1、1.3.2函数的极值与导数课时过关能力提升基础巩固1.设函数f(x)=xex,则()A.x=1是f(x)的极大值点B.x=1是f(x)的极小值点C.x=-1是f(x)的极大值点D.x=-1是f(x)的极小值点答案:D2.当函数f(x)=-13x3+12x2+2x取极小值时,x的值是()A.2B.2,-1C.-1D.-3解析:f(x)=-x2+x+2=-(x+1)(x-2),则在区间(-,-1)和(2,+)内,f(x)0,故当x=-1时,f(x)取极小值.答案:C3.已知函数f(x)=x3-3bx+3b在区间(0,1)内有极小值,则()A.0b1B.b0D.b12解析:f(x)=3x2-3b.要
2、使f(x)在区间(0,1)内有极小值,又f(x)的图象关于y轴对称,则f(x)在(0,1)内由负变正,即f(0)0,即-3b0,解得0b22时,y0;当0x0.所以当x=22时,函数y=ln x-x2取得极大值,所以所求极值点为22.答案:227.若函数f(x)=aln x+bx2+3x的极值点为x1=1,x2=2,则a=,b=.解析:f(x)的定义域为(0,+),f(x)=ax+2bx+3=2bx2+3x+ax.因为函数f(x)的极值点为x1=1,x2=2,所以x1=1,x2=2是方程f(x)=2bx2+3x+ax=0的两个根,即为方程2bx2+3x+a=0的两根.所以由根与系数的关系知-3
3、2b=1+2,a2b=12,解得a=-2,b=-12.答案:-2-128.已知函数y=ax3+bx2,当x=1时,有极大值3.(1)求a,b的值;(2)求函数y的极小值.分析:解决本题的关键是运用待定系数法求得a,b的值,进而可求函数y的极小值.解:(1)y=3ax2+2bx.当x=1时,y|x=1=3a+2b=0.由题意得a+b=3.故3a+2b=0,a+b=3,解得a=-6,b=9.经检验知,符合题意.故a=-6,b=9.(2)由(1),得y=-6x3+9x2,则y=-18x2+18x.令y=0,得x=0或x=1.易知x=0是函数的极小值点,所以y极小值=0.9.求函数f(x)=x3-22
4、(x-1)2的极值.分析:首先确定函数f(x)的定义域,然后正确求导,解方程f(x)=0.进而列表求极值.解:函数f(x)的定义域为(-,1)(1,+).f(x)=(x-2)2(x+1)2(x-1)3,令f(x)=0,得x1=-1,x2=2.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(-,-1)-1(-1,1)(1,2)2(2,+)f(x)+0-+0+f(x)-383故当x=-1时,函数f(x)有极大值,极大值为f(-1)=-38,f(x)无极小值.能力提升1.下列函数存在极值的是()A.f(x)=1x B.f(x)=x-exC.f(x)=x3+x2+2x-3 D.f(x)=x3解析:
5、A项中,f(x)=-1x2,令f(x)=0无解,故A项中的函数无极值;B项中,f(x)=1-ex,令f(x)=0,得x=0.当x0,当x0时,f(x)0.故f(x)在x=0处取极大值,f(0)=-1;C项中,f(x)=3x2+2x+2,=4-24=-200,故f(x)无极值.同理D项也无极值.故选B.答案:B2.已知函数f(x)=ax3+bx2+c,其导函数图象如图所示,则函数f(x)的极小值是()A.a+b+cB.8a+4b+cC.3a+2bD.c解析:由题图可知函数f(x)在(-,0)内单调递减,在(0,2)内单调递增,所以函数f(x)在x=0处取得极小值c.答案:D3.已知函数f(x)=
6、x(ln x-ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是()A.(-,0)B.0,12C.(0,1)D.(0,+)解析:f(x)=ln x-ax+x1x-a=ln x-2ax+1,函数f(x)有两个极值点,即ln x-2ax+1=0有两个不同的根(在正实数集上),即函数g(x)=lnx+1x与函数y=2a的图象在(0,+)内有两个不同的交点.因为g(x)=-lnxx2,所以g(x)在(0,1)内递增,在(1,+)内递减,所以g(x)max=g(1)=1,如图所示.若g(x)与y=2a的图象有两个不同交点,则02a1,即0a0).当x0时,-ex-1,a0)的极大值与极小值的积小于0,则a的取值范
7、围是.解析:f(x)=3x2-3a2=3(x-a)(x+a)(a0),令f(x)=0,得x=a.当-axa时,f(x)a或x0,函数f(x)递增,所以f(x)极大值=f(-a)=-a3+3a3+a=2a3+a,f(x)极小值=f(a)=a3-3a3+a=-2a3+a,且f(-a)f(a),故f(-a)0,f(a)22.答案:a227.已知函数f(x)=ax(x+r)2(a0,r0).(1)求f(x)的定义域,并讨论f(x)的单调性;(2)若ar=400,求f(x)在区间(0,+)内的极值.解:(1)由题意知x-r,f(x)的定义域为(-,-r)(-r,+).f(x)=ax(x+r)2=axx2
8、+2rx+r2,f(x)=a(x2+2rx+r2)-ax(2x+2r)(x2+2rx+r2)2=a(r-x)(x+r)(x+r)4,所以当xr时,f(x)0;当-rx0.因此,f(x)的单调递减区间为(-,-r),(r,+);f(x)的单调递增区间为(-r,r).(2)由(1)可知f(r)=0,f(x)在区间(0,r)内单调递增,在区间(r,+)内单调递减.因此,x=r是f(x)的极大值点.所以f(x)在区间(0,+)内的极大值为f(r)=ar(2r)2=a4r=4004=100,f(x)在区间(0,+)内没有极小值.8.设f(x)=2x3+ax2+bx+1的导数为f(x),若函数y=f(x)
9、的图象关于直线x=-12对称,且f(1)=0.(1)求实数a,b的值;(2)求函数f(x)的极值.解:(1)因为f(x)=2x3+ax2+bx+1,所以f(x)=6x2+2ax+b.从而f(x)=6x+a62+b-a26,即y=f(x)的图象关于直线x=-a6对称,从而由题设条件知-a6=-12,解得a=3.又因为f(1)=0,所以6+2a+b=0,解得b=-12.所以,实数a,b的值分别为3,-12.(2)由(1)知f(x)=2x3+3x2-12x+1,f(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2).令f(x)=0,即6(x-1)(x+2)=0,解得x1=-2,x2=1.当x(-,-2)时,f(x)0,故f(x)在区间(-,-2)内为增函数;当x(-2,1)时,f(x)0,故f(x)在区间(1,+)内为增函数;从而函数f(x)在x1=-2处取得极大值f(-2)=21,在x2=1处取得极小值f(1)=-6.
