1、1.4.1.1-2空间中点、直线和平面的向量表示 及空间中直线、平面的平行 教材要点要点一直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量能平移到直线上的_向量，叫做直线的一个方向向量平面的法向量直线 l，取直线 l 的_，叫做平面的法向量非零方向向量n方法技巧1.在空间中，一个向量成为直线 l 的方向向量，必须具备以下两个条件：(1)是非零向量；(2)向量所在的直线与直线 l 平行或重合2与直线 l 平行的任意非零向量 a都是直线的方向向量，且直线 l 的方向向量有无数个3给定空间中任意一点 A 和非零向量 a，就可以确定唯一一条过点 A 且平行于向量 a的直线4表示同一条直线的方向向量，由于它们
2、的模不一定相等，因此，它们不一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们的方向不一定相同，还可能相反5利用待定系数法求平面法向量时，由于方程组nAB 0nAC 0有无数组解，因此法向量有无数个求解时，只需取一个较简单的非零向量作为法向量即可要点二 空间中平行关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面，的法向量分别为，v，则线线平行 lm_线面平行 la_0面面平行 v_abR，abaR，v方法技巧零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量，这是因为直线的方向向量与平面的法向量分别用来描述空间直线和平面的位置，而零向量的方向是任意的，无法用零向量来描述空间直线与平面的位置基础自测1
3、判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)直线上任意两个不同的点A，B表示的向量AB 都可作为该直线的方向向量()(2)若向量n1，n2为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行()(3)直线的方向向量是唯一的()(4)若 AB，CD 都是直线l的方向向量，则A B CD，所以ABCD.()2若A(1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A(1,2,3)B(1,3,2)C(2,1,3)D(3,2,1)解析：AB(2,4,6)2(1,2,3)故选A.答案：A3若平面，的一个法向量分别为m(16，13，1)，n(12，1,3)，则()ABC与相
4、交但不垂直 D或与重合解析：n3m，mn，或与重合故选D.答案：D4若直线l的方向向量a(2,2，1)，平面的法向量(6，8,4)，则直线l与平面的位置关系是_解析：a121640，a，l或l.答案：l或l题型一求平面的法向量如图，已知 ABCD 是直角梯形，ABC90，SA平面 ABCD，SAABBC1，AD12，试建立适当的坐标系(1)求平面 ABCD 的一个法向量；(2)求平面 SAB 的一个法向量；(3)求平面 SCD 的一个法向量解析：以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，
5、D(12，0,0)，S(0,0,1)(1)SA平面ABCD，AS(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量(2)ADAB，ADSA，ABSAA，AD平面SAB，AD 12，0,0是平面SAB的一个法向量(3)在平面SCD中，DC(12，1,0)，SC(1,1，1)设平面SCD的法向量是n(x，y，z)，则nDC，nSC，所以nDC 0，nSC0，得方程组12xy0，xyz0，x2y，zy，令y1，得x2，z1，平面SCD的一个法向量为n(2，1,1)方法技巧求平面法向量的三个注意点(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量(2)取特值：在求 n的坐标时，可令 x，y，z 中一个为
6、一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量(3)注意 0：提前假定法向量 n(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为 0.方法技巧利用待定系数法求平面法向量的步骤1设向量：设平面的法向量为 n(x，y，z)2选向量：在平面内选取两个不共线向量AB，AC.3列方程组：由nAB0nAC 0，列出方程组4解方程组：nAB0nAC 0.5赋非零值：取其中一个为非零值(常取1)6得结论：得到平面的一个法向量题型二利用空间向量证明线线平行例 1如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别为DD1 和 BB1 的中点求证：四边形 AEC1F 是平行四边形证明：以点D为坐标原
7、点，分别以DA，DC，DD1 为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，E(0,0，12)，C1(0,1,1)，F(1,1，12)，AE(1,0，12)，FC1(1,0，12)，EC1(0,1，12)，AF(0,1，12)，AEFC1，EC1 AF，AEFC1，EC1 AF，又FAE，FEC1，AEFC1，EC1AF，四边形AEC1F是平行四边形方法技巧证明线线平行的依据与思路证明线线平行的依据：设直线 l1，l2 的方向向量分别是 a，b，则要证明 l1l2，只需证明 ab，即 ab(R)利用向量证明线线平行有两种思路：一是建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利
8、用向量平行的坐标表示证明；二是用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明变式训练 1长方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别是面对角线 B1D1，A1B 上的点，且 D1E2EB1，BF2FA1.求证：EFAC1.证明：如图所示，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设DAa，DCb，DD1c，则得下列各点的坐标：A(a,0,0)，C1(0，b，c)，E(23a，23b)，c，F(a，b3，23c).FE(a3，b3，c3)，AC1(a，b，c)，FE13AC1.又FE与AC1不共线，直线EFAC1.题型
9、三利用空间向量证明线面、面面平行例 2在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N 分别是 CC1，B1C1的中点求证：MN平面 A1BD.证明：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，M(0,1，12)，N(12，1,1)，于是DA1(1,0,1)，DB(1,1,0)，MN(12，0，12).设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，则nDA1，nDB，即nDA1 xz0，nDB xy0，取x1，则y1，z1，平面A1BD的一个法向量为n(1，1，1)又MN n(12
10、，0，12)(1，1，1)0，MN n.又MN平面A1BD，MN平面A1BD.变式探究本例 2 条件不变，证明平面 A1BD平面 CB1D1.解析：由例2知：C(0,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)则CD1(0，1,1)，D1B1(1,1,0)，设平面CB1D1的法向量为m(x1，y1，z1)，则mCD1mD1B1，即mCD1 y1z10，mD1B1 x1y10，令y11，可得平面CB1D1的一个法向量为m(1,1,1)，又平面A1BD的一个法向量为n(1，1，1)所以mn，所以mn，故平面A1BD平面CB1D1.方法技巧1向量法证明线面平行的三个思路(1)设直线 l 的方向向
11、量是 a，平面的法向量是 u，则要证明l，只需证明 au，即 au0.(2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可方法技巧2证明面面平行的方法设平面的法向量为，平面的法向量为 v，则v.变式训练2在如图所示的多面体中，EF平面 AEB，AEEB，AD
12、EF，EFBC，BC2AD4，EF3，AEBE2，G 是 BC的中点，求证：AB平面 DEG.证明：EF平面AEB，AE平面AEB，BE平面AEB，EFAE，EFBE.又AEEB，EB，EF，EA两两垂直以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系由已知得，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，F(0,3,0)，D(0,2,2)，G(2,2,0)，ED(0,2,2)，EG(2,2,0)，AB(2,0，2)设平面DEG的法向量为n(x，y，z)，则ED n0，EG n0，即2y2z0，2x2y0，令y1，得z1，x1，则n(1,1，1)，ABn2020，即ABn.AB平面DEG，AB平面DEG.谢谢 观 看
