1、第1课时 任意角和弧度制及任意角的三角函数 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 双基研习面对高考 第1课时1任意角(1)角的概念的推广按旋转方向不同分为_、_、_.按终边位置不同分为_和轴线角.(2)终边相同的角终边与角相同的角可写成_ .正角负角零角象限角双基研习面对高考 基础梳理 k360(kZ)或k2(kZ)思考感悟1终边相同的角相等吗？提示：不一定相等终边相同的角有无数个，它们相差360的整数倍2弧度与角度的互化(1)1 弧度的角长度等于_的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号 rad 表示(2)角 的弧度数如果半径为 r 的圆的圆心角 所对弧的长为 l，那么角 的弧度数的绝对值是|l
2、r.半径长(3)角度与弧度的换算1_rad；1 rad(180).(4)弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为 l，圆心角大小为(rad)，半径为 r，又 lr，则扇形的面积为S_.18012lr12r23三角函数的定义设 P(x，y)是角 终边上不同于坐标原点的任意一点，MP垂直x轴于M点，则OMx，MPy，r x2y20.我们把xr叫做角 的余弦，记作 cos，即 cosxr；把yr叫做角 的正弦，记作 sin，即 sinyr；把yx叫做角 的正切，记作 tan，即 tanyx.角 的正割：sec 1cosrx；角 的余割：csc 1sinry；角 的余切：cot 1tanxy.(1)三角函数
3、值的符号 各象限的三角函数值的符号如下图所示，三角函数正值歌：一_，二_，三_，四_ 全正正弦两切余弦(2)三角函数线 下图中有向线段MP，OM，AT分别表示的_，的_和的_ 正弦线余弦线正切线思考感悟2三角函数值和点P在角的终边上的位置是否有关？提示：三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角的终边位置决定，对于确定的角，其终边位置也就确定了，因此三角函数的大小只与角有关1若点 P 在角23 的终边上，且|OP|2，则点P 的坐标为()A(1，3)B(3，1)C(1，3)D(1，3)答案：D课前热身 2若m360，n360(m，nZ)，则、终边的位
4、置关系是()A重合B关于原点对称C关于x轴对称D关于y轴对称答案：C3已知角的余弦线是单位长度的有向线段，那么角的终边在()Ax轴上By轴上C直线yx上D直线yx上解析：选A.|cos|1，则角的终边在x轴上故选A.5点 P 从点(0,1)沿单位圆 x2y21 顺时针第一次运动到点(22，22)时，转过的角是_弧度4(教材习题改编)弧长为3，圆心角为135的扇形的半径为_，面积为_答案：4 6答案：34利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角考点探究挑战高考 考点突破 终边相同角的表示(1)写出终边在直
5、线 y 3x 上的角的集合；(2)若角 的终边与67 角的终边相同，求在0,2)内终边与3角的终边相同的角；(3)已知角 是第二象限角，试确定 2、2所在的象限【思路分析】利用终边相同的角进行表示及判断例1【解】(1)在(0，)内终边在直线 y 3x 上的角是3，终边在直线 y 3x 上的角的集合为|3k，kZ(2)67 2k(kZ)，327 2k3(kZ)依题意 027 2k3 237k187，kZ.k0,1,2，即在0,2)内终边与3角的终边相同的角为27，2021，3421.(3)是第二象限角，k36090k360180，kZ，2k36018022k360360，kZ.2 是第三、第四象
6、限角或终边在 y 轴非正半轴上的角k180452k18090，kZ，当 k2m(mZ)时，m360452m36090；当 k2m1(mZ)时，m3602252m360270.2为第一或第三象限角【规律小结】利用终边相同的角的集合S|2k，kZ，判断一个角所在的象限时，只需把这个角写成0,2)范围内的一个角与2的整数倍，然后判断角所在的象限即可互动探究 若例 1(3)中的 是第三象限角，试确定 2，2终边所在的位置解：是第三象限角，180k360270k360(kZ)，3602k36025402k360(kZ)，即(2k1)3602180(2k1)360(kZ)，2的终边在第一或第二象限，或在y
7、轴的非负半轴上90k1802135k180(kZ)，当 k2n(nZ)时，90n3602135n360；当 k2n1(nZ)时，270n3602315n360，2是第二或第四象限角涉及弧长和扇形面积的计算，可用的公式有角度和弧度两种表示方法，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用弧长和扇形面积的核心公式分别是圆的周长公式 C2r 和圆的面积公式 Sr2，当用圆心角的弧度数 代替 2时，即可得到一般的弧长和扇形面积公式：l|r，S12|r2.弧长与扇形的面积公式(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才能使扇形面积最大？【思路分析】
8、(1)设出圆心角、半径r，列方程组求解；(2)用r表示S，转化为关于r的一元二次函数例2【解】(1)设圆心角是，半径是 r，则 2rr1012r24r18 或r412.又(0,2)，8 舍去，r412.即圆心角为12.(2)设圆心角是，半径是 r，则 2rr40，S12r212r(402r)r(20r)(202)2100，当且仅当 r20r，即 r10 时，Smax100.当 r10，2 时，扇形面积最大即半径为 10，圆心角为 2 时，扇形面积最大【名师点评】应用上述公式时，要先把角统一用弧度表示有关最值的问题，一般转化为求函数的最值，把所求问题表示成某一变量的函数，进而求得最值(1)已知角
9、终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解(2)已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题；若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的值三角函数的定义 已知角 终边经过点 P(x，2)(x0)，且 cos 36 x.求 sin、tan 的值例3【思路分析】【解】P(x，2)(x0)，P 到原点的距离 rx22.又 cos 36 x，cosxx22 36 x.x0，x 10，r2 3.当 x 10时，P 点坐标为(10，2)，由三角函数定义，有 sin 66，tan 55；当 x 10时，P 点坐标
10、为(10，2)，sin 66，tan 55.【规律小结】已知角终边上一点P，应用定义求三角函数值时，需求出点P到原点的距离r，若点P的坐标含有字母，在字母的符号不确定的情况下需进行分类讨论方法技巧1在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点|OP|r一定是正值2(1)三角函数线是有向线段，在用字母表示时，应分清其起点、终点，其顺序不能颠倒(如课前热身3题)(2)三角函数曲线即三角函数的图象，与三角函数线是不同的概念，不要混淆方法感悟 3(1)sin不是sin与的乘积，它是一个比值，是三角函数记号，是一个整体，实质就是“f(x)”，其他几个三角函数也是这样(2)在
11、三角函数中，角和三角函数值的对应关系是多值对应，即给定一个角，它的各个三角函数值是唯一确定的(不存在的情况除外)；反过来，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应，如：0时，sin0，但当sin0时，k，kZ.失误防范1注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90的角是概念不同的三类角第一类是象限角，第二、第三类是区间角2角度制与弧度制可利用180 rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用3注意熟记0360间特殊角的弧度表示从近几年的高考试题来看，以三角函数的定义为载体，求三角函数值成为这几年高考热点，试题一般以基础题为主，难度不会太大，属于低、中档题目如2010年新
12、课标全国卷就考查三角函数的定义 预测2012年高考对三角定义及三角函数符号仍会考查 考向瞭望把脉高考 考情分析(2010 年高考课标全国卷)如图，质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(2，2)，角速度为 1，那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图象大致为()例真题透析【解析】P0 2，2，P0Ox4.按逆时针运动时间 t 后得POP0t，POxt4.此时 P 点纵坐标为 2sin(t4)，d2|sin(t4)|.当 t0 时，d 2，排除 A、D；当 t4时，d0，排除 B.【答案】C【名师点评】本题出题角度新颖，考查了三角函数的定义、图象、性质及学生识
13、图、用图的能力试求若t时，P点的坐标1若20，则点 P(tan，cos)位于()A第一象限 B第二象限C第三象限D第四象限解析：选 B.20，tan0，点 P 在第二象限名师预测 2若 是第三象限角，则 y|sin2|sin2|cos2|cos2的值为()A0 B2C2 D2 或2解析：选 A.是第三象限角，2是第二或第四象限角当2为第二象限角时，y1(1)0；当2为第四象限角时，y110.y0.解析：选 B.设扇形的半径为 R，圆心角为，则有 2RR12R2，即 212R，整理得 R24，由于40，R2.3若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径不可能等于()A5 B2C3 D44已知点 P(sin34，cos34)落在角 的终边上，且 0,2)，则 的值为()A.4B.34C.54D.74解析：选 D.rsin234 cos234 1，由三角函数的定义，tanyxcos34sin341.又sin34 0，cos34 0，P 在第四象限74，故选 D.本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
