1、(时间：45分钟满分：60分)1(2015高考全国卷，12分)如图，四边形ABCD为菱形，ABC120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC.(1)证明：平面AEC平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值解：(1)证明：如图，连接BD，设BDACG，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB1.由ABC120，可得AGGC.由BE平面ABCD，ABBC，可知AEEC.又AEEC，所以EG，且EGAC.在RtEBG中，可得BE，故DF.在RtFDG中，可得FG.在直角梯形BDFE中，由BD2，BE，DF，可得EF.从而EG
2、2FG2EF2，所以EGFG.又ACFGG，所以EG平面AFC.因为EG平面AEC，所以平面AEC平面AFC.(2)如图，以G为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴正方向，|为单位长度，建立空间直角坐标系Gxyz.由(1)可得A(0，0)，E(1，0，)，F，C(0，0)，所以(1，)，.故cos，.所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为.2. 如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，底面ABCD是直角梯形，ADBC，ADC90，AD2BC2，CD，平面PAD底面ABCD，若M为AD的中点，E是棱PC上的点 (1)求证：平面EBM平面PAD；(2)若MEC90，求二面角PBME的余弦
3、值解：(1)证明：M是AD的中点，且AD2，MD1，又ADBC，BC1，四边形MBCD为平行四边形ADC90，DCMB，AMB90，即BMAD.平面PAD平面ABCD，BM平面ABCD，BM平面PAD.平面EBM平面PAD.(2)PAD是正三角形，M为AD中点，PMAD.又平面PAD平面ABCD，PM平面ABCD.如图，以M为原点，以MA，MB，MP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Mxyz，则A(1，0，0)，B(0，0)，P(0，0，)，C(1，0)，(1，)，E在PC上，设(01)，()(1，)0，.设平面MBE的法向量为n(x，y，z)，则n0，n0，即令x4，n(4，0，)
4、又平面PMB的一个法向量为n1(1，0，0)，cosn，n1.设平面PMB与平面EMB所成的角为，则cos .3. 如图，三棱柱ABCA1B1C1的侧棱AA1底面ABC，ACB90，E是棱CC1上的动点，F是AB的中点，AC1，BC2，AA14.(1)当E是棱CC1的中点时，求证：CF平面AEB1；(2)在棱CC1上是否存在点E，使得二面角AEB1B的余弦值是？若存在，求CE的长；若不存在，请说明理由解：(1)证明：取AB1的中点G，连接EG，FG.F，G分别是棱AB，AB1的中点，FGBB1，FGBB1.又FGEC，ECCC1，FGEC，四边形FGEC是平行四边形CFEG.CF平面AEB1，
5、EG平面AEB1，CF平面AEB1.(2)以C为坐标原点，射线CA，CB，CC1为x轴、y轴、z轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，则C(0，0，0)，A(1，0，0)，B1(0，2，4)设E(0，0，m)(0m4)，平面AEB1的法向量n1(x，y，z)，则(1，2，4)，(1，0，m)由n1，n1，得令 z2，则可取n1(2m，m4，2)连接BE，CA平面C1CBB1，是平面EBB1的一个法向量令n2，二面角AEB1B的余弦值为，cosn1，n2.解得m1(0m4)在棱CC1上存在点E，符合题意，此时CE1.4. 如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，
6、ACBD，BC1，ADAA13.(1)证明：ACB1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值解：(1)证明：易知，AB，AD，AA1两两垂直如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设ABt，则相关各点的坐标为A(0，0，0)，B(t，0，0)，B1(t，0，3)，C(t，1，0)，C1(t，1，3)，D(0，3，0)，D1(0，3，3)从而(t，3，3)，(t，1，0)，(t，3，0)因为ACBD，所以t2300.解得t或t(舍去)于是(，3，3)，(，1，0)因为3300，所以，即ACB1D.(2)由(1)知，(0，3，3)，(，1
7、，0)，(0，1，0)设n(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，则即令x1，则n(1，)设直线B1C1与平面ACD1所成角为，则sin |cosn，|，即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.5. 某几何体ABCA1B1C1的三视图和直观图如图所示(1)求证：A1C平面AB1C1；(2)求二面角C1AB1C的余弦值解：(1)证明：由三视图可知，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面A1B1C1，B1C1A1C1，且|AA1|AC|4，|BC|3.以点C为原点，分别以CA、CB、CC1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示由已知可得A(4，0，0)，B(0，3，0)
8、，C(0，0，0)，A1(4，0，4)，B1(0，3，4)，C1(0，0，4)(4，0，4)，(4，0，4)，(0，3，0)0，0.A1CC1A，A1CC1B1.又C1AC1B1C1，A1C平面AB1C1.(2)由(1)得，(4，0，0)，(0，3，4)设平面AB1C的法向量为n(x，y，z)，则n，n.，即.令y4，得平面AB1C的一个法向量为n(0，4，3)由(1)知，是平面AB1C1的一个法向量cosn，.故二面角C1AB1C的余弦值为.6. 如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，DABDCB，EAEBAB1，PA，连接CE并延长交AD于F.(1)求
9、证：AD平面CFG；(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值解：(1)证明：在ABD中，因为点E是BD中点，所以EAEBEDAB1，故BAD，ABEAEB.因为DABDCB，所以EABECB，从而有FEDBECAEB，所以FEDFEA，故EFAD，AFFD.又PGGD，所以FGPA.又PA平面ABCD，所以GFAD，故AD平面CFG.(2)以点A为坐标原点建立如图所示的坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C，D(0，0)，P，故，.设平面BCP的法向量n1(1，y1，z1)，则解得即n1.设平面DCP的法向量n2(1，y2，z2)，则，解得即n2(1，2)从而平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值为cos .
