1、石景山区20202021学年第一学期高三期末试卷数学第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用交集的定义可求得.【详解】已知集合，则.故选：C.2. 复数（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用复数的乘法法则可得结果.【详解】.故选：D.3. 的展开式中的系数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】写出二项展开式的通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解.【详解】的展开式通项为，令，得.因此，
2、的展开式中的系数为.故选：B.4. 某三棱锥的三视图如图所示， 则该三棱锥的体积为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题中所给的几何体的三视图还原几何体，得到相应的三棱锥，之后利用椎体体积公式求得结果.【详解】根据题中所给的几何体的三视图还原几何体如图所示：该三棱锥满足底面是等腰三角形，且底边和底边上的高线都是2；且侧棱底面，所以，故选：C.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关根据所给几何体三视图求几何体体积的问题，解题方法如下：（1）应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正），主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐），左视图与俯视图宽度应相等（简称
3、宽相等），若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称；（2）根据三视图还原几何体；（3）利用椎体体积公式求解即可.5. 若抛物线y24x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】D【解析】【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义转化求解即可【详解】抛物线的准线方程为：，抛物线上的点M到焦点的距离为10，可得，则到轴的距离是9故选D【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力，属于中档题.6. “”是“函数是奇函数”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】
4、当时是奇函数，反之不成立，可判断出答案.【详解】当时是奇函数,当函数是奇函数时，所以函数是奇函数时，不能推出故“”是“函数是奇函数”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三角函数的奇偶性的性质是解决本题的关键属于基础题.7. 直线与圆的位置关系是（）A. 相切B. 相交C. 相离D. 不确定【答案】B【解析】【分析】利用点到直线的距离公式求出直线和圆的距离，即可作出判断.【详解】圆C：的圆心坐标为：，则圆心到直线的距离，所以圆心在直线l上，故直线与圆相交故选：B【点睛】方法点睛：该题考查的是有关直线与圆的位置关系的判断，解题方法如下：（1）根据题中所给的圆
5、的方程，判断出圆心坐标和半径的大小；（2）利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离；（3）将距离与半径的大小进行比较，大于半径为相离，等于半径为相切，小于半径为相交.8. 等差数列的首项为，公差不为，若、成等比数列，则前项的和为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用已知条件求得等差数列的公差，然后利用等差数列的求和公式可求得结果.【详解】设等差数列的公差为，则，由于、成等比数列，则，即，可得，解得，因此，数列的前项和为.故选：B.9. 已知函数，则函数的零点个数是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意可知，函数的零点个数等价于函数与函数的图象的交
6、点个数，作出函数与函数的图象，数形结合可得出结果.【详解】令，得，则函数的零点个数等价于函数与函数的图象的交点个数，作出函数与函数的图象如下图所示：由图象可知，两个函数图象的交点个数为，故函数的零点个数为.故选：C.【点睛】方法点睛：判定函数的零点个数的常用方法：（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；（2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.10. 斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形（）中作正方形，以为圆心，长为半径作圆弧；然后
7、在矩形中作正方形，以为圆心，长为半径作圆弧；如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线.记圆弧，的长度分别为，对于以下四个命题：；.其中正确的是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设，则，再由圆弧分别求出，再逐项判断即可得正确选项.【详解】不妨设，则，所以，所以，所以，所以，故正确；，所以，故正确；，所以，故不正确；，所以，故不正确；所以正确，故选：A【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是读懂题意，正确求出扇形的半径，利用弧长公式求出弧长即的值.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 函数的定义域为_.【答案】【解析】【分析】利用已知条
8、件可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域.【详解】对于函数，有，解得.因此，函数的定义域为.故答案为：.12. 已知平面向量，且，则实数_.【答案】【解析】【分析】利用平面向量共线的坐标表示可得出关于的等式，进而可求得的值.【详解】已知平面向量，且，所以，解得.故答案为：.13. 已知双曲线的两个焦点为，一个顶点是，则的标准方程为_；的焦点到其渐近线的距离是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由焦点坐标可设双曲线的方程为，由题意可得和的值，结合可求的值进而得双曲线的方程，求出渐进线方程利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】双曲线的两个焦点为，可知双曲线焦点在轴上，设双曲线
9、的方程为，由题意知，所以，所以的标准方程为，其渐近线方程，不妨取焦点，渐近线即，所以的焦点到其渐近线的距离，故答案为：；14. 若函数的一个周期是，则常数的一个取值可以为_.【答案】2（答案不唯一）【解析】【分析】把函数化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数的周期求解，注意题中已知条件是函数的一个周期是，并没有说是最小正周期因此只要函数的最小正周期是除以一个正整数，都可满足题意【详解】，令，且为锐角，则，由，得，实际上，由得，或者（且），（且），可为任意一个非零点的偶数故答案为：2（填任一非0的偶数都可以）【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的周期，求解三角函数周期，一般是把函数化为一
10、个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数的周期性求解而我们一般说周期通常是求最值正周期，若题中强调某个数是函数的一个周期，则这个周期不一定是最小正周期15. 从到通信，网络速度提升了倍.其中，香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.根据香农公式，以下说法正确的是_.若不改变信噪比，而将信道带宽增加一倍，则增加一倍；若不改变信道带宽和信道内信号的平均功率，而将高斯噪声功率降低为原来的一半，则增加一倍；若不改变带宽，而将信噪比从提升至，增加了；若不改变带宽，而将信噪
11、比从提升至，大约增加了.（参考数据：）【答案】【解析】【分析】计算可判断的正误；计算可判断的正误；计算可判断的正误；计算，可判断的正误.【详解】对于，若不改变信噪比，而将信道带宽增加一倍，即，则增加一倍，正确；对于，若不改变信道带宽和信道内信号的平均功率，而将高斯噪声功率降低为原来的一半，即，错误；对于，若不改变带宽，而将信噪比从提升至，则，所以，增加了，正确；对于，若不改变带宽，而将信噪比从提升至，则，正确.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查对数实际应用，解决本题的关键在于理解“香农公式”，将问题转化为对数的运算，同时要注意换底公式的应用.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说
12、明，演算步骤或证明过程.16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，分别为棱中点，.(1)求证：平面；(2)求直线MN与平面PCD所成角正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】【分析】(1)证明线面平行，用线面平行的判定定理，在面内找一条直线与平行；(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角【详解】(1)在四棱锥中，取的中点，连接、，因为是的中点，所以，且又因为底面是正方形，是的中点，所以，且，所以且，所以四边形是平行四边形所以由于平面，平面，所以平面. (2)因为底面是正方形，所以又因为平面，所以可以以点为坐标原点，、分别为、轴，如图建立空间直角坐标系，则，,，,，设平面的法向
13、量为，有：即，令，则， 所以，设直线与平面所成角为，有：所以直线与平面所成角的正弦值为【点睛】立体几何解答题的基本结构：(1)第一问一般是几何位置关系的证明，通常用判定定理；(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算17. 在中，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使其能够确定唯一的三角形，求：（）的值；（）的面积.条件：.条件：；条件：. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（）答案见解析；（）答案见解析.【解析】【分析】选择条件： （）在中，根据，则，结合,，利用余弦定理求解. （）由（I）可知，
14、有，则，然后由求解.选择条件：，（）在中，根据,，利用正弦定理求解.（）在中，由，结合求解.选择条件：（）在中，利用余弦定理求解. （）由（I）知或时，结合，由求解.【详解】选择条件： （）在中，因为， 所以.因为,.根据余弦定理：，得，整理，得，由于，所以 . （）由（I）可知，.因为，所以.所以.因此，是直角三角形.所以.选择条件：.（）在中，因为 ,.根据正弦定理： ，所以.（）在中，因为.所以.所以. 选择条件：（）在中，由余弦定理：，得，整理得，解得或. （）由（I）可知：当时，所以当时，所以.【点睛】方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定
15、理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制18. 在学期末，为了解学生对食堂用餐满意度情况，某兴趣小组按性别采用分层抽样的方法，从全校学生中抽取容量为200的样本进行调查.被抽中的同学分别对食堂进行评分，满分为100分.调查结果显示：最低分为51分，最高分为100分.随后，兴趣小组将男、女生的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率分布直方图，图表如下：女生评分
16、结果的频率分布直方图男生评分结果的频数分布表分数区间频数50,60）360,70）370,80）1680,90）3890,10020为了便于研究，兴趣小组将学生对食堂的评分转换成了“满意度情况”，二者的对应关系如下：分数50, 60）60, 70）70, 80）80, 90）90, 100满意度情况不满意一般比较满意满意非常满意（）求的值；（）为进一步改善食堂状况，从评分在50,70）的男生中随机抽取3人进行座谈，记这3人中对食堂“不满意”的人数为X，求X的分布列； （）以调查结果的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取一名学生，求其对食堂“比较满意”的概率.【答案】（）0.015；（）分布列
17、见解析；（）.【解析】【分析】（）根据频率分布直方图可知，频率和即小矩形面积和为1，求的值；（）由频率分布表可知的男生一共6人，利用超几何分布求概率；（）首先计算男生和女生对食堂“比较满意”的人数，再求概率.【详解】（）因为 ， 所以 （）依题意，随机变量的所有可能取值为. ； ； .所以随机变量的分布列为：（）设事件“随机抽取一名学生，对食堂比较满意”.因为样本人数人，其中男生共有人，所以样本中女生共有人.由频率分布直方图可知，女生对食堂“比较满意”的人数共有：人.由频数分布表，可知男生对食堂“比较满意”的共有人,.所以随机抽取一名学生，对食堂“比较满意”的概率为.【点睛】思路点睛：本题考查
18、统计，超几何分布，本题的关键是读懂题意，从比较多的数据中抽象出重要和关键的数据.19. 已知椭圆的离心率，且经过点.（）求椭圆的方程；（）已知点和点，过点的动直线交椭圆于两点（在左侧），试讨论与的大小关系，并说明理由.【答案】（）；（），理由见解析.【解析】【分析】（）根据离心率和椭圆上一点的坐标结合可解得得椭圆方程（）依题意设直线的方程为，设.直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得，由直线与椭圆相交得，说明斜率存在，若（或）可得，直线与椭圆相切，不合题意，然后计算得，从而可判断题中两角相等【详解】（）由已知， 又，解得. 所以椭圆的方程为. （）依题意设直线的方程为，设.联立消去，得，则，解得.
19、 （*）则，. 若，则，与（*）式矛盾，所以.同理.所以直线和的斜率存在，分别设为和. 因为所以.所以.【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆相交问题解题方法是“设而不求”的思想方法，即设交点坐标为，斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程后应用韦达定理得，解题关键是把代入计算出结果后，得出角的关系（解题时注意说明是在在的）20. 设函数.（）设是图象的一条切线，求证：当时，与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关； （）若函数在定义域上单调递减，求的取值范围.【答案】（）证明见解析；（）.【解析】【分析】（）设切点为，求出切线方程并计算与坐标轴围成的三角形的面积为2，故可得相应的结论
20、.（）由题设可得，利用参变分离可得的取值范围.【详解】（）当时， 设图象上任意一点，切线斜率为. 过点的切线方程为.令，解得；令，解得. 切线与坐标轴围成的三角形面积为.所以与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关. （）由题意，函数的定义域为.因为在上单调递减， 所以在上恒成立，即当，恒成立，所以因为当，当且仅当时取等号.所以当时，所以. 所以的取值范围为.【点睛】结论点睛：一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则21. 对于数列，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称为P数列.（）数列为，数列为.判断数列，是否为数列， 并
21、说明理由；（）设数列是首项为的P数列，其前项和为（）.求证：当时，；（）设无穷数列是首项为a（a0），公比为q的等比数列，有穷数列，是从中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为，.若.判断是否为数列，并说明理由.【答案】（）不是数列， 是数列，理由见解析；（）证明见解析；（）不是数列，理由见解析.【解析】分析】（）根据P数列的性质，由数列和中的项直接计算，即可得出结果；（）根据题中条件，由P数列的性质，得到，结合累乘法，即可证明结论成立；（）先假设数列是数列，推出，数列是单调递增数列，且，分别讨论数列中的元素都在数列中、数列中的元素都在数列中、数列和数列有部分公共元素、数列中
22、的元素和数列中的元素都不相同，这四种情况，结合数列的性质，得出，推出矛盾，即可判断出结果.【详解】（）数列不是数列，数列是数列. 对于数列，所以数列不是数列； 对于数列，所以数列是数列.（）由题意知，即，即.又因为，所以.所以当时，；命题得证.（）数列不是数列.假设数列是数列，则得，所以数列是单调递增数列，且，.（1）若数列中的元素都在数列中，则；（2）若数列中的元素都在数列中，则；（3）若数列和数列有部分公共元素，将数列和的公共元素去掉得到新的数列和，不妨设数列和中的最大元素在数列中，则数列的前项和.因为，所以数列中的所有项和小于等于.所以数列中的所有项和小于.所以.（4）若数列中的元素和数列中的元素都不相同，则必有；综上，由（1）（2）（3）（4）知.与已知矛盾，所以数列不是数列.【点睛】思路点睛：求解数列新定义的问题时，一般需要根据题中所给数列新定义，确定新定义下数列所具有的性质，再结合数列的相关概念、或借助等差数列或等比数列的性质进行求解即可.
