1、第一章 常用逻辑用语1.4.3 含有一个量词的命题的否定第一章 常用逻辑用语考点学习目标核心素养 全 称 命 题 的否定掌握对全称命题否定的方法数学抽象 特 称 命 题 的否定掌握对特称命题否定的方法数学抽象问题导学预习教材 P24P25,并思考下列问题：全称命题与特称命题的否定分别是什么命题？含有一个量词的命题的否定pp结论 全称命题xM,p(x)x0M,p(x0)全称命题的否定是_ 特称命题x0M,p(x0)_ 特称命题的否定是_ 特称命题xM,綈 p(x)全称命题名师点拨(1)要否定全称命题“xM,p(x)”,只需在 M 中找到一个 x0,使得 p(x0)不成立,也就是命题“x0M,p(
2、x0)”成立.(2)要否定特称命题“x0M,p(x0)”,需要验证对 M 中的每一个 x,均有 p(x)不成立,也就是命题“xM,p(x)”成立.在书写这两种命题的否定时,要将相应的存在量词变为全称量词,全称量词变为存在量词.提醒 一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论,得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定,是在否定结论 p(x)的同时,改变量词的属性,即将全称量词改为存在量词,存在量词改为全称量词.判断(正确的打“”,错误的打“”)(1)命题p 的否定是 p.()(2)x0M,p(x0)与xM,p(x)的真假性相反.()(3)从特称命题的否定看,是对“量词”和“p
3、(x)”同时否定.()命题“对于任意的 xR,x3x210”的否定是()A.不存在 xR,x3x210B.存在 x0R,x30 x2010C.对任意的 xR,x3x210D.存在 x0R,x30 x2010解析：选 D.全称命题的否定是特称命题,故排除 C；由命题的否定只否定结论,不否定条件,故排除 A,B.命题“x0R,x302x010”的否定是()A.x0R,x302x010B.不存在 xR,x32x10C.xR,x32x10D.xR,x32x10解析：选 D.特称命题的否定是全称命题,故排除 A；由命题的否定要否定结论,故排除 C；由存在量词“”应改为全称量词“”,故排除 B.命 题“所
4、 有 能 被 2 整 除 的 数 都 是 偶 数”的 否 定 是_.答案：存在一个能被 2 整除的数不是偶数 写出下列命题的否定,并判断其真假.(1)p：所有的方程都有实数解；(2)q：xR,4x24x10；(3)r：x0R,x202x020；(4)s：某些平行四边形是菱形.含有一个量词的命题的否定【解】(1)p：存在一个方程没有实数解,真命题.比如方程 x210 就没有实数解.(2)q：x0R,4x204x010,真命题.(4)s：每一个平行四边形都不是菱形,假命题.写全称命题与特称命题的否定的思路在书写全称命题与特称命题的否定时,一定要抓住决定命题性质的量词,从量词入手,书写命题的否定.全
5、称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.1.命题“存在 x0R,使 2x00”的否定是 ()A.不存在 x0R,使 2x00B.存在 x0R,使 2x00C.对任意的 xR,都有 2x0D.对任意的 xR,都有 2x0解析：选 D.“存在”改为“任意”,“”改为“”,选 D.2.写出下列命题的否定,并判断其真假.(1)p：每一个素数都是奇数；(2)p：与同一平面所成的角相等的两条直线平行；(3)p：有些实数的绝对值是正数.解：(1)由于全称量词“每一个”的否定为“存在一个”,因此,p：存在一个素数不是奇数,是真命题.(2)是全称命题,省略了全称量词“任意”,即“任意两条与同一平面所成
6、的角相等的直线平行”,p：存在两条与同一平面所成的角相等的直线不平行,是真命题.(3)由于存在量词“有些”的否定为“所有”,因此,p：所有实数的绝对值都不是正数,是假命题.已知命题“对于任意 xR,x2ax10”是假命题,求实数 a 的取值范围.含量词的命题的应用【解】因为全称命题“对于任意 xR,x2ax10”的否定形式为：“存在 x0R,x20ax010,解得 a2.所以实数 a 的取值范围是(,2)(2,).1.(变条件)若本例中的“假命题”改为“真命题”,求实数 a 的取值范围.解：由题意知 0,则 a240,得2a2.所以实数 a 的取值范围为2,2.2.(变条件)若本例中的“任意
7、xR”改为“x0”,求实数 a 的取值范围.解：因为全称命题“对于 x0,x2ax10”的否定形式为“存在 x00,x20ax010，a20，解得 a0,求实数 a 的取值范围；(2)x(1,),f(x)0 x2ax20,又 x1,所以2xxa(x1,),设 g(x)2xx(x1,),依题意得 g(x)1,故实数 a 的取值范围是(1,).(2)f(x)0 x2ax21,所以2xxa,x(1,),设 g(x)2xx(x(1,),依题意得 g(x)a 在(1,)上有解,从而 g(x)maxa.由 g(x)在(1,)上是减函数,所以 g(x)g(1)1,因此 a1”的否定是()A.对任意实数 x,
8、都有 x1B.不存在实数 x,使 x1C.对任意实数 x,都有 x1D.存在实数 x,使 x1解析：选 C.命题“存在实数 x,使 x1”的否定是“对任意实数x,都有 x1”.2.已知命题 p：x0,总有(x1)ex1,则p 为()A.x00,使得(x01)ex01B.x00,使得(x01)ex01C.x0,总有(x1)ex1D.x0,总有(x1)ex1解析：选 B.全称命题的否定是特称命题,所以命题 p：x0,总有(x1)ex1 的否定是p：x00,使得(x01)ex01.3.命 题“对 任 意 实 数 x,都 有 x2 2x 2 0”的 否 定 为_.答案：存在实数 x0,使得 x202x0204.写出下列命题的否定：(1)可以被 5 整除的数,末位是 0；(2)能被 3 整除的数,也能被 4 整除.解：(1)省略了全称量词“任何一个”,命题的否定为：有些可以被 5 整除的数,末位不是 0.(2)省略了全称量词“所有”,命题的否定为：存在一个能被 3 整除的数,不能被 4 整除.按ESC键退出全屏播放本部分内容讲解结束
