1、专题滚动练(四)一、选择题1(2015丰台模拟)已知a，b是两条不同的直线，是一个平面，且b，那么“ab”是“a”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件2(2015怀化模拟)一个锥体的主视图和左视图如图1所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()图13已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正(主)视图的面积不可能等于()A1 B C. D4如图2，在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列结论错误的是()图2AA1C1平面ABCDBAC1BDCAC1与CD成45角DA1C1与B1C成60角5(2015忻州一中四校联考)在半径为1
2、0 cm的球面上有A，B，C三点，如果AB8，ACB60，则球心O到平面ABC的距离为()A2 cmB4 cmC6 cmD8 cm6(2015全国卷)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图3，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()图3A. B C. D7(2015文登模拟)图4为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为()图4A2B3C5D58(2014北京高考)在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(1，1，)若S1，S2，S3分别是三棱锥DABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则()AS1
3、S2S3BS2S1且S2S3CS3S1且S3S2DS3S2且S3S19给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面、的四个命题：若m，lA，点Am，则l与m不共面；若m、l是异面直线，l，m，且nl，nm，则n；若l，m，则lm；若l，m，lmA，l，m，则.其中为真命题的是()ABCD10设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()Aa2 Ba2 C.a2 D5a211如图5，四棱锥PABCD中，ABCBAD90，BC2AD，PAB和PAD都是等边三角形，则异面直线CD与PB所成角的大小为()图5A90 B75 C60 D4512已知正四棱柱ABCDA1
4、B1C1D1中，AB2，CC12，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BDE的距离为()图6A2 B C. D1二、填空题13某三棱锥的三视图如图7所示，则该三棱锥最长棱的棱长为_图714(2015唐山模拟)在半径为2的球面上有不同的四点A、B、C、D，若ABACAD2，则过B、C、D三点的截面面积为_15如图8，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点有以下四个命题：图8PA平面MOB；MO平面PAC；OC平面PAC；平面PAC平面PBC.其中正确的命题是_(填上所有正确命题的序号)16如图9，在长方形ABCD中，AB2，BC1，E为
5、DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点现将AFD沿AF折起，使平面ABD平面ABC.在平面ABD内过点D作DKAB，K为垂足设AKt，则t的取值范围是_图9三、解答题17. (2015山东高考)如图10，三棱台DEFABC中，AB2DE，G，H分别为AC，BC的中点图10(1)求证：BD平面FGH；(2)若CFBC，ABBC，求证：平面BCD平面EGH.18(2015唐山模拟)如图11，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，ACC1CC1B160，AC2.图11(1)求证：AB1CC1；(2)若AB1，求四棱锥ABB1C1C的体积19(2015长望浏
6、宁四县联考)如图12，四棱锥PABCD中，PAB是正三角形，四边形ABCD是矩形，且平面PAB平面ABCD，PA2，PC4.图12(1)若点E是PC的中点，求证：PA平面BDE；(2)若点F在线段PA上，且FAPA，当三棱锥BAFD的体积为时，求实数的值20(2015吉林模拟)已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，平面PAB平面ABCD，R、S分别是棱AB、PC的中点，ADBC，ADAB，PDPB，ABBC2AD2PA2.图13(1)求证：平面PAD平面PBC；(2)求证：RS平面PAD；(3)若点Q在线段AB上，且CD平面PDQ，求三棱锥QPCD的体积21(2015山师大附中模拟)
7、已知三棱柱ABCABC中，平面BCCB底面ABC，BBAC，底面ABC是边长为2的等边三角形，AA3，E、F分别在棱AA，CC上，且AECF2.图14(1)求证：BB底面ABC；(2)在棱AB上找一点M，使得CM平面BEF，并给出证明22如图15，在RtABC中，ABBC4，点E在线段AB上过点E作EFBC交AC于点F，将AEF沿EF折起到PEF的位置(点A与P重合)，使得PEB30.图15(1)求证：EFPB；(2)试问：当点E在何处时，四棱锥PEFCB的侧面PEB的面积最大？并求此时四棱锥PEFCB的体积【详解答案】1. 【解析】由线面垂直性质可知，若a，且b ，则ab；若ab，且b ，不
8、足以推出a，故选B.【答案】B2. 【解析】对于选项C中的视图不满足三视图的作法规则中的宽相等，故其为错误选项；对于选项A、B、D中的视图满足三视图的作法规则，故选C.【答案】C3. 【解析】当正方体的俯视图是面积为1的正方形时，其正视图的最小面积为1，最大面积为.因为1，因此所给选项中其正视图的面积不可能为，故选C.【答案】C4. 【解析】由A1C1AC，AC平面ABCD，A1C1平面ABCD，知A1C1平面ABCD，A正确；由BD平面ACC1A1知BDAC1，B正确；由A1DB1C可知，DA1C1为A1C1与B1C所成的夹角，又DA1C1为等边三角形，DA1C160，故选C.【答案】C5.
9、 【解析】设ABC外接圆半径为r，则2r16，r8，所以球心到平面ABC的距离为d6，故选C.【答案】C6. 【解析】由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V1111，剩余部分的体积V213.所以，故选D.【答案】D7. 【解析】由三视图可知，该几何体是三棱柱上面放个球，设球的半径为r，由俯视图可知，2r322sin 60，得r，因此球的体积，三棱柱的体积22sin 6055，因此该几何体的体积V5，故选D.【答案】D8. 【解析】如图所示，ABC为三棱锥在坐标平面xOy上的正投影，所以S1222.
10、三棱锥在坐标平面yOz上的正投影与DEF(E，F分别为OA，BC的中点)全等，所以S22.三棱锥在坐标平面xOz上的正投影与DGH(G，H分别为AB，OC的中点)全等，所以S32.所以S2S3且S1S3.故选D.【答案】D9. 【解析】若m，lA，点Am，则直线l与m是异面直线，所以不共面，所以命题正确；若m、l是异面直线，l，m，且nl，nm，则在平面内任取一点O，可过点O在平面内分别作直线m、l的平行线m，l，则mlO.由nl，nm，得nl，nm，所以n，所以命题正确；若l，m，则lm，或l与m相交，或l与m异面都有可能，所以命题不正确；若l，m，lmA，l，m，根据两平面平行的判定定理，
11、一个平面内有两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行，所以有，因此命题正确；所以正确的命题有，故选C.【答案】C10. 【解析】过三棱柱的侧棱AD及球心O作一平面截球，得如图所示的平面，设点G为正ABC的重心，连接AO，OG，则OGAG，在直角三角形AGO中，设OAR，OG，AGa，故R2，解得R2a2，故球的表面积S4R24a2a2.故选B.【答案】B11. 【解析】延长DA至E ，使AEDA ，连接PE，BE，因为ABCBAD90，BC2AD，所以DEBC，DEBC.所以四边形CBED为平行四边形，所以CDBE.所以PBE就是异面直线CD与PB所成的角在PAE中，AEPA，PAE1
12、20，由余弦定理得：PEAE，在ABE中，AEAB，BAE90，所以BEAE，因为PAB是等边三角形，所以PBABAE，所以PB2BE2AE22AE23AE2PE2，所以PBE90，故选A.【答案】A12. 【解析】如图，连接AC，交BD于O，连接OE，在CC1A中，易证OEAC1.从而AC1平面BDE，直线AC1到平面BDE的距离即为点A到平面BDE的距离，设为h.由等体积法，得VABDESBDEhVEABDSABDEC22.又在BDE中，BD2，BEDE，SBDE222.h1.故选D.【答案】D13. 【解析】根据三视图，得如图所示的三棱锥PABC.由三视图的形状特征及数据，可推知PA平面
13、ABC，且PA2.底面为等腰三角形，ABBC，设D为AC中点，AC2，则ADDC1，且BD1，易得ABBC，所以最长的棱为PC，PC2.【答案】214. 【解析】过点A向平面BCD作垂线，垂足为M，则M是外心，而外接球球心O位于AM上，如图所示，设BCD所在截面圆半径为r，|OA|OB|R2|AB|，BAO60，在RtABM中，rBM2sin 60，Sr23.【答案】315. 【解析】错误，PA平面MOB；正确；错误，否则，有OCAC，这与BCAC矛盾；正确，因为BC平面PAC.【答案】16. 【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即当F位于DC的中点时，t1，当F点位于C点时，因为CBAB
14、，CBDK，CB平面ABD，即有CBBD，对于CD2，BC1，BD，又AD1，AB2，因此有ADBD，则有t，因此t的取值范围是.【答案】17. 【解】(1)证法一如图(1)，连接DG，CD，设CDGFO，连接OH.在三棱台DEFABC中，AB2DE，G为AC的中点，可得DFGC，DFGC，所以四边形DFCG为平行四边形，则O为CD的中点又H为BC的中点，所以OHBD.又OH平面FGH，BD平面FGH，所以BD平面FGH.(1)证法二在三棱台DEFABC中，由BC2EF，H为BC的中点，可得BHEF，BHEF，所以四边形BHFE为平行四边形，可得BEHF.在ABC中，G为AC的中点，H为BC的
15、中点，所以GHAB.又GHHFH，所以平面FGH平面ABED.因为BD平面ABED，所以BD平面FGH.(2)连接HE.因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GHAB.(2)由ABBC，得GHBC.又H为BC的中点，所以EFHC，EFHC，因此四边形EFCH是平行四边形所以CFHE.又CFBC，所以HEBC.又HE，GH平面EGH，HEGHH，所以BC平面EGH.又BC平面BCD，所以平面BCD平面EGH.18. 【解】(1)证明：连接AC1，CB1，则ACC1和B1CC1都是正三角形取CC1中点O，连接OA，OB1，则CC1OA，CC1OB1，则CC1平面OAB1，则CC1AB1.(2)由(
16、1)知，OAOB1，又AB1，所以OAOB1.又OACC1，OB1CC1O，所以OA平面BB1C1C.SBB1C1CBCBB1 sin 602，故VABB1C1CSBB1C1COA2.19. 【解】(1)如图，连接AC，设ACBDQ，又点E是PC的中点，则在PAC中，EQPA，又EQ平面BDE，PA平面BDE.所以PA平面BDE.(2)依据题意可得：PAABPB2，取AB中点O，所以POAB，且PO，又平面PAB平面ABCD，则PO平面ABCD.作FMPO于AB上一点M，则FM平面ABCD，因为四边形ABCD是矩形，所以BC平面PAB，则PBC为直角三角形，所以BC2，则直角三角形ABD的面积
17、为SABDABAD2.VBAFDVFABDSABDFMFMFM.由FMPO，得，.20. 【解】(1)证明：平面PAB平面ABCD且平面PAB平面ABCDAB，又AD平面ABCD，且ADAB，所以AD平面PAB，ADPB，又PDPB，PDADD，所以PB平面PAD，因为PB平面PCB，所以平面PAD平面PBC.(2)取PB中点T，连接RT、ST，因RTPA，STBC，又ADBC，STAD，又RTSTT，ADPAA，所以平面RST平面PAD，所以RS平面PAD.(3)因为CD平面PDQ，所以PQCD，又PQAD，CDADD，所以PQ面ABCD，则PQAB，由已知PQ，AQ，所以DQ，又CD，DQ
18、CD，CDQ的面积SCDQCDDQ，则三棱锥QPCD的体积VSCDQPQ.21. 【解】(1)证明：取BC中点O，连接AO，因为三角形ABC是等边三角形，所以AOBC，又因为平面BCCB底面ABC，AO平面ABC，平面BCCB平面ABCBC，所以AO平面BCCB，又BB平面BCCB，所以AOBB.又BBAC，AOACA，AO平面ABC，AC平面ABC.所以BB底面ABC.(2)显然点M不是A或B点，棱AB上若存在一点M，使得CM平面BEF，过M作MNAA交BE于N，连接FN，MC，所以MNCF，即CM和FN共面，所以CMFN，所以四边形CMNF为平行四边形，所以MN2，所以MN是梯形ABBE的中位线，M为AB的中点22. 【解】(1)证明：EFBC且BCAB，EFAB，即EFBE，EFPE.又BEPEE，EF平面PBE，又PB平面PBE，EFPB.(2)设BEx，PEy，则xy4.SPEBBEPEsinPEBxy1.当且仅当xy2时，SPEB的面积最大此时，BEPE2.由(1)知EF平面PBE，平面PBE平面EFCB，在平面PBE中，作POBE于O，则PO平面EFCB.即PO为四棱锥PEFCB的高又POPEsin 3021.SEFCB(24)26.VPBCFE612.
