1、23 平面向量的基本定理及坐标表示23.1 平面向量基本定理第二章 平面向量考点学习目标核心素养平面向量基本定理理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义数学抽象平面向量的夹角掌握两个向量夹角以及两个向量垂直的定义数学抽象平面向量基本定理的应用掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量数学抽象、数学运算第二章 平面向量问题导学预习教材 P93P94，并思考下列问题：1基底中两个向量可以共线吗？2平面向量基本定理的内容是什么？3两向量夹角的定义是什么？如何定义向量的垂直？1平面向量基本定理条件e1，e2 是同一平面内的两个_ 结论对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数1，2，使_
2、基底_的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底不共线向量a1e12e2不共线名师点拨(1)e1，e2 是同一平面内的两个不共线的向量，e1，e2 的选取不唯一，即一个平面可以有多组基底(2)基底 e1，e2 确定后，实数 1，2 是唯一确定的2两向量的夹角(1)定义：作OA a，OB b，则AOB(0180)叫做向量 a 与 b 的夹角(2)特例：当 0时，向量 a，b_；当 90时，向量 a，b_，记作 ab；当 180时，向量 a，b_同向垂直反向名师点拨(1)注意区别向量的夹角和直线的夹角，两者的范围不同，前者是 0180，后者是 090.(2)按照向量夹角的定义，只有两
3、个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，BAC 不是向量CA 与AB 的夹角作AD CA，则BAD 才是向量CA 与AB 的夹角判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)基底中的向量不能为零向量()(2)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底()(3)若 a，b 不共线，且 1a1b2a2b，则 12，12.()(4)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示()答案：(1)(2)(3)(4)设 e1，e2 是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是()A2e1，3e2Be1e2，3e13e2Ce1，5e2De1，e1e2答
4、案：B在正方形 ABCD 中，AC 与CD 的夹角等于()A45B90C120D135答案：D若 AD 是ABC 的中线，已知AB a，AC b，若a，b 为基底，则AD _答案：12(ab)设 e1，e2 是不共线的两个向量，给出下列四组向量：e1 与 e1e2；e12e2 与 e22e1；e12e2 与 4e22e1；e1e2 与 e1e2.其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是_(写出满足条件的序号)平面向量基本定理的理解【解析】设 e1e2e1，则1，10，无解，所以 e1e2 与 e1 不共线，即 e1 与 e1e2 能作为一组基底 设 e12e2(e22e1)，则(12)e1(
5、2)e20，则120，20，无解，所以 e12e2 与 e22e1 不共线，即 e12e2 与e22e1 能作为一组基底 因为 e12e212(4e22e1)，所以 e12e2 与 4e22e1 共线，即 e12e2 与 4e22e1 不能作为一组基底 设 e1e2(e1e2)，则(1)e1(1)e20，则10，10，无解，所以 e1e2 与 e1e2 不共线，即 e1e2 与 e1e2 能作为一组基底【答案】对基底的理解(1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线若共线，则不能作基底，反之，则可作基底(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以用这组基底唯一线性表
6、示出来设向量 a 与 b 是平面内两个不共线的向量，若 x1ay1bx2ay2b，则x1x2，y1y2.提醒 一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样 点 O 为正六边形 ABCDEF 的中心，则可作为基底的一对向量是()A.OA，BCB.OA，CDC.AB，CFD.AB，DE解析：选 B.由题图可知，OA 与BC，AB 与CF，AB 与DE 共线，不能作为基底向量，OA 与CD 不共线，可作为基底向量 如图所示，在ABCD 中，点 E，F 分别为 BC，DC 边上的中点，DE 与 BF 交于点 G，若AB a，AD b，试用 a，b表示向量DE，BF.用基底表示平面
7、向量【解】DE DA AB BE AD AB 12BC AD AB 12AD a12b.BF BA AD DF AB AD 12AB b12a.1变设问本例条件不变，试用基底 a，b 表示AG.解：由平面几何知识知 BG23BF，故AG AB BG AB 23BF a23b12a a23b13a23a23b.2变条件若本例中的基向量“AB，AD”换为“CE，CF”，即若CE a，CF b，试用 a，b 表示向量DE，BF.解：DE DC CE 2FC CE 2CF CE 2ba.BF BC CF 2EC CF 2CE CF 2ab.用基底表示向量的两种方法(1)运用向量的线性运算法则对待求向量
8、不断进行转化，直至用基底表示为止(2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解 1在ABC 中，点 D 在边 AB 上，且BD 12DA，设CB a，CAb，则CD 为()A.13a23bB.23a13bC.35a45bD.45a35b解析：选 B.因为BD 12DA，CB a，CA b，所以CD aBDa13BA a13(ba)23a13b.2如图，已知在梯形 ABCD 中，ADBC，E，F 分别是 AD，BC 边上的中点，且 BC3AD，BA a，BC b.试以 a，b 为基底表示EF，DF.解：连接 FA，DF.因为 ADBC，且 AD13BC，所以AD 13BC 13
9、b，所以AE 12AD 16b.因为BF 12BC，所以BF 12b，所以FABA BF a12b.所以EF EA AF AE FA16ba12b 13ba，DF DA AF(AD FA)13ba12b 16ba.已知|a|b|，且 a 与 b 的夹角为 120，求 ab 与 a 的夹角及 ab 与 a 的夹角向量的夹角解：如图，作OA a，OB b，AOB120，以OA，OB 为邻边作平行四边形 OACB，则OC ab，BA ab.因为|a|b|，所以平行四边形 OACB 为菱形 所以OC 与OA 的夹角AOC60，BA 与OA 的夹角即为BA 与BC 的夹角ABC30.所以 ab 与 a
10、的夹角为 60，ab 与 a 的夹角为 30.两个向量夹角的实质及求解的关键(1)实质：两个向量的夹角，实质上是从同一起点出发的两个非零向量构成的角(2)关键：求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，然后按照“一作二证三算”的步骤，并结合平面几何知识求出两个向量的夹角 1在锐角三角形 ABC 中，下列说法正确的是()A.AB 与BC 的夹角是锐角B.AB 与AC 的夹角是锐角C.AC 与BC 的夹角是钝角D.AC 与CB 的夹角是锐角解析：选 B.由两向量的夹角定义知，AB 与BC 的夹角是 180B，AB 与AC 的夹角是A，AC 与BC 的夹角是C，AC 与CB的夹角是
11、 180C，只有 B 正确2如图，已知ABC 是等边三角形(1)求向量AB 与向量BC 的夹角；(2)若 E 为 BC 的中点，求向量AE 与向量EC 的夹角解：(1)因为ABC 为等边三角形，所以ABC60.如图，延长 AB 至点 D，使 ABBD，则AB BD，所以DBC 为向量AB 与向量BC 的夹角 因为DBC120，所以向量AB 与向量BC 的夹角为 120.(2)因为 E 为 BC 的中点，所以 AEBC，所以向量AE 与向量EC 的夹角为 90.1如图在矩形 ABCD 中，若BC 5e1，DC 3e2，则OC()A.12(5e13e2)B.12(5e13e2)C.12(3e25e
12、1)D.12(5e23e1)解析：选 A.OC 12AC 12(BC AB)12(BC DC)12(5e13e2)2在菱形 ABCD 中，A3，则AB 与AC 的夹角为_解析：由题意知 AC 平分BAD，所以AB 与AC 的夹角为6.答案：63.如图，在平行四边形 ABCD 中，设对角线AC a，BD b，试用基底 a，b 表示AB，BC.解：法一：设 AC，BD 交于点 O，则有AO OC 12AC 12a，BO OD 12BD 12b.所以AB AO OB AO BO 12a12b，BC BO OC 12a12b.法二：设AB x，BC y，则AD BC y，又AB BC AC，AD AB BD，所以xya，yxb，解得 x12a12b，y12a12b，即AB 12a12b，BC 12a12b.本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
