1、高考第 17 题之(一)三角函数与解三角形说明 高考第 17 题主要集中在“三角函数与解三角形”与“数列”两个知识点命题，每年选其一进行考查年 份 卷 别 考题位置考查内容命题规律分析2015全国卷解答题第17题正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式三角函数与解三角形在解答题中一般与三角恒等变换、平面向量等知识进行综合考查题目难度中等偏下，多为解答题第一题2015全国卷解答题第17题正弦定理、三角恒等变换1(2016全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求 C；(2)若 c 7，ABC 的面积为3 32，求ABC 的
2、周长解：(1)由已知及正弦定理得2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，即 2cos Csin(AB)sin C，故 2sin Ccos Csin C.因为 C(0，)，所以 sin C0.故 cos C12，所以 C3.解：由已知得12absin C3 32.又 C3，所以 ab6.由已知及余弦定理得 a2b22abcos C7，故 a2b213，从而(ab)225，即 ab5，所以ABC 的周长为 abc5 7.(2)若 c 7，ABC 的面积为3 32，求ABC 的周长2(2015全国卷)已知 a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边，sin2B2s
3、in Asin C.(1)若 ab，求 cos B；(2)设 B90，且 a 2，求ABC 的面积解：(1)由题设及正弦定理可得 b22ac.又 ab，可得 b2c，a2c.由余弦定理可得 cos Ba2c2b22ac14.(2)由(1)知 b22ac.因为 B90，由勾股定理得 a2c2b2，故 a2c22ac，进而可得 ca 2.所以ABC 的面积为12 2 21.题型一 正、余弦定理解三角形学规范(1)因为 AD 平分BAC，所以ACABDCDB.1 分因为 BD2DC，所以ACAB12.2 分由正弦定理得 ACsin B ABsin C，3 分即sin Bsin CACAB，4 分所以
4、sin Bsin C12.5 分防失误处易忽略角平分线性质而失分，注意平面图形的角平分线性质应用学规范(2)因为BAC60，ABC180，6 分所以 C120B，7 分所以 sin Csin(120B)32 cos B12sin B8 分由(1)知 2sin Bsin C，所以 2sin B 32 cos B12sin B，即32sin B 32 cos B，所以 tan B 33.10 分又 0B180，所以 B30.12 分防失误处若不能建立 B，C 两角之间的联系，则会导致解题受阻，注意求值过程中寻求量与量间的关系与代换处易因不注明角的范围会失步骤分，注意解题的严密性通技法利用正弦、余弦
5、定理求解三角形中基本量的方法对点练1(2017云南模拟)如图，在四边形 ABCD 中，DAB3，ADAB23，BD 7，ABBC.(1)求 sin ABD 的值；(2)若BCD23，求 CD 的长解：(1)ADAB23，可设 AD2k，AB3k.又 BD 7，DAB3，由余弦定理，得(7)2(3k)2(2k)223k2kcos3，解得k1，AD2，AB3，由正弦定理，得ADsinABDBDsinDAB，sinABDADsinDABBD2 327 217.解：ABBC，cosDBCsinABD 217，sinDBC2 77.由正弦定理，得BDsinBCDCDsinDBC，CDBDsinDBCsi
6、nBCD 72 77324 33.(2)若BCD23，求 CD 的长题型二 与三角形面积有关的问题学规范(1)由题设及 ABC 得 sin B8sin2B2，2 分即 sin B4(1cos B)，3 分处利用倍角公式时，易把 sin2B21cos B2记为 sin2B21cos B2，导致化简结果错误故 17cos2B32cos B150，4 分解得 cos B1517，cos B1(舍去).6 分防失误处根据三角形中内角的范围舍去 cos B1 易忽视(2)由 cos B1517，得 sin B 817，7 分故 SABC12acsin B 417ac.8 分学规范处关键是利用(1)的结论
7、，结合平方关系求出 sin B，由此明确面积公式的选择防失误又 SABC2，则 ac172.9 分由余弦定理及 ac6 得b2a2c22accos B(ac)22ac(1cos B)10 分362172 11517 4.11 分所以 b2.12 分处若出现 ac 及 ac，则注意余弦定理中配方法的使用，以及整体思想的运用学规范防失误通技法与三角形面积有关的问题的解题模型对点练2(2017石家庄模拟)已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且(ac)2b234ac.(1)求 cos B 的值；(2)若 b 13，且 sin A，sin B，sin C 成等差数列，求ABC的面积解：(1)由(ac)2b234ac，可得 a2c2b254ac.cos Ba2c2b22ac58，即 cos B58.(2)b 13，cos B58，b213a2c254ac(ac)2134 ac.又 sin A，sin B，sin C 成等差数列，由正弦定理，得 ac2b2 13，1352134 ac，ac12.由 cos B58，得 sin B 398，ABC 的面积 SABC12acsin B1212 398 3 394.“课下练”见“课时跟踪检测(十六)”(单击进入电子文档)
