1、高手支招3综合探究1.理解函数极大值与极小值时要注意的问题在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值.要注意以下几点:(1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较大小.(2)函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个.(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.2.关于函数极值的必要条件的证明设函数f(x)在x0处可导,且在x0处取得极值,则一定有f(x0)=0.证明:设f(x0)为极大值,根据极值
2、的定义,在x0的附近,对于任何点x,f(x)f(x0)总成立,从而无论x=x-x00还是x=x-x00,总有f(x0+x)-f(x0)0,由已知f(x0)存在,于是有:当xx0,即x0时,f(x0)=0;当xx0,即x0时,f(x0)= 0;故f(x0)=0.高手支招4典例精析【例1】(2006天津高考,理9) 函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f(x)在(a,b)内的图像如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个思路分析:函数f(x)在开区间(a,b)内的极小值点即函数由减函数变为增函数的点,其导数值由负到正的点,只有1个.
3、答案:A【例2】求函数f(x)=x3-3x2-9x+5的极值.思路分析:由求函数的极值的方法先求其导数,解方程f(x)=0,分区间讨论f(x)的符号,进而得函数f(x)的极值.解:f(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3),令f(x)=0,解得x1=-1,x2=3,x-1时,f(x)0,函数f(x)递增;-1x3时,f(x)0,函数f(x)递减;x3时,f(x)0,函数f(x)递增.f(x)极大值=f(-1)=10;f(x)极小值=f(3)=-22.【例3】 (2006湖北高考,理21) 设x=3是函数f(x)=(x2+ax+b)e3-x(xR)的一个极值点.(1)求a与b的关系式(用
4、a表示b),并求f(x)的单调区间;(2)设a0,g(x)=(a2+)ex.若存在1,20,4,使得|f(1)-g(2)|1成立,求a的取值范围.思路分析:本题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识,考查综合运用数学知识解决问题的能力.解题时要抓住“x=3是函数的一个极值点”这一重要条件,以此为突破口,求出a与b的关系式.解:(1)f(x)=-x2+(a-2)x+b-ae3-x,由f(3)=0,得-32+3(a-2)+b-ae3-3=0,即得b=-3-2a,则f(x)=-x2+(a-2)x-3-2a-ae3-x=-x2+(a-2)x-3-3ae3-x=-(x-3)(x+a+1)e3-x.令f(
5、x)=0,得x1=3或x2=-a-1,由于x=3是极值点,所以f(x)要变号,x1x2,a-4.当a-4时,x23=x1,则在区间(-,3)上,f(x)0,f(x)为减函数;在区间(3,-a-1)上,f(x)0,f(x)为增函数;在区间(-a-1,+)上,f(x)0,f(x)为减函数.当a-4时,x23=x1,则在区间(-,-a-1)上,f(x)0,f(x)为减函数;在区间(-a-1,3)上,f(x)0,f(x)为增函数;在区间(3,+)上,f(x)0,f(x)为减函数.(2)由(1)知,当a0时,f(x)在区间(0,3)上单调递增,在区间(3,4)上单调递减,那么f(x)在区间0,4上的值域
6、是min(f(0),f(4),f(3),而f(0)=-(2a+3)e30,f(4)=(2a+13)e-10,f(3)=a+6,那么f(x)在区间0,4上的值域是-(2a+3)e3,a+6.又g(x)=(a2+)ex在区间0,4上是增函数,且它在区间0,4上的值域是a2+,(a2+)e4,由于(a2+)-(a+6)=a2-a+=(a)20,所以只需且仅需:(a2+)-(a+6)1且a0,解得0a.故a的取值范围是(0,).【例4】(2006湖北高考，文19) 设函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1处取得极值-2,试用c表示a和b,并求f(x)的单调区间.思路分析:从“函数f(x)=x3+
7、ax2+bx+c在x=1处取得极值-2”这一条件,可以得出函数在该点的导数为零,该点的函数值为-2,以此为依据就可以列出关于a和b的方程组,进而解方程组得出a和b关于c的表达式.解:依题意有f(1)=-2,f(1)=0,而f(x)=3x2+2ax+b,故从而f(x)=3x2+2cx-(2c+3)=(3x+2c+3)(x-1).令f(x)=0,得x=1或x=.由于f(x)在x=1处取得极值,故f(x)要变号,即1,即c-3.(1)若1,即c -3,则当x(-,)时,f(x)0;当x(,1)时,f(x)0;当x(1,+)时,f(x)0;从而f(x)的单调增区间为(-,1,+);单调减区间为,1.(
8、2)若1,即c-3,同上可得,f(x)的单调增区间为(-,1，,+);单调减区间为1,.【例5】(2006江西高考，理17文17) 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=与x=1时都取得极值.(1)求a、b的值与函数f(x)的单调区间;(2)若对x-1,2,不等式f(x)c2恒成立,求c的取值范围.思路分析:根据“函数在x=与x=1时都取得极值”这一条件,我们可以得出函数在这两点的导数为0,据此列出方程组,求出a、b的值,并求出f(x)的表达式,进而解决其他问题.解:(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f(x)=3x2+2ax+b.由f()=-a+b=0,f(1)=3+2a+b=0
9、得a=,b=-2.f(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),函数f(x)的单调区间如下表:x(-,)(,1)1(1,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值所以函数f(x)的递增区间是(-,)与(1,+),递减区间是(,1).(2)f(x)=x3x2-2x+c,x-1,2,当x=时,f()=+c为极大值,而f(2)=2+c,则f(2)=2+c为f(x)在-1,2上的最大值.要使f(x)c2(x-1,2)恒成立,只需c2f(2)=2+c,解得c-1或c2.【例6】(2007海南、宁夏高考，理21) 设函数f(x)=ln(x+a)+x2.(1)若当x=-1时f(x)取得极值,求a的值,并
10、讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)存在极值,求a的取值范围,并证明所有极值之和大于ln.解:(1)f(x)=+2x,依题意有f(-1)=0,故a=,从而f(x)=.f(x)的定义域为(,+).当x-1时,f(x)0;当-1x时,f(x)0;当x时,f(x)0,从而,f(x)分别在区间(,-1),(,+)上单调增加,在区间(-1,)上单调减少.(2)f(x)的定义域为(-a,+),f(x)=.方程2x2+2ax+1=0的判别式=4a2-8.若0,即-a,在f(x)的定义域内f(x)0,故f(x)无极值.若=0,则a=或a=-,若a=,x(-,+),f(x)=.当x=时,f(x)=0,当x(-
11、,)(,+)时,f(x)0,所以f(x)无极值.若a=-,x(,+),f(x)=0,f(x)也无极值.若0,即a或a-,则2x2+2ax+1=0有两个不同的实根.x1=,x2=.当a-时,x1-a,x2-a,从而f(x)在f(x)的定义域内没有零点,故f(x)无极值.当a时,x1-a,x2-a,f(x)在f(x)的定义域内有两个不同的零点,由极值判别方法知f(x)在x=x1,x=x2处取得极值.综上,f(x)存在极值时,a的取值范围为(2,+).f(x)的极值之和为f(x1)+f(x2)=ln(x1+a)+x12+ln(x2+a)+x22=ln+a2-11-ln2=ln.高手支招5思考发现1.
12、对于可导函数,一点是极值点的必要条件是这点的导数为0,而一点是极值点的充分条件是这点两侧的导数异号.即可导函数极值点的导数一定为0,但导数为0的点不一定都是极值点.对于一般的函数,函数的不可导点也可能是极值点.2.使y=0的点未必是极值点,但可导函数的极值点处导数必为0.极大(小)值可以有若干个，极大值不一定比极小值大,极小值不一定比极大值小.3.函数的极值是一个局部性的概念,极值点是区间内部的点而不会是端点.4.若f(x)在某区间内有极值,那么f(x)在某区间内一定不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值.5.函数f(x)在某区间内有极值,它的极值点的分布是有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.一般地,当函数f(x)的图像在某区间上是条连续曲线且有有限个极值点时,函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的.
