1、23.2 平面与平面垂直的判定一、预习教材问题导入 根据以下提纲，预习教材 P67P69，回答下列问题(1)平面几何中“角”是怎样定义的？在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？提示：从平面内一点出发的两条射线(半直线)所组成的图形已知异面直线 a、b，经过空间中任一点 O 作直线 aa、bb，我们把 a与 b所成的锐角(或直角)叫异面直线 a 与 b 所成的角；(平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角)它们的共同特征是都是平面角，都是由两条直线组成的图形，角的范围不超过 90.(2)在生产实践中，有许
2、多问题要涉及两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？提示：修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，也要根据需要，使卫星轨道平面与地球赤道平面成一定的角度；教室的门在打开的过程中与墙面成一定的角度；书本翻开的过程中，两张纸面呈一定的角度等等(3)教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？分别指出是哪些二面角？这些二面角各是多少度？提示：可以构成三个二面角；分别是两相邻墙面构成的二面角，一个墙面与地面构成的二面角，另一个墙面与地面构成的二面角；这三个二面角都为 90.二、归纳总结核心必记 1二面角二面角：从一条直线出发的所组成的图形
3、叫做二面角这条直线叫做二面角的棱这两个叫做二面角的面如图(1)可记作：或或.如图(2)对二面角-l-若有：()O l；()OA ，OB ；()OA l，OB l.则AOB 就叫做二面角-l-的平面角两个半平面半平面二面角-l-P-AB-QP-l-Q2平面与平面的垂直(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直(2)画法：直二面角记作：.(3)面面垂直的判定定理文字语言：一个平面过另一个平面的，则这两个平面垂直图形语言：如图所示垂线符号语言：.aa三、综合迁移深化思维(1)二面角的平面角的大小，是否与角的顶点在棱上的位置有关？提示：无关如图，根据等角定理可知，AOBA
4、OB，即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关(2)指出或作出二面角的平面角的关键是什么？提示：关键是找出两个半平面和二面角的棱探究点一 二面角思考探究观察以下三个二面角，看看它们的大小(1)二面角与平面几何中平面角有什么区别？名师指津：二面角与平面几何中的角的对比平面几何中的角二面角图形定义从平面内一点出发的两条射线组成的图形从一条直线出发的两个半平面组成的图形表示法由射线点(顶点)射线构成，即为AOB由半平面线(棱)半平面构成，记为二面角a意义定量的反映两条直线的位置关系定量的反映两个平面的位置关系(2)构成二面角的平面角的要素有哪些？提示：角的顶点在二面角的棱上角
5、的两边分别在表示二面角的两个半平面内角的两边分别和二面角的棱垂直(3)二面角的取值范围是什么？名师指津：二面角 的取值范围是 0180.当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小为 0；二面角的大小为 90时，两个平面互相垂直；当二面角的两个半平面合成一个平面时，规定二面角的大小为 180.典例精析如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，求二面角 B-A1C1-B1 的正切值解 取 A1C1 的中点 O，连接 B1O，BO.由题意知 B1OA1C1，又 BA1BC1，O 为 A1C1 的中点，所以 BOA1C1，所以BOB1 即是二面角 B-A1C1-B1 的平面角因为 BB1平面
6、A1B1C1D1，OB1平面 A1B1C1D1，所以BB1OB1.设正方体的棱长为 a，则 OB1 22 a，在 RtBB1O 中，tanBOB1BB1OB1 a22 a 2，所以二面角 B-A1C1-B1 的正切值为 2.类题通法1求二面角的大小的关键是作出平面角求二面角大小的步骤是：(1)找出这个平面角；(2)证明这个角是二面角的平面角；(3)作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小2确定二面角的平面角的方法：(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成
7、的角，即为二面角的平面角针对训练1.如图，在四面体 P-ABC 中，ABC 与PBC 是边长为 2 的正三角形，PA3，D 为 PA 的中点，求二面角 D-BC-A 的大小解：取 BC 的中点 E，连接 EA，ED，EP.ABC 与PBC 是边长为 2 的正三角形，BCAE，BCPE，又 AEPEE，AE平面 PAE，PE平面PAE，BC平面 PAE.而 DE平面 PAE，所以 BCDE，AED 即为二面角 D-BC-A 的平面角又由条件，知 AEPE 32 AB 3，AD12PA32，DEPA，sinAEDADAE 32，显然AED 为锐角，AED60，即二面角 D-BC-A 的大小为 60
8、.探究点二 平面与平面垂直的判定定理思考探究建筑工地上，泥水匠砌墙时，为了保证墙面与地面垂直，泥水匠常常在较高处固定一条端点系有铅锤的线，再沿着该线砌墙，如图，这样就能保证墙面与地面垂直(1)由上述可知当直线与平面垂直时，过此直线可作无数个平面，那么这些平面与已知平面有何关系？提示：垂直(2)若要判断两平面是否垂直，根据上述问题能否得出一方法？提示：可以，只需在一平面内找一直线垂直于另一平面即可(3)怎样理解面面垂直的判定定理？名师指津：该定理可简记为“线面垂直，则面面垂直”定理的关键词是“过另一面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线线、面之间的垂直关系存在如下转化特征：线线垂
9、直线面垂直面面垂直，这体现了立体几何问题求解的转化思想，应用时要灵活把握 典例精析如图，四边形 ABCD 为菱形，ABC120，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE平面 ABCD，DF平面 ABCD，BE2DF，AEEC.证明：平面 AEC平面 AFC.解 如图，连接 BD，设 BDAC 于点 G，连接 EG，FG，EF.在菱形 ABCD 中，不妨设GB1.由ABC120，可得 AGGC 3.由 BE平面 ABCD，ABBC，可知 AEEC.又 AEEC，所以 EG 3，且 EGAC.在 RtEBG 中，可得 BE 2，故 DF 22.在 RtFDG 中，可得 FG 62.在直角梯形
10、BDFE 中，由 BD2，BE 2，DF 22，可得 EF3 22.从而 EG2FG2EF2，所以 EGFG.又 ACFGG，所以 EG平面 AFC.因为 EG平面 AEC，所以平面 AEC平面 AFC.类题通法证明面面垂直的方法(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面2如图，AB 是O 的直径，PA 垂直于O 所在的平面，C 是圆周上异于 A、B 的任意一点，求证：平面 PAC平面 PBC.证明：连接 AC，BC，
11、则 BCAC，又 PA平面 ABC，BC平面 ABC，PABC，而 PAACA，BC平面 PAC，又 BC平面 PBC，平面 PAC平面 PBC.探究点三 折叠问题典例精析如图，在矩形 ABCD 中，AB 2，BC2，E 为 BC 的中点，把ABE 和CDE 分别沿 AE，DE 折起，使点 B 与点 C 重合于点 P.(1)求证：平面 PDE平面 PAD；(2)求二面角 P-AD-E 的大小解(1)证明：由 ABBE，得 APPE，同理，DPPE.又APDPP，PE平面 PAD.又 PE平面 PDE，平面 PDE平面 PAD.(2)如图所示，取 AD 的中点 F，连接 PF，EF，则 PFAD
12、，EFAD，PFE 就是二面角 P-AD-E 的平面角又 PE平面 PAD，PEPF.EFAB 2，PF 2211，cosPFEPFEF 22.二面角 P-AD-E 的大小为 45.类题通法折叠问题，即由平面图形经过折叠成为立体图形，在立体图形中解决有关问题解题过程中，一定要抓住折叠前后的变量与不变量针对训练3如图所示，在矩形 ABCD 中，已知 AB12AD，E 是 AD 的中点，沿 BE 将ABE 折起至ABE 的位置，使 ACAD，求证：平面 ABE平面 BCDE.证明：如图所示，取 CD 的中点 M，BE 的中点 N，连接 AM，AN，MN，则 MNBC.AB12AD，E 是 AD 的
13、中点，ABAE，即 ABAE.ANBE.ACAD，AMCD.在四边形 BCDE 中，CDMN，又MNAMM，CD平面 AMN，CDAN.DEBC 且 DE12BC，BE 必与 CD 相交又ANBE，ANCD，AN平面 BCDE.又AN平面 ABE，平面 ABE平面 BCDE.课堂归纳领悟1本节课的重点是了解二面角及其平面角的概念，并会求二面角的大小，掌握两个平面互相垂直的定义和画法，理解并掌握两个平面垂直的判定定理，并能解决有关面面垂直的问题难点是综合利用线面、面面垂直的判定定理解决关于垂直的问题2本节课要重点掌握的规律方法(1)确定二面角的平面角的方法，见探究点一(2)证明面面垂直的方法，见探究点二3本节课的易错点是忽视平面角定义中的垂直关系误判二面角的平面角，如探究点一 “课下梯度提能”见“课时跟踪检测(十三)”(单击进入电子文档)谢 观 看THANK YOU FOR WATCHING谢
