1、专题整合知识建构综合应用专题1平面内点的直角坐标、极坐标的意义及二者间的关系总结：极坐标系和直角坐标系都可以建立点与数组、曲线与方程之间的对应关系，并且在某种情况下二者可以互相转化.极坐标与直角坐标互化时要注意三个前提条件：（1）极点与原点重合；（2）极轴与x轴正半轴重合；（3）长度单位相同.【例题1】极坐标为（6，4）的点转化为直角坐标为_.解析：利用坐标变换公式，得x=6cos4=-3,y=6sin4=-.答案：（-3，-）绿色通道 解决极坐标与直角坐标的互化，可直接利用互化公式.专题2空间中点的直角坐标、球坐标、柱坐标的意义及相互关系总结：三种坐标都是三维坐标，它们互相不同，但互相有联系
2、，互相能转化，都是刻画空间一点的位置，只是描述的角度不同.【例题2】已知空间点M的球坐标为（10，），则M的柱坐标为_.解析：由互化公式可把M的坐标先化为直角坐标：x=10sincos=5,y=10sinsin=5,z=10cos=,即M的直角坐标为M（5，5，）.再把它化为柱坐标:=,=,z=,即M的柱坐标为（，）.答案：（，）绿色通道 直角坐标是联系三者的纽带，利用互化公式可实现三种坐标的相互转化.专题3简单曲线的极坐标方程的求法总结：求曲线的极坐标方程就是求曲线上任一点M（，）的坐标符合已知条件的方程，一般在方法与步骤上和求直角坐标方程是类似的，可通过以下步骤完成：建系，设点，列式，化简
3、，证明.【例题3】以椭圆的左焦点为极点，x轴正向为极轴方向，用公式直接写出此椭圆的极坐标方程.思路分析：由椭圆的极坐标方程，知只需确定方程中的两个参数e,p即可求出方程.解：由a=5,b=4，得c=，因此离心率为e=.由公式知.从而得椭圆的极坐标方程为,即.绿色通道 求简单曲线的极坐标方程可采用待定系数法，关键是确定方程中的参数.专题4曲线的极坐标方程与直角坐标方程的相互关系总结：曲线的极坐标方程与直角坐标方程可以相互转化，由直角坐标方程化成极坐标方程，只要用x=cos，y=sin代入就可以；反之，由极坐标方程化为直角坐标方程，尽可能把cos换成x，把sin换成y，把2换成x2+y2.【例题4
4、】 “神舟五号”载人飞船的运行轨道是以地心为焦点的椭圆，近地点高度为200 km，远地点高度为350 km，求轨道参数e和p（地球半径R=6 378 km）.思路分析：由椭圆的极坐标方程，知距离的最小值为，最大值为，这样可根据已知条件建立方程组求解e和p的值.解：如图所示，近地点为A，远地点为B.|OA|=6 378+200=6 578，|OB|=6 378+350=6 728.由方程=，知的最小值为，最大值为，由此得解得e0.011 3,p588 702 (km).绿色通道 建立适当的极坐标系，通过极坐标方程研究曲线的性质有时更简便.【例题5】(2007海南、宁夏高考，22B)坐标系与参数方
5、程O1和O2的极坐标方程分别为=4cos,=-4sin.(1)把O1和O2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求经过O1,O2交点的直线的直角坐标方程.解:以极点为原点,极轴为x轴正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位.(1)x=cos,y=sin,由=4cos,得2=4cos.所以x2+y2=4x,即x2+y2-4x=0为O1的直角坐标方程.同理,x2+y2+4y=0为O2的直角坐标方程.(2)由解得即O1、O2交于点(0,0)和(2,-2),过交点的直线的直角坐标方程为y=-x.绿色通道 通过极坐标方程与直角坐标方程的转化，可以将未知的性质转化成已知的性质，其中互化过程是关
6、键.专题5平面直角坐标系中的平移变换和伸缩变换两种变换都可归结于点的变换，应用公式时，一定要注意分清“新”“旧”坐标，以及它们之间的内在联系（即变换公式）.【例题6】设函数f1(x)=cos(2x+),f2(x)=cos(3x-),把f1(x)与f2(x)的图象作以下三种变换：先把f1(x)的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点横坐标缩为原来的；先把f1(x)图象上各点横坐标缩为原来的，再把所得图象向左平移个单位长度；先把f2(x)的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点横坐标伸为原来的.其中能与f1(x)或f2(x)重合的变换是_.解析：函数f(x)的左右平移，是把x变为x+，伸缩
7、变换则是把x变为x.的变换是：f1(x)f1(x-)f1(x-),得到y=cos2(x-)+=cos(3x-);的变换是：f1(x)f1(x)f1(x+),得到y=cos2(x+)+=cos(3x+)=cos(3x+-2)=cos(3x-2)=f2(x);的变换是：f2(x)f2(x-)f2(x-),得到y=cos3（x-）-2=cos(2x+)=f1(x).故能与f1(x)或f2(x)重合的变换是.答案：绿色通道 涉及到函数图象的左右平移和向着y轴的伸缩变换，都是体现了自变量x的变化，平移满足“左加右减”（设0，图象向左平移，把解析式中的x变为x+；向右平移，把解析式中的x变为x-）；向着y
8、轴的伸缩变化是把函数解析式中的x变为x（01时，表示每个点的横坐标伸长，1时，表示每个点的横坐标缩短）.专题6曲线的参数方程与普通方程的互化在求出曲线的参数方程后，通常利用消参法得出普通方程一般地，消参数经常采用的是代入法和三角公式法但将曲线的参数方程化为普通方程，不只是把其中的参数消去，还要注意x、y的取值范围在消参前后应该是一致的，也就是说，要使得参数方程与普通方程等价，即它们二者要表示同一曲线.【例题7】椭圆（为参数）的焦点坐标为（ ）A.（0，0），（0，8） B.（0，0），（-8，0）C.（0，0）,（0，-8） D.（0，0）,（8，0）解析：由已知，得两边平方相加得.椭圆中，a
9、2=25,b2=9.于是，c2=16c4由和解得和故焦点坐标是（0，0）,（8，0）故选D.答案：D绿色通道 常见参数方程，多是直线、圆、圆锥曲线的参数方程，把参数方程化成普通方程再讨论曲线的性质，是解题通法，也容易掌握【例题8】已知曲线的参数方程为（0t），把它化为普通方程，并判断该曲线表示什么图形？思路分析：把曲线的参数方程化为普通方程，就是将参数方程中的参变量消去，常用的消参法有代入法、加减消元法、乘除消元法、三角消元法，但要注意消去参数时变量范围的一致性.解：由曲线的参数方程得cos2t+sin2t1，(x-1)2(y+2)24.由于0t，0sint1.从而0y+22，即-2y0.所求
10、的曲线的参数方程为(x-1)2(y+2)24（2y0）.这是一个半圆，其圆心坐标为（，-），半径为2黑色陷阱 如果不注意参数的取值范围是t，就会忽略掉x、y的范围所发生的变化，而导致错误的结果【例题9】已知参数方程(t0).(1)若t为常数，为参数，且0,2),方程所表示的曲线是什么？(2)若为常数，t为参数，方程所表示的曲线是什么？思路分析：形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线，因此要注意区分问题中的字母是常数还是参数.解：(1)当t1时，由得sin=，由得cos=.它表示中心在原点，长轴长为2|，短轴长为2|，焦点在x轴上的椭圆.当t时，y，x2sin，x-2,2，它表示在
11、x轴上-2,2的一段线段(2)当k（kZ）时，由得.由得.平方相减得，即，它表示中心在原点，实轴长为4|sin|，虚轴长为4|cos|，焦点在x轴上的双曲线当k（kZ）时，x，它表示y轴；当k（kZ）时，y=0，x=(t+).t+（t0时）或t+ 2（t时），|x|.方程为y（|x|），它表示x轴上以（，）和（，）为端点的向左、向右的两条射线.专题7曲线参数方程的应用曲线的参数方程通过参数反映坐标变量x、y之间的间接关系，其中的参数一般具有相应的几何意义或物理意义利用参数来表示曲线的方程时，要充分注意参数的合理选择.【例题10】已知线段|BB|，直线l垂直平分BB交BB于点O，并且在l上O点的
12、同侧取两点P、P，使|OP|OP|9，求直线BP与直线BP的交点M的轨迹.解：如图，以O为原点，l为x轴，BB为y轴，建立直角坐标系xOy.依题意，可知B（0，2），B（0，-2），又可设P（a，），P（，），其中a为参数，可取任意非零的实数.直线BP的方程为.直线BP的方程为.两直线方程化简并联立为解得直线BP与BP的交点坐标为（a为参数），消去参数a得（x）所求点M的轨迹是长轴为6，短轴为4的椭圆（除去B、B点）绿色通道 用参数法求解轨迹问题时，首先要建立适当的坐标系，然后选择参数，表示出有关点的坐标，求出动点轨迹的参数方程，必要时还要化成普通方程，根据方程确定轨迹的形状、大小等特征【例题
13、11】椭圆上有P、Q两点，O为椭圆中心，OP、OQ的斜率分别为kOP、kOQ,且kOPkOQ.(1)求|OP|2|OQ|2的值；(2)求线段PQ中点的轨迹方程.解：(1)设P（4cos1，2sin1），Q（4cos2，2sin2）kOPkOQ，cos(1-2)1-2=k+（kZ）.sin21cos22，cos21sin22.|OP|2|OQ|216cos214sin2116cos224sin2220,即|OP|2|OQ|220.(2)设PQ中点为（x，y），则y2（cos1cos2)2(sin1+sin2)22+2cos(1-2)=2.PQ中点的轨迹方程为.绿色通道 解决与圆、椭圆、双曲线、抛物线上的点有关的问题时，常将这些点的坐标设成参数形式这样可以减少变量的个数，简化解题过程；又因为二次曲线的参数方程的参数多采用角（抛物线除外），根据三角函数的值域便于体现曲线的范围.
