1、提能专训(十一)数列的通项与求和一、选择题1(2014漳州七校联考)若数列an的通项公式是an(1)n(3n2)，则a1a2a10()A15 B12 C12 D15答案A解析anan1(1)n(3n2)(1)n1(3n1)(1)n(3n23n1)3(1)n，a1a2a103333315.2(2014西工大附中一模)已知等差数列an中，Sn为其前n项和，若a13，S5S10，则当Sn取到最小值时n的值为()A5 B7 C8 D7或8答案D解析由S5S10，得a6a7a8a9a100，a80.又a13，S7S8为最小值Sn取到最小值时n的值为7或8，故选D.3(2014阜新二模)已知数列an中，a
2、11,2nan1(n1)an，则数列an的通项公式为()A. B.C. D.答案B解析ana11.故选B.4(2014江西十校联考二)等比数列an的前n项和为Sn，若S2n4(a1a3a2n1)，a1a2a327，则a6()A27 B81 C243 D729答案C解析设等比数列an的公比为q，依题意有解得，所以a6a1q535243，故选C.巧解：设等比数列an的公比为q，依题意有偶数项的和等于奇数项的和的3倍，所以，所以a23a1，所以q3，因为a1a3a，a1a2a327，所以a23，所以a6a2q435243，故选C.5(2014唐山一模)已知等比数列an的前n项和为Sn，且a1a3，a
3、2a4，则()A4n1 B4n1 C2n1 D2n1答案D解析由，可得2，解得q，代入得a12，an2n1，Sn4，2n1，故选D.6(2014皖西七校联合考试)已知数列an是等差数列，a1tan 225，a513a1，设Sn为数列(1)nan的前n项和，则S2 014()A2 014 B2 014 C3 021 D3 021答案C解析a1tan 2251，a513a113，则公差d3，an3n2.解法一：(1)nan(1)n(3n2)，S2 014(a2a1)(a4a3)(a6a5)(a2 012a2 011)(a2 014a2 013)1 007d3 021，故选C.解法二(错位相减)：由
4、于(1)nan(1)n(3n2)，则S2 0141(1)14(1)27(1)36 037(1)2 0136 040(1)2 014，式两边分别乘1，得(1)S2 0141(1)24(1)37(1)46 037(1)2 0146 040(1)2 015，得2S2 014136 040(1)2 0156 042，S2 0143 021.7(2014山大附中高三月考)已知数列an满足anlogn1(n2)(nN*)，定义使a1a2a3ak为整数的数k(kN*)叫做幸运数，则k1,2 014内所有的幸运数的和为()A1 013 B1 560 C2 026 D2 088答案C解析由题可得a1a2a3ak
5、log23log34log45logk1(k2)log2(k2)为整数，即log2(k2)m，mZ，则k2m2，结合k1,2014，则k2,6,14,30,62,126,254,510,1 022，所以261430621262545101 022(2223210)182 026，故选C.8(2014天津一中月考)若(12x)2 010a0a1xa2 010x2 010(xR)，则的值为()A2 B0 C1 D2答案C解析(12x)2 0101C2xC22x2C22 010x2 010，CCC(11)2 010C1，故选C.9(2014太原五中模拟)已知数列an前n项和为Sn159131721(
6、1)n1(4n3)，则S15S22S31的值是()A13 B76 C46 D76答案B解析Sn159131721(1)n1(4n3)，S1515913577(4)5729，S22159138511(4)44，S311591312115(4)12161，S15S22S3176，故选B.10设等差数列an和等比数列bn首项都是1，公差与公比都是2，则ab1ab2ab3ab4ab5()A54 B56 C58 D57答案D解析由题意an12(n1)2n1，bn12n12n1，ab1ab5a1a2a4a8a16137153157，故选D.11(2014大庆质检)已知数列an满足an1anan1(n2)，
7、a11，a23，记Sna1a2an，则下列结论正确的是()Aa2 0141，S2 0142 Ba2 0143，S2 0145Ca2 0143，S2 0142 Da2 0141，S2 0145答案D解析由已知数列an满足an1anan1(n2)，知an2an1an，an2an1(n2)，an3an，an6an，又a11，a23，a32，a41，a53，a62，所以当kN时，ak1ak2ak3ak4ak5ak6a1a2a3a4a5a60，a2 014a41，S2 014a1a2a3a4132(1)5，故选D.12(2014闵行区一模)若数列an的前n项和为Sn，有下列命题：(1)若数列an是递增数
8、列，则数列Sn也是递增数列；(2)无穷数列an是递增数列，则至少存在一项ak，使得ak0；(3)若an是等差数列(公差d0)，则S1S2Sk0的充要条件是a1a2ak0；(4)若an是等比数列，则S1S2Sk0(k2)的充要条件是anan10.其中，正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3答案B解析(1)错，例如：数列3，2，1,0,1,2,3，Sn不是递增数列(2)错，例如：an，则an是递增数列，但an0.(3)错，例如：等差数列3，2，1,0，有a1a2a3a40，而S1S2S3S40.(4)正确，若anan10，则q1，当k2时，一定会出现Sk0；若Sk0，则qk1.又q1，k2时，
9、必有q1，故选B.二、填空题13(2014广州综合测试)在数列an中，已知a11，an1，记Sn为数列an的前n项和，则S2 014_.答案解析由已知递推公式，可得a11，a2，a32，a41，该数列以3为周期，即为1，2,1，2，故S2 0146711.14(2014新疆检测)公比为q的等比数列an的前n项和为Sn，且a2a420，a3a540，设Tnn(Snq)，则数列Tn的前n项和为_答案(n1)2n24解析依题意，得q2，a1qa1q310a120，a12，Snq22n1，Tnn2n1.记数列Tn的前n项和为Bn，则Bn122223324n2n1，2Bn123224(n1)2n1n2n
10、2，由，得Bn2223242n1n2n2n2n2(n1)2n24，因此数列Tn的前n项和为(n1)2n24.15(2014上海长宁区第一学期教学质量检测)数列an满足a1a2an2n5，nN*，则an_.答案解析在a1a2an2n5中，用n1代换n得a1a2an12(n1)5(n2)，两式相减得an2，an2n1，又a17，即a114，故an16(2014苏北四市质检)设等比数列an的前n项和为Sn，若a4，a3，a5成等差数列，且Sk33，Sk163，其中kN*，则Sk2的值为_答案129解析设公比为q，由2a3a4a5，得2a3a3qa3q2.a30，q2q20.q2或q1(舍去)ak1S
11、k1Sk633396，ak2ak1q192.Sk2Sk1ak263192129.三、解答题17(2014临沂质检)设数列an满足a12，a2a48，且对任意的nN*，都有anan22an1.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn的前n项和为Sn，且满足S1Sn2bnb1，nN*，b10，求数列anbn的前n项和Tn.解：(1)由nN*，anan22an1，知an是等差数列，设公差为d，a12，a2a48，224d8，解得d1.ana1(n1)d2(n1)1n1.(2)由nN*，S1Sn2bnb1知，当n1时，有b2b1b1b1，b10，b11，Sn2bn1.当n2时，Sn12bn11.由
12、，得SnSn12bn1(2bn11)2bn2bn1，即n2时，bn2bn2bn1，bn2bn1，数列bn是首项为1，公比为2的等比数列，bn2n1.anbn(n1)2n1.则Tn232422n2n2(n1)2n1，2Tn22322423n2n1(n1)2n，得Tn22222n1(n1)2n1(n1)2nn2n，Tnn2n.18(2014湖北七市联考)已知数列an是等差数列，bn是等比数列，其中a1b11，a2b2，且b2为a1，a2的等差中项，a2为b2，b3的等差中项(1)求数列an与bn的通项公式；(2)记cn(a1a2an)(b1b2bn)，求数列cn的前n项和Sn.解：(1)设an的公
13、差为d，bn的公比为q.由2b2a1a2,2a2b2b3，得q1，d0或q2，d2，又a2b2，所以q2，d2，所以an2n1，bn2n1.(2)由(1)，得cnn2(2n1)n2nn，所以Sn(121222n2n)(12n)令Tn121222n2n，2Tn122223n2n1，由，得Tn(n1)2n12，所以Sn(n1)2n12.19(2014广州综合测试)已知数列an的前n项和为Sn，且a10，对任意nN*，都有nan1Snn(n1)(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足anlog2nlog2bn，求数列bn的前n项和Tn.解：(1)解法一：nan1Snn(n1)，当n2时，(n
14、1)anSn1n(n1)，两式相减，得nan1(n1)anSnSn1n(n1)n(n1)，即nan1(n1)anan2n，化简，得an1an2.当n1时，1a2S112，即a2a12.数列an是以0为首项，2为公差的等差数列an2(n1)2n2.解法二：由nan1Snn(n1)，得n(Sn1Sn)Snn(n1)，整理，得nSn1(n1)Snn(n1)，两边同除以n(n1)，得1.数列是以0为首项，1为公差的等差数列0n1n1.Snn(n1)当n2时，anSnSn1n(n1)(n1)(n2)2n2.又a10适合上式，数列an的通项公式为an2n2.(2)anlog2nlog2bn，bnn2ann22n2n4n1.Tnb1b2b3bn1bn40241342(n1)4n2n4n1，4Tn41242343(n1)4n1n4n，得3Tn4041424n1n4nn4n.Tn(3n1)4n1
