1、高二数学月考试题一、单项选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据对数函数的性质确定集合，由二次函数的性质确定集合，再由交集定义求解【详解】由题意，故选：B【点睛】本题考查集合交集运算，考查对数函数与二次函数的性质，属于基础题2.已知是虚数单位，是关于的方程的一个根，则（ ）A. 4B. C. 2D. 【答案】A【解析】【分析】根据实系数方程的虚数根成对出现得出另一个根，然后由韦达定理求出，【详解】是关于的方程的一个根，方程的另一根为， 故选：A【点睛】本题考查实系数方程的复数根问题，
2、需掌握下列性质：实系数方程的虚数根成对出现，它们是共轭复数3.小明的妈妈为小明煮了 个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件，事件，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】由题意，P（A）=，P（AB）=，P（B|A）=，故选B4.对具有线性相关关系的变量，有一组观测数据（），其回归直线方程是，且，则实数的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 因为， 所以，所以样本中心点的坐标为， 代入回归直线方程得，解得，故选C.5.有红、黄、蓝三个小球放到7个不同的盒子里，每个盒子最多放两个球，放到同一个盒子的两球不考虑顺序，则不同的放法数为( )A.
3、336B. 320C. 240D. 216【答案】A【解析】【分析】分3个球分别放到不同盒子里及3个球中有2个球放到同一个盒子里两种情况求出放法种数，再根据分类加法规则相加即可得解.【详解】3个球分别放到不同盒子里的放法有种；3个球中有2个球放到同一个盒子里的放法有种，所以总共有336种放法.故选：A【点睛】本题考查分类加法计数原理，简单的排列组合，属于基础题.6.已知，为的导函数，则的图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先化简f（x），再求其导数，得出导函数是奇函数，排除B，D再根据导函数的导函数小于0的x的范围，确定导函数在上单调递减，从而排除C，即可得出正确答案
4、【详解】由f（x），它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D又，当x时，cosx，0，故函数y在区间 上单调递减，故排除C故选A【点睛】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，属于基础题7.已知函数，则使得成立的的取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】把函数化为，代入不等式直接解对数不等式即可【详解】由已知，令不等式为，即，故选：B【点睛】本题考查解对数不等式和指数不等式，掌握对数函数与指数函数性质是解题关键8.已知方程在上有两个不等的实数根，则实数的取值范围为（ ）A. B. C.
5、 D. 【答案】C【解析】【分析】由题意可得方程在上有两个不等的实数根，设，求得函数的导数和单调性，可得极值和最值，画出的图象，可得的不等式，即可求解.【详解】由题意，方程在上有两个不等的实数根，即为在上有两个不等的实数根，即在上有两个不等的实数根，设，则，当时，函数递减，当时，函数递增，所以当时，函数取得最大值，且，所以，解得，故选C. 【点睛】本题主要考查了函数与方程，以及导数在函数中的综合应用，其中解答中把方程的根转化为在上有两个不等的实数根，利用导数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力.二、多项选择题：木大题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符
6、合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门若同学甲必选物理，则下列说法正确的是（ ）A. 甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件B. 甲的不同的选法种数为15C. 已知乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是D. 乙、丙两名同学都选物理的概率是【答案】BD【解析】【分析】根据对立事件的概念可判断A；直接根据组合的意义可判断B；乙同学选技术的概率是可判断 C；根据相互独立事件同时发生的概率可判断D.【详解】甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事件，故A错误；由于甲必选物理，故只需从剩
7、下6门课中选两门即可，即种选法，故B正确；由于乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是，故C错误；乙、丙两名同学各自选物理的概率均为，故乙、丙两名同学都选物理的概率是，故D正确；故选BD.【点睛】本题主要考查了对立事件的概念，事件概率的求法以及相互独立事件同时发生的概率，属于基础题.10.2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延.疫情就是命令，防控就是责任.在党中央的坚强领导和统一指挥下，全国人民众志成城、团结一心，掀起了一场坚决打赢疫情防控阻击战的人民战争.下图表展示了2月14日至29日全国新冠肺炎疫情变化情况，根据该折线图，下列结论正确的是（ ）A. 16天中每日新增确诊病例数
8、量呈下降趋势且19日的降幅最大B. 16天中每日新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数C. 16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于2000D. 19日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例之和【答案】BC【解析】【分析】根据折线图中的数据变化趋势，逐项判断.【详解】选项A，16天中每新增确诊病例数量有起伏，19日的降幅最大，而20日又上升，所以错误；选项B，根据图象16天中每日新增确诊病例大部分小于新增疑似病例，因此16天中每日新增确诊病例中位数小于新增疑似病例的中位数，所以正确；选项C，根据图象可得新增确诊、新增疑似、新增治愈病例最大值与最小值的差都大于
9、2000人，所以正确；选项D，2月14日至18日，新增治愈病例数量均明显小于新增确诊与新增疑似病例之和，所以错误.故选：BC.【点睛】本题考查折线统计图，根据折线图表示的数量，以及折线图上升和下降分析数量的增减变化情况是解题的关键，属于基础题.11.下列说法正确的是（ ）A. 若幂函数的图象过点，则B. 命题：“，”，则的否定为“，”C. “”是“”的充分不必要条件D. 若与是相互独立事件，则与也是相互独立事件【答案】BC【解析】【分析】根据幂函数的定义与性质，可判定A不正确；根据全称命题与存在性命题的关系，可判定B是正确的；根据对数函数的性质和充分、必要条件的判定，可得C上正确的；根据事件的
10、关系，可判定D不正确.【详解】对于A中，设幂函数，因为幂函数的图象过点，可得，解得，所以，则，所以A不正确；对于B中，根据全称命题与存在性命题关系，可得命题：“，”，则的否定为“，”，所以B是正确的；对于C中，由，则，即，所以，所以充分性是成立的；反之：例如：当，可得，即必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，所以C上正确的；对于D中，若与是相互独立事件，则与不一定相互独立事件，所以D不正确.故选：BC.【点睛】本题主要考查了命题的真假判定，其中解答中涉及到幂函数的图象与性质，全称命题与存在性命题的关系，对数函数的性质，以及事件的关系等知识点的应用，属于中档试题.12.已知函数，下列说法
11、正确的是（ ）A. 函数的图象的对称中心是（0，1）B. 函数在上是增函数C. 函数是奇函数D. 方程的解为【答案】ABD【解析】【分析】选项A. ,通过判断函数为奇函数，得到的对称性.选项B. 利用导数来判断的单调性.选项C. ，则,得到结论.选项D. 由选项A有的图象关于成中心对称，即,从而得到答案.【详解】选项A. 设，则，则函数为奇函数.所以的图象关于原点成中心对称.所以的图象关于成中心对称，故A正确.选项B. 由，则，所以函数在上是增函数，故B正确.选项C. ，则，函数不是奇函数，故C不正确.选项D. 由选项A有的图象关于成中心对称，即,由方程，则，即，故D正确.故选：ABD【点睛】
12、本题考查函数的对称性和单调性的应用，应用对称性解方程，属于中档题.三、填空题：本大题共4小题.13.设，已知的实部是1，则的虚部为_.【答案】【解析】【分析】设，根据复数相等即可【详解】解：设因为所以则的虚部为故答案为：【点睛】本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，是基础题14.已知随机变量服从正态分布，则_.【答案】8【解析】【分析】由已知求得，再由得答案【详解】随机变量服从正态分布，则故答案为8【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查方差的求法，是基础题15.杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书记载.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，它
13、出现要比杨辉三角迟393年.那么，第15行第13个数是_.（用数字作答）【答案】455【解析】【分析】将第1、2、3、4行中的数写为组合数形式，观察可得第n行第r个数为，则第15行第13个数为.【详解】第1行：，第2行：，第3行：，第4行：，观察可得第n行第r个数为，所以第15行第13个数为.故答案为：455【点睛】本题考查杨辉三角中所包含的二项式定理的性质，合情推理，属于中档题.16.若函数的图象与轴相切，且（、为相邻整数），则的值为_.【答案】【解析】【分析】设切点坐标为，根据题意得出，可得出关于和的方程组，解出，即可求得结果.【详解】设切点坐标为，由题意得，即，整理得，构造函数，则函数在
14、区间上单调递增，且，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查利用函数图象的切线方程求参数，解题时要从两方面考虑：（1）切线的斜率为函数在切点处的导数值；（2）切点为函数图象和切线的公共点.考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.命题：不等式的解集是命题：不等式在内恒成立，若和一真一假，求的取值范围【答案】【解析】【分析】先分别求出当命题，命题为真命题时，参数的范围，然后由和一真一假，分真假，假真求解的范围.【详解】命题：不等式的解集是为真命题时.，解不等式得所以所以命题为真命题时, 命题：不等式在内恒成立因为,当且仅当时“=
15、”成立所以命题为真命题时,因为，一真一假当真假时有当假真时有综上所述：【点睛】本题考查根据复合命题的真假求参数的范围和不等式恒成立问题，属于中档题.18.南昌市在2018年召开了全球VR产业大会，为了增强对青少年VR知识的普及，某中学举行了一次普及VR知识讲座，并从参加讲座的男生中随机抽取了50人，女生中随机抽取了70人参加VR知识测试，成绩分成优秀和非优秀两类，统计两类成绩人数得到如左的列联表：优秀非优秀总计男生a3550女生30d70总计4575120（1）确定a,d的值；（2）试判断能否有90%的把握认为VR知识测试成绩优秀与否与性别有关；（3）现从该校测试成绩获得优秀的同学中按性别采用
16、分层抽样的方法，随机选出6名组成宣传普及小组从这6人中随机抽取2名到校外宣传，求“到校外宣传的2名同学中至少有1名是男生”的概率.附： 0.250150.100.0500250.0101.3232.0722.7063.8415.0246.635【答案】（1）；（2）没有；（3）【解析】【分析】（1）结合题表信息，即可计算a,d，即可（2）结合，代入数据，计算，判定，即可（3）计算概率，可以从反面进行进展，计算总数，计算2人全部都是女生的总数，计算概率，即可【详解】（1），解得（2）结合卡方计算方法可知n=120，得到而要使得概率为则90%,，不满足条件，故没有（3）结合a=15，结合分层抽样原
17、理，抽取6人，则男生中抽取2人，女生抽取4人，则从6人中抽取2人，一共有，如果2人全部都是女生，则有，故概率为.【点睛】本道题考查了古典概率计算方法，考查了计算方法，考查了列联表，难度中等19.已知（1）若，求的系数.（2）当，时，求除以7所得的余数.【答案】（1）70（2）6【解析】【分析】（1）令，根据等式的特点，结合等比数列前项和公式求出、的值，进而求出的值，结合二项式的通项公式、组合数的性质进行求解即可；（2）根据等比数列前项和公式，结合二项式定理进行求解即可.【详解】（1）令，又，所以，故，因为的通项公式为：所以的系数是（2）当，时，而化简得：，因此除以7所得的余数6.【点睛】本题考
18、查了二项式定理的应用，考查了等比数列前项和公式，考查了数学运算能力.20.已知函数.（1）若函数在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间及在上的最大值与最小值；（2）若时，函数在区间1，2上不单调，求实数的取值范围.【答案】（1）在单调递减，在单调递增，（2）【解析】【分析】（1）由求得，得，求得的单调性求得最值;（2）由在区间上不单调等价于在上有解，分离求解即可.【详解】（1）与直线垂直的直线斜率为2，则 则，（），当时， ，递减；当时，递增.所以的单减区间为；的单增区间为. 因为在上减，在上增,又所以函数在上的最大值为， 最小值为 （2）若时， 若函数在区间上不单调，则在（1，2）有解.即
19、，设，所以在上单调递增， ,所以 .【点睛】本题考查函数的单调性与最值，考查方程在给定区间有解问题，注意转化化归的应用，考查运算能力，是中档题21.为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径5859616263646566676869707173合计件数11356193318442121100经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.（1）由以往统计数据知，设备的性能根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率）；，评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中
20、一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁.为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，试判断设备的性能等级（2）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品.（i）若从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，求恰有一件次品的概率；（ii）若从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数分布列和数学期望.【答案】（1）该设备的性能为丙级别（2）（i）（ii）详见解析，【解析】【分析】（1）通过计算可得答案；（2）（i）根据独立重复事件的概率公式计算可得答案；（ii）根据二项分布的概率公式计算可得分布列，根据期望公式即可得期望.【详解】（1）由题意知道：，.所以由图表知道：，所以该设
21、备的性能为丙级别；（2）由图表知道：直径小于或等于的零件有2件，大于的零件有4件，共计6件.（i）从设备的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为，所以恰有一件次品的概率为（或等于0.1128）；（ii）从100件样品中任意抽取2件，次品数可能取值为0，1，2，.所以，随机变量的分布列为012故.【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题.22.已知函数，其中（1）求函数的单调区间；（2）若函数存在两个极值点，且，证明：【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】分析：（1）对m分类讨论求函数的单调区间.(2)先求出，再构造函数，求它的范围.
22、详解：（1）函数定义域为，且，令，当，即时，在上单调递减；当，即时，由，解得，若，则，时，单调递减；时，单调递增；时，单调递减；若，则，时，单调递减；时，单调递增；综上所述：时，的单调递减区间为，单调递增区间为；时，的单调递减区间为，单调递增区间为；时，的单调递减区间为（2）因为函数定义域为，且，函数存在两个极值点，在上有两个不等实根，记，则，从而由且，可得， ，构造函数，则，记，则，令，得（，故舍去），在上单调递减，在上单调递增，又，当时，恒有，即，在上单调递减，即，点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调性和函数的取值范围，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是求出，其二是构造函数，求它的范围.
