1、河北省石家庄市二中学2021届高三数学上学期期中试题第卷（选择题 共60分）一、 单项选择题（每小题5分，共40分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1、已知集合，则（ ）ABCD 2、若函数的图象与直线一个交点的坐标为，则( )AB1CD无法确定3、沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为12cm，体积为的细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙
2、堆的高度为（ ）A3cmB8cmC6cmD9cm4、已知向量，若，则实数（ ）A-1B1C2D-25、已知m，n为不同的直线，为不同的平面，下列四个命题中，正确的是()A若m，n，则mnB若m，n，且m，n，则C若，m，则mD若，m，m，则m6、函数的部分图像如图中实线所示，图中圆与的图像交于，两点，且在轴上，则下列说法中正确的是（ ）A函数的最小正周期是B函数的图像关于点成中心对称C函数在上单调递增D函数的图像向右平移个单位长度后关于原点成中心对称7、将正整数12分解成两个正整数的乘积有，三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为12的最佳分解.当(且p)是正整数n的最佳分解时，
3、我们定义函数，例如，则数列的前2020项和为（ ）ABCD8、若函数是增函数，则实数的取值范围是（ ）ABCD二、多项选择题（每小题5分，共20分。下列每小题所给选项至少有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）9、已知等比数列中，满足，是的前项和，则下列说法正确的是（ ）A数列是等比数列B数列是递增数列C数列是等差数列D数列中，仍成等比数列10、，表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”则下列命题中正确的是（ ）A，B，C，D函数的值域为11、如图，在边长为4的正三角形中，E为边的中点，过E作于D.把沿翻折至的位置，连结.
4、翻折过程中，其中正确的结论是（ ）A；B存在某个位置，使；C若，则的长是定值；D若，则四面体的体积最大值为12、已知定义在上的函数，定义函数（其中为实数），若对于任意的，都有，则整数可以为（ ）A4B5C6D7第卷（共90分）三、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分；第16题第一个空2分，第二个空3分）13、已知函数，则_14、若直线： 经过点(2,4)，则的最小值是_15已知在锐角中，,则的取值范围是 .16.我国古代九章算术中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图的刍童有外接球，且，平面与平面间的距离为，则该刍童外接球的体积为_.四、 解答题：（本大题共6小题，共70分;第1
5、7题10分，第18-22题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17、已知等差数列的公差为，前项和为，且满足_.（从成等比数列；，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题）（1）求；（2）若，求数列的前项和.18、在中，角所对的边分别为，；（1）证明：为等腰三角形；（2）若为边上的点，且，求的值19、如图，三棱锥中，侧面是边长为的正三角形，平面平面，把平面沿旋转至平面的位置，记点旋转后对应的点为（不在平面内），、分别是、的中点.（1）求证：；（2）求三棱锥的体积的最大值.20、为了研究某种癌细胞的繁殖规律和一种新型抗癌药物的作用，将癌细胞注入一只小白鼠体内
6、进行实验，经检测，癌细胞的繁殖规律与天数的关系如下表.已知这种癌细胞在小白鼠体内的个数超过时小白鼠将会死亡，注射这种抗癌药物可杀死其体内癌细胞的.天数1234567癌细胞个数1248163264（1）要使小白鼠在实验中不死亡，第一次最迟应在第几天注射该种药物？(精确到1天)（2）若在第10天，第20天，第30天，给小白鼠注射这种药物，问第38天小白鼠是否仍然存活？请说明理由.（注：）21、在四棱锥中，为正三角形，且平面平面.（1）求二面角的余弦值；（2）线段上是否存在一点，使异面直线和所成角的余弦值为？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.22、已知函数，（1）求证：；（2）用表示，中的
7、最大值，记，讨论函数零点的个数21、已知三棱锥中，与均为等腰直角三角形，且，为上一点，且平面.（1）求证：；（2）过作一平面分别交， ， 于，若四边形为平行四边形，求多面体的表面积.22、已知函数，（1）求证：；（2）用表示，中的最大值，记，讨论函数零点的个数选择题 1-4 C B C B 6-8 DBAC 多选题9. AC 10. CD 11. ACD 12.AB填空题13、 14、 15、（0，,12） 16、.17、（1）由，得，即；由，成等比数列，得，即由，得，即； 选择、条件组合，均得、，即 （2）由（I）得， 则，即18、 （1），由正弦定理得：，由余弦定理得：；化简得：,所以即，
8、 故为等腰三角形（2）如图，由已知得， ， 又，即，得，由（1）可知，得解法二：取的中点，连接由（1）知， 由已知得， ，19、（1）如图，连接、，因为，是的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以因为为边长为的正三角形，所以，又，所以由勾股定理可得，又，则，所以为直角三角形，且，又、分别是、的中点，所以，所以；（2）如图，连接、，因为三棱锥与三棱锥为同一个三棱锥，且的面积为定值，所以当三棱锥的体积最大时，则平面平面，则，为的中点，则，平面平面，平面平面，平面，平面，此时点到平面的距离为，在中，因为，所以， 所以的最大值为，所以三棱锥的体积的最大值为20、（1）根据表格可得
9、癌细胞个数，成等比数列增长，首项为1，公比为2，其通项为，要使小白鼠在实验中不死亡，可建立不等式.， 即第一次最迟应在第27天注射该种药物.（2）设第次注射药物后小白鼠体内的这种癌细胞个数为，则，且.，即第3次注射后小白鼠体内的这种癌细胞个数为.到第38天小白鼠体内这种癌细胞个数为第38天小白鼠仍然存活.21、设是中点，为正三角形，则，平面平面，面，又，所以为正三角形，建立如图所示空间直角坐标系，则，于是，(1)设平面的法向量为，由得一个法向量为，平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，则由图知为锐角，所以，二面角的余弦值为.(2) 设，则，所以解得或，所以存在点M为线段PC的三等分点.22、
10、（1）设，其定义域为，当时，；当时，故在上是减函数，在上是增函数，所以是的极小值点，也是的最小值点，即，故成立（2）函数的定义域为，当时，；当时，；所以在上是减函数，在上是增函数，所以是的极小值点，也是的最小值点，即（）若，当时，；当时，；当时，所以此时，只有一个零点；（）若，当时，则；当时，则此时没有零点；（）若，当时，根据（1）知，而，所以，又，所以在上只有一个零点，从而一定存在，使得，即，即当时，所以，从而从而在上有一个零点，在上有一个零点1此时，当时，有两个零点综上，当时，有一个零点；当时，没有零点；当时，有两个零点21、（1）由，所以，由平面，平面，可得，又由，且平面，平面，所以平面，又因为平面,所以.（2）在等腰直角中，所以，又因为，可得平面，所以.等腰中，由，可得，又中，所以，而，可得，故，因为四边形为平行四边形，所以，可得平面，又平面，且平面平面，所以，由，可得，且有，由平面，可得，进而得到，所以四边形为矩形， 同理可得，且，可得，.所以所求表面积为.
