为（ ）ABCD15设是过抛物线的焦点的一条弦（与轴不垂直），其垂直平分线交轴于点，设，则（ ）ABCD16已知双曲线的左
3、，右焦点分别为、，点在双曲线上，且，的平分线交轴于点，则（ ）ABCD17在棱长为2的正方体中，点M是对角线上的点（点M与A、不重合），则下列结论正确的个数为（ ）存在点M，使得平面平面；存在点M，使得平面；若的面积为S，则；若、分别是在平面与平面的正投影的面积，则存在点M，使得.A1个B2个C3个D4个18已知抛物线,其准线与轴的交点为,过焦点的弦交抛物线于两点,且,则( )ABCD二、填空题（每题5分共15分）19（1）已知函数在上不单调，则实数的取值范围为_.（2）角A为的锐角内接于半径为的圆，则的取值范围为_（3）已知椭圆方程为，是椭圆上的任意三点（异于椭圆顶点），若存在锐角，使 （为
4、坐标原点）则直线的斜率乘积为_.三、解答题（每题15分共45分）20数列中，（为常数）.（1）若，成等差数列，求的值；（2）是否存在，使得为等比数列？并说明理由.21在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，是棱上的一点（不与、点重合）.（1）若平面，求的值；（2）求二面角的余弦值.22如图，椭圆：的左右焦点分别为，离心率为，过抛物线：焦点的直线交抛物线于两点，当时，点在轴上的射影为，连接并延长分别交于两点，连接，与的面积分别记为，设.（1）求椭圆和抛物线的方程；（2）求的取值范围.答案1-5 C A D C B 6-10 D C B A B 11-15 C A B C A 16-18 B C C
5、14设则，得，同理，三式相加得，故与前三式联立，得，则.故所求重心的坐标为，故选C.15解：设抛物线的准线为，分别从点、作的垂线、，垂足分别为、.设中点，中点，连接，由抛物线定义有：，直角三角形中，又：，为平行四边形，因此，16不妨设在双曲线的右支，由余弦定理：由双曲线方程：代入可得： 代入可得： 17连接,设平面与对角线交于M,由,可得平面,即平面,所以存在点M,使得平面平面,所以正确；连接,由,利用平面与平面平行的判定,可证得平面平面,设平面与交于M,可得平面,所以正确；连接交于点O,过O点作,在正方体中,平面,所以,所以OM为异面直线与的公垂线,根据,所以,即,所以的最小面积为,所以若的
6、面积为S,则,所以不正确；在点从的中点向着点A运动的过程中,从1减少趋向于0,即,从0增大到趋向于2,即,在此过程中,必存在某个点使得,所以是正确的,综上可得是正确的,18 如图所示,过点A分别作x轴和准线的垂线,垂足分别为H,A1.根据题意,知,故.同理可得故.故选C19(1)(2) (3) (2) ，其中锐角满足：又为锐角三角形，由，知：，又，(3) 设，由得，而点在椭圆上，.20（）由a1=2，得，则， 4分由，a4成等差数列，得a2=a4-a1，即，解得：p=1； 7分（）假设存在p，使得an为等比数列，则，即，则2p=p+2，即p=2 9分此时， ， 12分而，又，所以，而，且， 1
7、4分存在实数，使得an为以2为首项，以2为公比的等比数列 15分21（1）证明：因为平面，平面,平面平面，所以， 所以， 2分因为， 所以. 4分所以. 6分（2）解：以为坐标原点，的方向为轴，轴，轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则点. 8分则.设平面的一个法向量为，则，即，得.令，得； 11分易知平面的一个法向量为， 12分设二面角的大小为，则.故二面角的余弦值为. 15分22（）由抛物线定义可得，点M在抛物线上，即 3分又由，得 4分将上式代入，得解得 ，所以曲线的方程为，曲线的方程为 6分 （）设直线的方程为，由消去y整理得，设，.则， 8分设， 则，所以， 设直线的方程为 ，由，解得，所以，10分由可知，用代替，可得， 由，解得，所以， 12分用代替，可得所以 14分，当且仅当时等号成立所以的取值范围为. 15分
