1、河北省石家庄市第二中学2019-2020学年高二数学10月月考试题（含解析）一、选择题.1.抛物线的焦点到准线的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由抛物线的标准方程求出焦点坐标及准线方程，则可求得焦点到准线距离【详解】解：由抛物线的标准方程：，可知焦点在轴上，则焦点坐标，准线方程： 焦点到准线距离故选：B【点睛】本题考查抛物线的标准方程及性质，考查计算能力，属于基础题2.已知双曲线，则其渐近线方程为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接利用双曲线方程求解双曲线的渐近线即可【详解】解：双曲线方程为，则渐近线方程为：即故选：A【点睛】本题考查双曲线
2、的简单性质的应用，基本知识的考查3.已知椭圆：，直线过的一个焦点，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直线过的一个焦点，得，利用椭圆的性质求出，解出离心率即可【详解】椭圆：，直线过椭圆的一个焦点，可得，则，所以椭圆的离心率为：故选：【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，属于基础题4.已知双曲线的焦点在轴上，若焦距为，则a=（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用双曲线的简单性质，列出关系式求解即可【详解】解：双曲线的焦点x轴上，焦距为4，可得：解得故选：C【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力5.过抛物线的焦点F的直线l与抛物线
3、交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和为，则|AB|（ ）A. B. C. 5D. 【答案】D【解析】由题意得p2，选D6.若双曲线与直线无交点，则离心率的取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，双曲线位于一、三象限的渐近线的斜率小于或等于，满足，由此结合双曲线基本量的平方关系和离心率的公式，化简整理即可得到该双曲线的离心率的取值范围【详解】双曲线与直线无交点，双曲线的渐近线方程，满足得，两边平方得，即，得即，双曲线的离心率为大于1的正数，故选：B【点睛】本题给出双曲线与直线无交点，求双曲线离心率的取值范围，考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基
4、础题7.设椭圆和双曲线的公共焦点分别为F1、F2，P为这两条曲线的一个交点，则|PF1|PF2|的值等于A. 3B. 2C. 3D. 2【答案】A【解析】【详解】由题意知,以上两式平方相减可得,，故选A.8.已知定圆， ，动圆满足与外切且与内切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设动圆圆心，半径为，则，可得，利用椭圆的定义，即可求动圆圆心的轨迹方程【详解】解：设动圆圆心的坐标为，半径为，则，由椭圆的定义知，点的轨迹是以为焦点的椭圆，则，椭圆的方程为：故选：A【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题9.关
5、于曲线：性质的叙述，正确的是（ ）A. 一定是椭圆B. 可能为抛物线C. 离心率为定值D. 焦点为定点【答案】D【解析】【分析】根据题目给出曲线方程，对参数进行分类讨论，最后得出答案.【详解】因为曲线方程没有一次项，不可能为抛物线，故B错误；因为可正也可负，所以曲线可能为椭圆或双曲线.若曲线为椭圆，则，离心率不是定值，焦点，为定点；若曲线为双曲线，方程为，则，离心率不是定值，焦点，为定点；故选D.【点睛】本题考查了圆锥曲线的标准方程和性质,体现了分类讨论的思想.10.如图，已知直线：与抛物线相交于A、B两点，且满足，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据直线方程可
6、知直线恒过定点，过A、B分别作于M，于N，根据，推断出，点B为AP的中点、连接OB，进而可知，由此求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用点B在直线上求得直线的斜率【详解】解：抛物线的准线为，直线恒过定点，如图过A、B分别作于M，于N，由，则，点B为AP的中点、连接OB，则，点B的横坐标为，故点B的坐标为把代入直线，解得故选：C【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，考查抛物线的定义，考查直线斜率的计算，属于中档题11.已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设A（，），B（，），因为A、
7、B在椭圆上将两式相减可得直线AB的斜率与直线OM的斜率的关系，建立关于a，b，c的方程，从而求出所求；【详解】设A（，），B（，），又的中点为，则又因为A、B在椭圆上所以两式相减，得：,，平方可得, =,，故选A.【点睛】本题主要考查了点差法求斜率，以及椭圆的几何性质，同时考查了运算求解的能力，属于中档题12.抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上的两个动点，且满足，设线段的中点在上的投影为，则的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】试题分析：设在直线上的投影分别是，则，又是中点，所以，则，在中，所以，即，所以，故选B考点：抛物线的性质【名师点晴】在直线与抛物线位置关系问
8、题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化象本题弦的中点到准线的距离首先等于两点到准线距离之和的一半，然后转化为两点到焦点的距离，从而与弦长之间可通过余弦定理建立关系二、填空题.13.抛物线的焦点坐标是_.【答案】【解析】【分析】将抛物线方程化为标准形式，由此求得焦点坐标【详解】依题意，抛物线的标准方程为，故，且抛物线开口向右，焦点在轴的正半轴上，故焦点为.【点睛】本小题主要考查抛物线焦点坐标的求法，属于基础题.14.点P是双曲线左支上的一点，其右焦点为，若为线段的中点, 且到坐标原点的距离为7，则_.
9、【答案】22【解析】【分析】先利用三角形的中位线的性质，可得，再利用双曲线的定义，即可求得【详解】解：设双曲线的左焦点为，连接，则是的中位线，到坐标原点的距离为7，又由双曲线的定义，得故答案为：22【点睛】本题以双曲线的标准方程为载体，考查双曲线的定义，考查三角形中位线的性质，属于基础题15.如图所示，点为抛物线上的动点，点为圆上的动点，则的最小值为_.【答案】1【解析】【分析】由题意可得圆的圆心和半径，由二次函数可得P与圆心距离的最小值，减掉半径即可。【详解】解：圆可化为，故圆的圆心（2，0），半径为1.设抛物线上任意一点，故有，与（2，0）的距离当时， 与（2，0）的距离取最小值2，的最小
10、值为，故答案为：1.【点睛】本题考查利用函数知识解决解析几何的最值问题，是基础题。16.已知椭圆，点是椭圆上在第一象限上的点，分别为椭圆的左、右焦点，是坐标原点，过作的外角的角平分线的垂线，垂足为,若,则椭圆的离心率为_.【答案】【解析】【分析】根据图像，又，得，利用即可求出离心率。【详解】由题意画出图像由题意可知由椭圆定义可知，固有，连接OA，知OA是三角形的中位线，又，得则，即，故答案为：【点睛】本题考查椭圆定义的灵活运用，利用垂直平分产生相等线段，对线段相等进行等量代换，是中档题。三、解答题.17.已知抛物线C：过点求抛物线C的方程；设F为抛物线C的焦点，直线l：与抛物线C交于A，B两点
11、，求的面积【答案】（1）；（2）12【解析】【分析】（1）将点的坐标代入抛物线，进行求解即可（2）联立方程组，利用根与系数之间的关系结合三角形的面积公式进行求解【详解】（1）因为抛物线：过点，所以，解得，所以抛物线的方程为（2）由抛物线的方程可知，直线与轴交于点，联立直线与抛物线方程，消去可得，所以，所以，所以的面积为【点睛】直线与抛物线的位置关系，可通过联立直线方程和抛物线方程消去（或）得到关于（或）的方程，再利用韦达定理简化目标代数式，也可以直接求出相应的根，再考虑与交点有关的数学问题18.已知椭圆的右焦点为，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线交椭园于，两点，若（为坐标原点）
12、的面积为，求直线的方程.【答案】(1).(2) 或.【解析】【分析】（1）根据题意，得到，进而求出，即可得到椭圆方程；（2）先由题意设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，设，由韦达定理，根据的面积，求出，即可得出结果.【详解】（1）由题意可知， 离心率，所以所以所以椭圆的方程为， （2）由题意可以设直线的方程为，由得， 设，所以，.所以的面积创因为的面积为，所以.解得. 所以直线的方程为或.【点睛】本题主要考查椭圆方程，以及椭圆中的直线问题，熟记椭圆的标准方程以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.19.在直角坐标系中，抛物线与直线 交于，两点.（1）当时，分别求抛物线在点和处的切线方程；（2）轴
13、上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由.【答案】(1) 过点和点切线方程分别为.(2)存在点，理由见解析【解析】【分析】（1）将直线l的方程代入抛物线C的方程，求出点M、N的坐标，再联立方程，判别式为零，可求出抛物线C在点M、N处的切线方程；（2）设点P为符合题意的点，将直线l的方程与抛物线C的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式计算直线PM和直线PN的斜率之和为0，求出的值，即可解决该问题【详解】（1）由题意知时，联立，解得，设过点的切线方程为，联立得：，由题意：，即，解得，根据对称性，过点的切线斜率为，所以过点和点的切线方程分别为. （2）存在符合题意的点，证明如下：设点为符合题意的点
14、，直线，的斜率分别为，联立方程，得，故，从而当时，有，则直线与直线的倾斜角互补，故，所以点符合题意【点睛】本题考查直线与抛物线综合问题，考查韦达定理设而不求法在抛物线综合问题中的应用，考查计算能力，属于中等题20.椭圆C:(ab0)的左、右焦点分别为，离心率为，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1（）求椭圆C的方程；（）已知点M（0，-1），直线l经过点N（2，1）且与椭圆C相交于A,B两点（异于点M），记直线MA的斜率为，直线MB的斜率为，证明 为定值，并求出该定值.【答案】() ()见证明【解析】【分析】()根据已知得到关于a,b,c的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；()先
15、考虑直线l的斜率不存在的情况，再考虑斜率存在的情况，直线l的方程与椭圆的标准方程联立得到韦达定理，再求出，化简即得其为定值.【详解】（）将代入中，由可得，所以弦长为， 故有，解得，所以椭圆的方程为： （）若直线l的斜率不存在，即直线的方程为x=2，与椭圆只有一个交点，不符合题意。设直线l的斜率为k，若k=0，直线l与椭圆只有一个交点，不符合题意，故k0.所以直线l的方程为，即， 直线l的方程与椭圆的标准方程联立得：消去y得:,设，则，,把代入上式，得，命题得证.【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
