1、吉林省吉林市2020届高三数学第四次调研测试试题 文（含解析）一、选择题1. 设集合，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用交集的定义可求得集合.【详解】，因此，.故选：B.【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.2. 复数，为虚数单位，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用复数的模长公式可求得结果.【详解】，因此，.故选：D.【点睛】本题考查复数模长的计算，考查计算能力，属于基础题.3. 一组数据，的众数是，则这组数据的中位数是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据众数的概念可以求出，再根据中位数的概念求解即
2、可【详解】解：因为数据，的众数是，所以，则这组数据的中位数是，故选：C【点睛】本题主要考查众数的概念和中位数的计算，属于基础题4. 函数的图象在处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出切点的坐标和切线的斜率，再写出切线的方程.【详解】当x=1时，f(1)=-2+0=-2，所以切点为（1,-2）,由题得，所以切线方程为y+2=-1(x-1),即：故选A【点睛】本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5. 下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】
3、根据奇函数的定义及函数单调性的判断即可得出答案.【详解】对于A选项，反比例函数，它有两个减区间，对于B选项，由正切函数的图像可知不符合题意；对于C选项，令知，所以所以为奇函数，又在定义内单调递增，所以单调递增，所以函数在定义域内单调递增；对于D，令，则，所以，所以函数不是奇函数.故选：C【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.6. 执行如图所示的程序框图，若输入的值为3，则输出 的值是( )A. 1B. 2C. 4D. 7【答案】C【解析】试题分析：第一次循环；第二次循环；第三次循环；结束循环，输出选C.考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的
4、考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7. 九章算术是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？”（注：1丈=10尺，取）（ ）A. 704立方尺B. 2112立方尺C. 2115立方尺D. 2118立方尺【答案】B【解析】【分析】根据题意，由底面圆周长，得到底面圆半径，再由体积公式求出其体积.【详解】设圆柱体底面圆半径为，高为，
5、周长为.因为，所以，所以 （立方尺）.故选B项.【点睛】本题考查圆柱的底面圆半径、体积等相关计算，属于简单题.8. 若抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则( )A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】D【解析】【分析】分别求出抛物线焦点及双曲线的一个焦点，由条件得.【详解】抛物线的焦点是，双曲线的一个焦点是，由条件得解得.故选：D.【点睛】本题考查抛物线与双曲线的性质，属于综合题，但是难度不大，注重基础知识点考查，属于简单题.9. 在中，内角的对边分别为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求得，然后利用正弦定理求得.【详解】因为，所以，所以.故选：C【点睛】本题考查解
6、三角形，考查运算求解能力.10. 某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比.【详解】水费开支占总开支的百分比为.故选：A【点睛】本题考查折线图与柱形图，属于基础题.11. 已知正方体的棱长为2，点在线段上，且，平面经过点，则正方体被平面截得的截面面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据平面的基本性质
7、确定平面，然后利用面面平行的性质定理，得到截面的形状再求解.详解】如图所示：确定一个平面，因为平面平面，所以，同理，所以四边形是平行四边形.即正方体被平面截的截面.因为，所以，即所以由余弦定理得：所以所以四边形故选：B【点睛】本题主要考查平面的基本性质，面面平行的性质定理及截面面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.12. 已知函数，若函数图象与直线至少有2个交点，则的最小值为（ ）A. 7B. 9C. 11D. 12【答案】A【解析】【分析】化简函数，根据函数性质，结合图象求解.【详解】函数，所以函数的最小正周期为，又图象与直线至少有2个交点，即函数在上至少存在两个最大值，
8、如图，所以正整数的最小值为7.故选：A【点睛】此题考查函数零点与方程的根相关问题，关键在于准确化简三角函数，根据函数性质结合图象求解.二、填空题13. 已知向量，若，则实数等于_【答案】【解析】【分析】利用平面向量平行的坐标表示即可求解.【详解】因为，由平面向量平行的坐标表示可得，解得.故答案为：【点睛】本题考查平面向量平行的坐标表示；考查运算求解能力；属于基础题.14. 若，满足约束条件，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数的最小值【详解】解：由约束条件得如图所示的三角形区域，令，显然当平
9、行直线过点，时，取得最小值为：；故答案为：【点睛】本题考查线性规划求最小值问题，我们常用几何法求最值.15. 若，则等于_【答案】【解析】【分析】由条件可得tan的值，再利用二倍角的正切公式，即可求得结论【详解】，2（sin+cos）=sincossin=3costan=3tan2=故答案为【点睛】本题考查同角三角函数的关系，考查二倍角的正切公式，正确运用公式是关键16. 如图（1），在圆锥内放两个大小不同且不相切的球,使得它们分别与圆锥的侧面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到截口曲线是椭圆.理由如下：如图（2），若两个球分别与截面相切于点，在得到的截口曲线上任取一点，过点作圆锥
10、母线，分别与两球相切于点，由球与圆的几何性质，得，所以，且，由椭圆定义知截口曲线是椭圆，切点为焦点.这个结论在圆柱中也适用，如图（3），在一个高为，底面半径为的圆柱体内放球，球与圆柱底面及侧面均相切.若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱所得的截口曲线也为一个椭圆，则该椭圆的离心率为_.【答案】【解析】【分析】根据题意可得椭圆的长轴长和短轴长，再代入离心率方程，即可得答案；【详解】如图所示，根据题意可得椭圆上的点到两个切点的距离等于，故答案为：.【点睛】本题考查数学文化、椭圆离心率的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.三、解答题17. 在三
11、棱柱中，为的中点.（1）证明：平面；（2）若，点在平面的射影在上，且侧面的面积为，求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析;（2）.【解析】【详解】试题分析：（1）连接交于点，连接.利用中点可得，所以平面.（2）取中点，连接，过点作于，连接,利用等腰三角形和射影的概念可知平面，所以，所以平面，所以.利用侧面的面积可计算得三棱锥的高，由此可计算得三棱锥的体积.试题解析：（1）证明：连接交于点，连接.则为的中点，又为的中点，所以，且平面，平面，则平面.（2）解：取的中点，连接，过点作于点，连接.因为点在平面的射影在上，且，所以平面，平面，则.设，在中，由，可得.则 .所以三棱锥的体积为.18. 在等差
12、数列中，已知.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前n项和为.若，求n的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件求出数列的公差和首项即可得到通项公式；（2）利用裂项求和求出，根据等式解方程即可得解.【详解】（1）设数列的公差为d，因为，所以，解得，由，解得，所以（2）由（1）得，所以.令，解得.【点睛】此题考查等差数列基本量的计算，求解通项公式，利用裂项求和根据等式求解项数.19. 一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延，在党中央的坚强领导和统一指挥下，全国人民众志成城、团结一心，共抗疫情。每天测量体温也就成为了所有人的一项责任，一般认为成年人腋下温度（单位：）平均在3637
13、之间即为正常体温，超过37.1即为发热。发热状态下，不同体温可分成以下三种发热类型：低热：；高热：；超高热（有生命危险）：.某位患者因发热，虽排除肺炎，但也于12日至26日住院治疗. 医生根据病情变化，从14日开始，以3天为一个疗程，分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热. 住院期间，患者每天上午8:00服药，护士每天下午16:00为患者测量腋下体温记录如下：抗生素使用情况没有使用使用“抗生素A”治疗使用“抗生素B”治疗日期12日13日14日15日16日17日18日19日体温（）38.739.439.740.139.939.238.939.0抗生素使用情况使用“抗生素C”治疗没有使用日期2
14、0日21日22日23日24日25日26日体温（）38.438.037.637.136.836.636.3（1）请你计算住院期间该患者体温不低于39的各天体温平均值；（2）在18日22日期间，医生会随机选取3天在测量体温的同时为该患者进行某一特殊项目“项目”的检查，求至少两天在高热体温下做“项目”检查的概率；（3）抗生素治疗一般在服药后2-8个小时就能出现血液浓度的高峰，开始杀灭细菌，达到消炎退热效果.假设三种抗生素治疗效果相互独立，请依据表中数据，判断哪种抗生素治疗效果最佳，并说明理由.【答案】（1）39.55；（2）；（3）“抗生素C”治疗效果最佳，理由见解析.【解析】【分析】（1）由表知，
15、该患者共6天的体温不低于，由此能求出患者体温不低于的各天体温平均值（2）设恰有两天在高热体温下做“项目”检查；五天中三天都在高热体温下做“项目”检查，再根据和事件的概率公式计算可得；（3）根据所给数据合理分析即可；【详解】（1）由表可知，该患者共天的体温不低于39，记平均体温为，所以，患者体温不低于39的各天体温平均值为39.55（2）设恰有两天在高热体温下做“项目”检查；五天中三天都在高热体温下做“项目”检查，（3）“抗生素C”治疗效果最佳可使用理由：“抗生素B”使用期间先连续两天降温1.0又回升0.1，“抗生素C”使用期间持续降温共计1.2，说明“抗生素C”降温效果最好，故“抗生素C”治疗
16、效果最佳.“抗生素B”治疗期间平均体温39.03，方差约为0.0156；“抗生素C”平均体温38，方差约为0.1067，“抗生素C”治疗期间体温离散程度大，说明存在某个时间节点降温效果明显，故“抗生素C”治疗效果最佳.【点睛】本题考查平均值的计算，考查古典概型，考查运算求解能力，属于基础题20. 已知椭圆的短轴的两个端点分别为、，焦距为（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆有两个不同的交点、，设为直线上一点，且直线、的斜率的积为证明：点在轴上【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由已知条件得出、的值，进而可得出的值，由此可求得椭圆的方程；（2）设点，可得，且，求出直线的斜率，进
17、而可求得直线与的方程，将直线直线与的方程联立，求出点的坐标，即可证得结论.【详解】（1）由题设，得，所以，即故椭圆的方程为；（2）设，则，所以直线的斜率为，因为直线、的斜率的积为，所以直线的斜率为直线的方程为，直线的方程为联立，解得点的纵坐标为因为点在椭圆上，所以，则，所以点在轴上【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了点在定直线的证明，考查计算能力与推理能力，属于中等题.21. 已知函数，其中a为正实数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数有两个极值点，求证：.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）根据函数，求导得到，然后根据，分讨论求解.（2）由（
18、1）得到若函数有两个极值点，则，且，代入，得到，要证，只需证，构造函数，用导数法结合零点存在定理证明即可.【详解】（1）因为函数，所以，函数的定义域为，令，若，即时，则，此时的单调减区间为；若，即时，令，得，当或时，当时，此时的单调减区间为，单调增区间为.（2）由（1）知，当时，函数有两个极值点，且，.因为，要证，只需证.构造函数，则，在上单调递增，又，且在定义域上不间断，由零点存在定理，可知在上唯一实根，且.则在上递减，上递增，所以的最小值为因为，当时，则，所以恒成立.所以，所以，得证.【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，导数与不等式证明问题，还考查了转化化归，分类讨论的思想和运算求解的
19、能力，属于难题.22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（）求的普通方程和的直角坐标方程；（）若与交于，两点，求值.【答案】（）的普通方程为；的直角坐标方程；（）.【解析】【分析】（）消去参数即可求得的普通方程，利用极坐标和直角坐标的互化公式，,即可求得的直角坐标方程;（）理解参数几何意义并利用其几何意义,联立直线和曲线方程,利用韦达定理进行运算求解即可.【详解】（1）由（为参数），消去参数，得，即的普通方程为.由，得，将，代入，得，即的直角坐标方程.（2）由（为参数），可得（），故的几何意义是抛物线上的点（原点除
20、外）与原点连线的斜率.由题意知，当时，则与只有一个交点不符合题意，故.把（为参数）代入，得，设此方程的两根分别为，由韦达定理可得，所以【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化、参数的几何意义;考查学生转化与化归能力、运算求解能力;属于中档题、常考题型.23. 已知函数 （1）在平面直角坐标系中作出函数的图象，并解不等式；（2）若不等式对任意的恒成立，求证：.【答案】（1）图象见解析，或；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）去掉绝对值号，根据一次函数的图象与性质，即可得到函数的图象，结合图象，即可求解不等式的解集；（2）不等式对任意的恒成立，只需，求得，然后利用作差法，即可证得.【详解】（1）由题意，函数，在直角坐标系中作出函数的图象，如图所示：当时，可得，当时，可得，所以根据图象可得解不等式的解集为或.（2）由，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，由不等式对任意的恒成立，所以只需，可得，又由，所以.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法和绝对值不等式恒成立问题，着重考查转化思想和数形结合思想的应用，属于中档试题.
