1、东莞外国语学校2023-2024高二数学上学期第一次段考一、单选题1若直线经过两点，则直线的倾斜角为（）ABCD2若直线与直线平行，则的值为（）AB0C1D0或13已知三点、，则A三点构成等腰三角形B三点构成直角三角形C三点构成等腰直角三角形D三点构不成三角形4如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则 AB1CD25如图，二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，则该二面角的大小为（ ）ABC D6如图，分别是圆台上、下底面的两条直径，且，是弧靠近点的三等分点，则在上的投影向量是（） A BCD7如图，正方体中的棱长为2，分别为所在棱的中点，则四棱锥的外接
2、球的表面积为 （ ） A BCD8已知是正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（ ）AB CD二、多选题9若向量，是空间的一个基底，向量那么可以与，构成空间的一组基底的向量是 A B C D 10过点，并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（）ABCD11若直线，不能构成三角形，则m的取值可能为（）ABCD12如图，在正方体中，点P在侧面及其边界上运动，并且总是保持，则下列结论正确的是（）AB点P在线段上C平面D直线AP与侧面所成角的正弦值的范围为三、填空题13过点且与直线垂直的直线方程是 14已知四棱柱的底面ABCD是矩形，底面边长和侧棱长均为
3、2，则对角线的长为_15如图，正四棱锥模型中，过点作一个平面分别交棱、于点、，若 ，则_ 16材料：在空间直角坐标系中，经过点且法向量的平面的方程为，经过点且方向向量的直线方程为阅读上面材料，并解决下列问题：平面的方程为，直线l的方程为，则l与的交点坐标为 ，与所成角的正弦值为 四、解答题17已知，求：（1）()()的值；（2）以，为邻边的平行四边形的面积18（1）若直线经过两点，且倾斜角为，求的值（2）若，三点共线，求实数的值（3）若直线过点且倾斜角为直线的倾斜角的2倍，求直线方程19如图，在四面体OABC中，N是棱BC的中点，P是线段MN的中点设，(1)用，表示向量；(2)已知，求的大小2
4、0已知直线的方程为：(1)求证：不论为何值，直线必过定点；(2)过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程21如图四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且，E是BC的中点求异面直线GE与PC所成的角的余弦值；求点D到平面PBG的距离；若F点是棱PC上一点，且，求的值22(本题12分)空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60，我们将这种坐标系称为“斜60坐标系”我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60坐标系”
5、下向量的斜60坐标：分别为“斜60坐标系”下三条数轴（x轴y轴z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组（x，y，z）相对应，称向量的斜60坐标为x，y，z，记作(1)若，求的斜60坐标；(2)在平行六面体中，AB=AD=2，AA1=3，如图，以为基底建立“空间斜60坐标系”若，求向量的斜坐标；若，且，求东莞外国语学校2023-2024高二数学上学期第一次段考参考答案1【答案】B【解析】由两点的坐标代入两点间的斜率公式可得，设直线的倾斜角为，可知，所以2【答案】D【解析】因为直线与直线平行，所以，解得：或，当时，直线分别为和，满足题意；当时，直线分别为和，满足题意，综上：实数的值为或3【答
6、案】B【详解】由空间中两点间的距离公式可得，因此，三点构成直角三角形4【答案】B【解析】解：正方体中，点为上底面的中心，故选：5【答案】B【解析】由条件，知，又，二面角的大小为故答案为：6【答案】C【解析】如图，取在下底面的投影C，作，垂足为D 连接，则，在上的投影向量是设上底面的半径为r，则，故在上的投影向量是7 【答案】D【解析】如图，建立空间直角坐标系，则，设球心为，外接球半径为R，解得，代入得，8【答案】B【解析】设正方体内切球的球心为，则，为球的直径，又在正方体表面上移动，当为正方体顶点时，最大，最大值为；当为内切球与正方体的切点时，最小，最小值为，即的取值范围为故选9【答案】CD【
7、解析】由题意和空间向量的共面定理，结合，得与、是共面向量，同理及与、是共面向量易证得一定不与、共面。10【答案】ABC【解析】设所求直线在，轴上的截距分别为，当时，过点的直线为即，当且时，设直线的方程为，则，可得或 ，此时直线方程为或即或，综上所述：所求直线的方程为：或或，11【答案】ABD【详解】因为直线，不能构成三角形，所以存在，过与的交点三种情况显然，则直线的斜率分别为，当时，有，即，解得；当时，有，即，解得；当过与的交点时先联立，解得，则与的交点为，代入，得，解得综上：或或12【答案】BC【解析】对于A，点P在平面内，平面平面，所以点P到平面的距离即为点C到平面的距离，即正方体的棱长，
8、所以，A错误；对于B，以D为坐标原点可建立如图的空间直角坐标系，则，且，所以，因为，所以，所以，即，所以，所以，即，C，P三点共线，故点P在线段上，B正确；对于C，由，因为，平面，所以平面，C正确；对于D，平面的一个法向量为设与平面的夹角为，为锐角，其正弦值为由，得，D错误13【答案】【解析】由题设知：直线斜率为，故与其垂直的直线的斜率为，过点且与直线垂直的直线方程为故该直线方程为故答案为：14 【答案】【解答】解：设则，则对角线的长为故答案为15解： 法一：设，则有法二：如图所示：作法：连接并延长，与的延长线相交于点，连接并延长，与的延长线相交于点，连接，与相交于一点，则该点即为点理由如下：
9、因为与是两条相交直线，所以与确定一个平面，则，、，因为，所以，因为，所以，、四点共面16 【答案】 【解析】（1）因为平面的方程，即，故平面经过点，且法向量；又直线l的方程为，即，故直线l经过点且方向向量则l与的交点坐标为（2）设直线与平面所成的角为，则故答案为：；17【解答】（1）由， ()()= （2）故以，为邻边的平行四边形的面积：18【解析】(1)由题意可得：，解方程可得：；(2)由题意可得：，即：，解方程可得：；(3)设直线的倾斜角为，则，由点斜式可得所求直线方程为：，整理为一般式即：19 【解析】（1）连接，因为P是线段MN的中点，所以，因为N是棱BC的中点，即，所以（2） 因为，所以，故20【解析】（1）证明：原方程整理得：由，可得，不论为何值，直线必过定点（2）设直线的方程为令令当且仅当，即时，三角形面积最小21【解析】以点为原点，为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，故E，所以与所成的余弦值为平面的单位法向量因为，所以点到平面的距离为，设，则，因为，所以，所以，又，所以，故F，所以22【解析】（1）由，知，所以，所以； （2）设分别为与同方向的单位向量，则， 由题，因为，所以，由知，则
