1、高手支招6体验成功基础巩固1.若函数y=f(x)可导,则“f(x)=0有实根”是“f(x)有极值”的（ ）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案:A思路分析:可导函数f(x)有极值,则一定存在x,使得f(x)=0.但f(x)=0推不出f(x)有极值.2.下列函数存在极值的是( )A.y= B.y=x-ex C.y=2 D.y=x3答案:B思路分析:y=在x0时单调递减,x0时也单调递减;y=2为一直线；y=x3是单调函数.3.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图像与x轴切于(1,0)点,则f(x)的( )A.极大值为,极小值为0 B.极大值为0,极
2、小值为C.极小值为,极大值为0 D.极小值为0,极大值为答案:A思路分析:f(x)与x轴切于(1,0)点,且f(x)=3x2-2px-q.f(1)=3-2p-q=0.又f(1)=1-p-q=0,p=2,q=-1.f(x)=x3-2x2+x.则极值易计算.4.函数y=2-x2-x3的极值情况是( )A.有极大值,没有极小值 B.有极小值,没有极大值C.既无极大值也无极小值 D.既有极大值又有极小值答案:D思路分析:y=-2x-3x2=0x=0或x=.又x(-,)时,y0,y为减函数;在(,0)时,y0,y为增函数;在x(0,+)时,y0,y为减函数,y极小值=,y极大值=2.5.下列结论中,正确
3、的是( )A.导数为零的点一定是极值点B.如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值C.如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极小值D.如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值答案:B思路分析:根据可导函数极值的定义直接判断.6.三次函数当x=1时有极大值4,当x=3时有极小值0,且函数过原点,则此函数是( )A.y=x3+6x2+9x B.y=x3-6x2+9xC.y=x3-6x2-9x D.y=x3+6x2-9x答案:B思路分析:三次函数过原点,可设f(x)=x3+bx2+cx,f(x)=3x2+2bx+c
4、,由题设知,f(1)=3+2b+c=0,f(3)=27+6b+c=0,b=-6,c=9.f(x)=x3-6x2+9x;f(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3).当x=1时,f(x)极大值=4;当x=3时,f(x)极小值=0,满足条件.7.函数y=x3-6x+a的极大值为_,极小值为_.答案:a+4 a-4思路分析:y=3x2-6=0,得x=.当x-或x时,y0;当-x时,y0.函数在x=-时取得极大值a+4,在x=时取得极小值a-4.8.函数y=x2x取极小值时x等于_.答案:思路分析:y=2x+x2xln2=2x(1+xln2)=0.x=.当x时,f(x)0,函数递增;当x时,f
5、(x)0,函数递减.函数在x=时取得极小值.9.f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,则常数c的值为_.答案:6思路分析:x=2是f(x)的极大值点,f(x)=x(x2-2cx+c2),f(x)=x(2x-2c)+x2-2cx+c2=3x2-4cx+c2.f(2)=c2-8c+12=0.c=2或c=6.当c=2时,f(x)在x=2处只能取极小值.不能取极大值,c=6.综合应用10.(2006山东高考，文17)设函数f(x)=2x3-3(a-1)x2+1,其中a1.(1)求f(x)的单调区间;(2)讨论f(x)的极值.解:由已知得f(x)=6xx-(a-1),令f(x)=0,解得x1=0,
6、x2=a-1.(1)当a=1时,f(x)=6x2,f(x)在(-,+)上单调递增.当a1时,f(x),f(x)随x的变化情况如下表:x(-,0)0(0,a-1)a-1(a-1,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值 从上表可知,函数f(x)在(-,0)上单调递增;在(0,a-1)上单调递减;在(a-1,+)上单调递增.(2)由(1)知,当a=1时,函数f(x)没有极值.当a1时,函数f(x)在x=0处取得极大值1,在x=a-1处取得极小值1-(a-1)3.思路分析：注意对a=1和a1分类讨论.列出f(x)和f(x)随x变化的表格.则即得.11.已知f(x)=ax3+bx2+cx(a0)在x
7、=1时取得极值,且f(1)=-1.(1)试求常数a、b、c的值;(2)试判断x=1是函数的极小值点还是极大值点,并说明理由.解:(1)f(x)=3ax2+2bx+c,由f(-1)=f(1)=0,得3a+2b+c=0,3a-2b+c=0.又f(1)=-1,a+b+c=-1.a=,b=0,c=.(2)f(x)=x3-x,f(x)=x2-=(x-1)(x+1);当x-1或x1时,f(x)0;当-1x1时,f(x)0.函数f(x)在(-,-1)和(1,+)上是增函数,在(-1,1)上为减函数.当x=-1时,函数取得极大值f(-1)=1;当x=1时,函数取得极小值f(1)=-1.思路分析:(1)利用已知条件:f(x)在x=1时取得极值、f(1)=-1分别列出方程,即可求出a、b、c的值.(2)分别判断函数在x=1两侧的单调性确定是极大值还是极小值.
