1、第一课时 两条直线的交点坐标、两点间的距离3.3 直线的交点坐标与距离公式一、预习教材问题导入 根据以下提纲，预习教材P102P106，回答下列问题：(1)直线上的点与其方程AxByC0的解有什么样的关系？提示：直线l上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解反之直线l的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标(2)由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系？提示：若方程组无解，则l1l2；若方程组有且只有一个解，则l1与l2相交；若方程组有无数解，则l1与l2重合提示：当x1x2，y1y2时，|P1P2|x2x1|；当x1x2，y1y2时，|P1P
2、2|y2y1|；当x1x2，y1y2时，|P1P2|x2x12y2y12.(3)已知平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求P1，P2的距离|P1P2|?二、归纳总结核心必记 1两条直线的交点坐标(1)求法：两个直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可(2)应用：可以利用两条直线的判断两条直线的位置关系交点个数方程组一组无数组无解直线l1和l2的公共点个数_个_个直线l1和l2的位置关系相交重合平行一般地，直线l1：A1xB1yC10和直线l2：A2xB2yC20的位置关系如表所示：一个无数零A1xB1yC10，A2xB2yC20的解2.两
3、点间的距离公式两点坐标P1(x1，y1)，P2(x2，y2)距离公式|P1P2|特例若O(0,0)，P(x，y)，则|OP|x2x12y2y12x2y2三、综合迁移深化思维 两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式是否可以写成|P1P2|x1x22y1y22的形式？提示：可以，原因是x2x12y2y12x1x22y1y22，也就是说公式中P1，P2两点的位置没有先后之分探究点一 两条直线交点的坐标思考探究观察图形，思考下列问题：(1)在方程组中，每一个方程都可表示为一直线，那么方程组的解说明什么？提示：两直线的公共部分，即交点(2)如何求上述两直线的交点坐标？提示：将两直线方程联
4、立，求方程组的解即可(3)两条直线相交的条件是什么？名师指津：两直线相交的条件：将两直线方程联立，解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交当方程组只有一解时，两直线相交设l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1与l2相交的条件是A1B2A2B10或A1A2B1B2(A2，B20)若两直线斜率都存在，设两条直线l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，则l1与l2相交k1k2.典例精析求经过两直线l1：3x4y20和l2：2xy20的交点且过坐标原点的直线l的方程(链接教材P103例2)解 法一：由方程组3x4y20，2xy20，解得x2，y2，即l1与l2的交点坐标为(2,2)
5、直线过坐标原点，其斜率k 221.故直线l的方程为yx，即xy0.法二：l2不过原点，可设l的方程为3x4y2(2xy2)0(R)，即(32)x(4)y220.将原点坐标(0,0)代入上式，得1，直线l的方程为5x5y0，即xy0.类题通法(1)两条直线相交的判定方法方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交方法二：两直线斜率都存在且斜率不等方法三：两直线的斜率一个存在，另一个不存在(2)过两条直线交点的直线方程的求法常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程特殊解法(直线系法)：先设出过两直线交点的直线方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后
6、确定直线方程针对训练1判断下列各对直线的位置关系若相交，求出交点坐标：(1)l1：2xy30，l2：x2y10；(2)l1：xy20，l2：2x2y30.解：(1)解方程组2xy30，x2y10，得x1，y1，所以直线l1与l2相交，交点坐标为(1，1)(2)解方程组xy20，2x2y30，2，得10，矛盾，方程组无解所以直线l1与l2无公共点，即l1l2.2求经过直线l1：x3y30，l2：xy10的交点且平行于直线2xy30的直线方程解：法一：由x3y30，xy10，得x0，y1，直线l1与l2的交点坐标为(0,1)，再设平行于直线2xy30的直线方程为2xyc0，把(0,1)代入所求的直
7、线方程，得c1，故所求的直线方程为2xy10.法二：设过直线l1、l2交点的直线方程为x3y3(xy1)0(R)，即(1)x(3)y30，由题意可知，132，解得53，所以所求直线方程为83x43y430，即2xy10.探究点二 两点间的距离公式思考探究观察下面图形：图1图2(1)如何求图1中A、B两点间的距离？提示：|AB|xAxB|.(2)图2中能否用数轴上两点A，B间距离求出任意两点间距离？提示：可以，构造直角三角形利用勾股定理求解名师指津：对两点间距离公式的理解：公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可以写成|P1P2|x1x22y1y22，利用此公式可以将几何问题代数化当直线P1P
8、2平行于坐标轴时距离公式仍然可以使用，但一般我们用下列方法：法一：直线P1P2平行于x轴时|P1P2|x2x1|；法二：直线P1P2平行于y轴时|P1P2|y2y1|.(3)怎样理解两点间的距离公式？典例精析已知ABC三顶点坐标A(3,1)、B(3，3)、C(1,7)，试判断ABC的形状解 法一：|AB|3323122 13，|AC|1327122 13，又|BC|1327322 26，|AB|2|AC|2|BC|2，且|AB|AC|，ABC是等腰直角三角形法二：kAC711332，kAB 313323，则kACkAB1，ACAB.又|AC|1327122 13，|AB|3323122 13，
9、|AC|AB|，ABC是等腰直角三角形类题通法1计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|x2x12y2y12.(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解2解答本题还要注意构成三角形的条件针对训练3(1)已知点A(3,4)，B(2，3)，在x轴上找一点P，使|PA|PB|，并求|PA|的值；(2)已知点M(x，4)与点N(2,3)间的距离为7 2，求x的值解：(1)设点P的坐标为(x,0)，则有|PA|x32042x26x25，|PB|x220 32x24x7.由|PA|PB|，得x26x25x24x7，解得x9
10、5.故所求点P的坐标为95，0.|PA|953 20422 1095.(2)由|MN|7 2，得|MN|x224327 2，即x24x450，解得x19或x25.故所求x的值为9或5.探究点三 对称问题典例精析如图，一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x6y25反射后通过点P(4,3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程思路点拨 先求出原点关于l的对称点，然后利用反射光线的反向延长线过对称点可求方程解 设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得ba43 1，8a26b225，解得a4，b3，A的坐标为(4,3)反射光线的反向延长
11、线过A(4,3)，又由反射光线过P(4,3)，两点纵坐标相等故反射光线所在直线方程为y3.由方程组y3，8x6y25，解得x78，y3，由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y3x78.由光的性质可知，光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|，由A(4,3)，P(4,3)知，|AP|4(4)8，光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8.类题通法光线的入射、反射的问题以及在某定直线取点，使它与两定点距离之和最小这类问题均属于点关于直线对称的问题(1)点A(x0，y0)关于直线l：AxByC0的对称点M(x，y)，可由方程组yy0 xx0AB 1AB0，Axx02Byy02C0求得(2)常用
12、对称的特例有：A(a，b)关于x轴的对称点为A(a，b)；B(a，b)关于y轴的对称点为B(a，b)；C(a，b)关于直线yx的对称点为C(b，a)；D(a，b)关于直线yx的对称点为D(b，a)；P(a，b)关于直线xm的对称点为P(2ma，b)；Q(a，b)关于直线yn的对称点为Q(a,2nb)针对训练4若点P(m,0)到点A(3,2)及B(2,8)的距离之和最小，求实数m的值解：点A(3,2)关于x轴的对称点为A(3，2)因为点P(m,0)在x轴上，由对称性可知|PA|PA|，所以|PA|PB|PA|PB|，所以当A，P，B三点共线时，|PA|PB|最小因为kAB82232，所以直线AB
13、的方程为y82(x2)，即y2x4.令y0，得x2，即A，P，B三点共线时，点P的坐标为(2,0)，所以所求实数m的值为2.课堂归纳领悟1本节课的重点是了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系，会用解方程组的方法求两条相交直线交点的坐标，掌握两点间距离公式并能灵活应用难点是了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系2本节课要重点掌握的规律方法(1)掌握两条直线相交的判定方法，掌握过两条直线交点的直线方程的求法，见探究点一(2)计算两点间距离的方法，见探究点二(3)点关于直线对称问题的解决方法，见探究点三3本节课的易错点是点关于直线对称问题及求两直线交点坐标计算错误，如探究点一，三 “课下梯度提能”见“课时跟踪检测(二十)”(单击进入电子文档)谢 观 看THANK YOU FOR WATCHING谢
