1、概率论初步和基本统计方法一、单选题1（2020上海高三专题练习）一个学生期末数学的平时成绩为B的标准为“平时的五次成绩均不小于80分”.根据甲、乙、丙、丁四位同学五次平时成绩的记录数据（记录数据都是正整数），平时成绩一定为B的是（ ）A甲同学：中位数为85，总体均值为82B乙同学：众数为83，总体均值为82C丙同学：总体均值为84，总体方差为6D丁同学：中位数为83，总体方差为6【答案】C【分析】一一举反例否定即可.【详解】对于A. 甲同学：中位数为85，总体均值为82，可以找到很多反例，如74，80，85，85，86，故A.不正确；对于B. 乙同学：众数为83，总体均值为82，可以找到很多反
2、例，如79，80，83，83，85，故B不正确；对于D. 丁同学：中位数为83，总体方差为6，比如反例，78，78，83，83，83，故D不正确；故选C.【点睛】此题考统计相关概念，属于简单题.2（2020上海高三专题练习）一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测.方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚.国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为和.则ABCD以上三种情况都有可能【答案】B【详解】因为所以故选:B3（2020上海高三专题练习）从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个
3、数不能被3整除的概率为（ ）.ABCD【答案】B【分析】从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数共有个，将10个数字分成三组，即被3除余1的有，4，、被3除余2的有，5，被3整除的有，6，9，分组以后，分类讨论得到不能被3整除的数字个数【详解】解：从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除所有的三位数有个，将10个数字分成三组，即被3除余1的有，4，、被3除余2的有，5，被3整除的有，6，9，若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论：三个数字均取第一组，或均取第二组，有个；若三个数字均取自第三组，则要考虑取出的数字中有无数字0，共
4、有个；若三组各取一个数字，第三组中不取0，有个，若三组各取一个数字，第三组中取0，有个，这样能被3整除的数共有228个，不能被3整除的数有420个，所以概率为，故选：B【点睛】本题考查了分类计数原理，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以借助于组合数列举出所有事件，概率问题同其他的知识点结合在一起，实际上是以概率问题为载体，主要考查的是被三整除的数字特点4（2020上海高三专题练习）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（ ）.ABCD【答案】D【分析】先用组合数公式求出甲乙
5、从这6个点中任意选两个点连成直线的条数共有，再用分步计数原理求出甲乙从中任选一条共有225种，利用正八面体找出相互平行但不重合共有共12对，代入古典概型的概率公式求解【详解】解：甲从这6个点中任意选两个点连成直线，共有条，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，共有条，甲乙从中任选一条共有种不同取法，因正方体6个面的中心构成一个正八面体，有六对相互平行但不重合的直线，则甲乙两人所得直线相互平行但不重合共有12对，这是一个古典概型，所以所求概率为，故选：D 【点睛】本题的考点是古典概型，利用组合数公式和分步计数原理求出所有基本事件的总数，再通过正方体6个面的中心构成一个正八面体求出相互平行但不重合
6、的对数，代入公式求解二、填空题5（2020上海高三专题练习）易经是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率_【答案】【分析】先算任取一卦的所有等可能的结果，再计算恰有2根阳线和1根阴线包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率公式即可求解.【详解】任取一卦的所有可能的结果有8卦，其中恰有2根阳线和1根阴线包含的基本事件有卦，所以恰有2根阳线和1根阴线的概率为，故答案为：6（2021上海高三专题练习）小王同学有本不同的数学书，本不同的物理书和本不同
7、的化学书，从中任取本，则这本书属于不同学科的概率为_（结果用分数表示）【答案】【分析】利用古典概型公式计算概率.【详解】共本不同的数，任取2本包含种方法，若从中任取两本，这2本书属于不同学科的情况有，所以这本书属于不同学科的概率.故答案为：7（2021上海高三专题练习）某工厂生产、两种型号的不同产品，产品数量之比为.用分层抽样的方法抽出一个样本容量为的样本，则其中种型号的产品有件.现从样本中抽出两件产品，此时含有型号产品的概率为_.【答案】【分析】先由分层抽样抽样比求种型号抽取件数，以及，再根据古典概型公式求概率.【详解】设种型号抽取件，所以，解得：，从样本中抽取2件，含有型号产品的概率.故答
8、案为：8（2021上海高三专题练习）A，B，C，D四位同学参加甲、乙两项志愿者活动，两人一组，则A，B两位同学在同一组的概率为_.（结果用最简分数表示）【答案】【分析】古典概型，列出基本事件的总数和满足条件的基本事实个数，即可求出结果.【详解】试验发生包含的事件是将A，B，C，D四个人平均分成两组，基本事件的总数：共有，即满足条件的基本事件是A，B两人恰好在同一组，共有1种根据古典概型概率公式得到故答案为：【点睛】本题考查古典概型，考查理解辨析能力、逻辑推理能力和数学运算能力，是一个基础题.9（2021上海高三专题练习）从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样本，则学生甲被抽到
9、的概率_.【答案】【分析】基本事件总数，学生甲被抽到包含的基本事件个数，由此能求出学生甲被抽到的概率【详解】解：从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样本，基本事件总数，学生甲被抽到包含的基本事件个数，学生甲被抽到的概率故答案为：【点睛】方法点睛：求概率常用的方法是：先定性（六种概率：古典概型的概率、几何概型的概率、独立事件的概率、互斥事件的概率、条件概率和独立重复试验的概率）,再定量.三、解答题10（2020上海高三专题练习）从男女团员共36名的支部中，选2名代表，每人都有相同的当选机会，如果选出的2名代表性别相同的概率是，问男女相差几名？【答案】男女相差6名【分析】先设男生
10、有x名，则女生有名，再将选出的2名代表性别相同的概率表示出来，列出等式，再利用组合数公式求出，从而求得答案.【详解】解：设男生有x名，则女生有名，记“选出的两个代表均为男性”为事件，“选得两个代表均为女性”为事件，“选得同性代表”为事件A，则事件与不能同时发生，与互斥，且则，即化简，得解方程，得或故男生有21名或15名，此时女生分别有15名或21名，故男女相差6名【点睛】本题考查了组合的应用题，利用组合数公式化简求值，属于容易题.11（2020上海高三专题练习）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其
11、中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.设为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”.求事件发生的概率.【答案】【分析】根据组合的实际应用和古典概型的概率公式，计算可得结果.【详解】解：由题可知，甲乙种子选手分别为2名和3名，则8人中，种子选手共有5名，非种子选手共有3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛，共有种，其中事件所包含的基本事件数为：，所以，所以事件发生的概率为.故答案为：.【点睛】本题考查组合的实际应用和组合数的计算，以及古典概型的概率公式，属于基础题.12（2020上海高三专题练习）一副扑克牌有52张（不包括大小王），求：（1）任取1
12、张是红桃的概率；（2）任取2张是同花色的概率；（3）任取3张，至少有2张是同花色的概率【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）利用古典概率求解，明确总数和红桃的张数即可；（2）利用古典概率求解，求出总的基本事件共有种，同花色的共有种，然后可得概率；（3）利用古典概率求解，求出总的基本事件共有种，求出“至少有2张是同花色”包含的基本事件数，然后可得概率，也可以利用对立事件求解概率.【详解】（1）52张牌中任取1张共有52种等可能结果，而取出是红桃的有13种，所以概率为（2）52张牌中任取2张共有种等可能结果，而取出是同花色的共有种，所以概率为（3）解法1 52张牌中任取3张共有种等可能结果
13、，至少有2张同花色的共有种，所以概率为解法2 “任取3张，至少有2张是同花色”的对立事件是“任取3张是互不相同的花色”，所以概率为【点睛】本题主要考查古典概率的求解，明确总的基本事件空间及所求事件包含的基本事件是解题关键，侧重考查数学建模的核心素养.13（2020上海高三专题练习）在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，6），求甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率.【答案】【分析】先得到甲、乙两单位从偶数中选出2个位置再排序，其余的全排列的种数，进而求得甲、乙两单位的演出序号都在偶数的概率
14、，然后利用互斥事件的概率求法求解.【详解】甲、乙两单位从偶数中选出2个位置再排序，其余的全排列共有：，所以甲、乙两单位的演出序号都在偶数的概率为：，所以甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率为.【点睛】本题主要考查排列的知识以及古典概型和互斥事件的概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.14（2020上海高三专题练习）某批产品成箱包装，每箱5件一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝购买的概率【答案】0
15、.34【分析】考虑抽检出2件二等品和抽检出3件二等品两种情况，分别计算概率相加得到答案.【详解】当抽检出2件二等品时：；当抽检出3件二等品时：；故.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力，分成两种情况计算是解题的关键.15（2020上海高三专题练习）袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为p（1）从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止求恰好摸5次停止的概率；（2）若A，B两个袋子中的球数之比为，将A，B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求p的值【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据题意，第5次必须摸到红球，而前4次中必须恰好有两次摸到红球，计算概率得到答案.（2）设A中有球3k个，计算总球数和红球个数，得到，解得答案.【详解】（1）第5次必须摸到红球，而前4次中必须恰好有两次摸到红球，所求概率为.（2）设A中有球3k个，则其中有红球k个，则B中有球6k个，并设B中有红球x个，于是，所以.【点睛】本题考查了概率的计算，根据概率求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力.
