1、江苏省邗江中学2020-2021学年度第二学期期中试卷高一数学一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 若是纯虚数(为虚数单位)，则实数的值为 A B C D. 以上都不对2 已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则ABC的形状为A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰或直角三角形 3 已知空间互不重合的三条直线，则“，在同一平面内”是“， 两两相交”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4已知向量，满足，则，的夹角为A B C D. 5 已知，则 A1 B C D. 6. 已
2、知正方形ABCD的边长为1，则A5BC25D 417已知长方体中，点P为的中点，设平面，平面，则线段的长度为AB C D 8在ABC中，垂足为，且，则当取最大值时，ABC的周长为 ABCD二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9下列各式中，值为的是ABcos2sin2，C D10已知，为不同的平面，a，b，c为不同的直线，则下列说法正确的是A若，则a与b是异面直线B若AB与CD是异面直线，则AC与BD也是异面直线C若ab，b与c是异面直线，则a与c也是异面直线D若a, b不同在任何一个平
3、面内，则a与b是异面直线11设，是两个非零向量，下列结论中正确的是A若，则 B若，则或C 若，则 D若，则存在实数，使得12已知函数，则下列说法正确的是A当时，直线是图象的一条对称轴B当时，函数的最小正周期为C当时，函数在上单调递减D当时，若，则函数的值域为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13 已知向量，为实数，且，则 14已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东的方向航行，B船沿正北方向航行若A船的航行速度为15 n mile/h，2 h后，B船测得A船位于B船的北偏东的方向上，则此时A，B两船相距 n mile .15已知，则 .16已知复数对应的点在复平面第四象限内
4、，甲、乙、丙、丁四人对复数的陈述如下（ 为虚数单位）：甲：；乙：；丙：；丁：，在甲、乙、丙、丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数 . 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分10分）已知为虚数单位（1）计算：；（2）若，求复数.18（本小题满分12分）已知向量，设函数（1）若，求函数的最大值和最小值；（2）若，且，求的值19 （本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，侧棱与底面所有直线均垂直，底面ABC是边长为4的正三角形，侧棱长为3，D，E分别为棱和的中点（1）试判断直线AD和BE的位置关系，并说明理由；（2）求异面直线AB和CE所
5、成角的余弦值20（本小题满分12分）在；这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且， ， ？注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分21（本小题满分12分）如图，风景区的形状是如图所示的扇形ABC区域，其半径为2千米，圆心角为，点P在弧BC上现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道PQ与AB垂直（垂足Q在AB上），街道PR与AB平行，交AC于点R（1）如果P为弧BC的中点，求三条商业街道围成的PQR的面积；（2）试求街道RQ长度的最小值.22（本小题满分12分
6、）已知函数，是常数，.（1）若，判断的奇偶性；若，判别的奇偶性； （2）若，是偶函数，求；（3）请仿照问题（1）（2）提一个问题（3），使得所提问题或是（1）的推广或是问题（2）的推广，问题（1）或（2）是问题（3）的特例.（不必证明命题）2020-2021学年度第二学期期中高一数学试 题 参 考 答 案 及 评 分 标 准二、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案ADDBABCC二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分
7、，有选错的得0分.题号9101112答案ACDBDDABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.134 1415 16四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分10分）【解】（1）. -5分（2）设，则由，得， -7分则 解得或则或.-10分18（本小题满分12分）【解】（1）因为向量，则函数，-3分若，则，所以当，即时，；当，即时，-6分（2） 由，得，因为，则，又，所以， -8分则，-9分所以 -12分19（本小题满分12分）【解】（1）连接DE在A1B1C1中，D，E分别为棱和的中点，所以DEA1B1，且DEA1B1， -2分又
8、在直三棱柱中，ABA1B1，且ABA1B1，所以DEAB，且DEAB， 所以四边形ABED为梯形，所以直线AD和BE为相交直线-5分（2） 因为DEAB，所以（或其补角）为异面直线AB和CE所成角-7分因为ABC是边长为4的正三角形，则DEAB，在CC1E中，则，同理， -10分在CDE中，DE，解得，所以异面直线AB和CE所成角的余弦值为 -12分20（本小题满分12分）【解】若选，则由，可知； -3分由，可得，即，解得，或，又因为，所以；-6分又，余弦函数在上单调递减，所以， -10分此时，不能构成三角形-12分若选，由，可知； -3分由，得，又由正弦定理可知，展开得，即，又，则，故，所以
9、-6分由得， ，余弦函数在上单调递减，所以， 此时，能构成三角形 -8分此时，又，由正弦定理，得，解得 -12分若选，由得； -3分由得； -6分此时此时，能构成三角形 -8分所以，则， 由正弦定理，得，解得 -12分21（本小题满分12分）【解】连接AP，过R作，垂足为D（1）当P为弧BC的中点时，在APQ中，故，-2分在ARD中，,，所以，则,所以, -4分在直角三角形PRQ中，PQR的面积-5分（2）设，则， -6分又，则，所以,-7分在直角三角形PRQ中，其中 -10分因为，所以，又，所以当时，有最小值为，即综上，街道RQ长度的最小值为千米-12分22（本小题满分12分）【解】由题意可
10、知， -1分（1）当时，所以是偶函数； -2分当时， -3分所以， 因为，所以不是奇函数，因为，所以不是偶函数所以是非奇非偶函数； -4分（2）当时，是偶函数， 所以对一切恒成立，所以，即，也即，则，因为，所以，-6分当时，则 所以对一切恒成立，所以为偶函数.综上所述：. -8分（3）第一层次，写出任何一种的一个（加法或乘法）均可以，1、是偶函数；2、是奇函数；3、是非奇非偶函数； 4、是既奇又偶函数；-10分第二层次，写出任何一种的一个（加法或乘法）均可以，1、是偶函数（数字不分奇偶）；2、是奇函数（数字只能同奇数）；是偶函数（数字只能同偶数）；3、是非奇非偶函数（数字不分奇偶，但需相同）；
11、4、是既奇又偶函数（数字只能奇数）；是非奇非偶函数；-11分第三层次，写出逆命题任何一种的一个（加法或乘法）均可以，1、是偶函数（数字不分奇偶，但相同），则；2、是奇函数（数字只能正奇数），则 ；是偶函数（数字只能正偶数），则 ；3、是偶函数（数字只能正奇数），则；第四层次，写出充要条件中的任何一种均可以，1、的充要条件是是偶函数，2、是奇函数（数字只能正奇数）的充要条件是；是偶函数（数字只能正偶数）的充要条件是；3、是偶函数（数字只能正奇数）的充要条件是 则；第五层次，写出任何一种均可以（逆命题，充要条件等均可以），1、时，都是偶函数；2、时，是正奇数，是奇函数；时，是正偶数，是偶函数；3、，是奇数，既奇又偶函数；4、，是偶数，是非奇非偶函数.-12分（注：写出第一层次中的任意一个得2分，写出第二层次中的任意一个得3分，写出后面三个层次中的任意一个得4分）
