1、2019-2019学年数学北师大版九年级上册1.2 矩形的性质与判定（1） 同步训练一、选择题1.矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O,以下结论不一定成立的是（ ） A.BCD=90B.AC=BDC.OA=OBD.OC=CD2.如图，点E，F分别在矩形ABCD的两条边上，且EFEC，EF=EC，若该矩形的周长为16，AE=3，则DE的长为（ ）A.B.2C.D.33.如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠（E，F分别是AD、BC上的点），使点B与四边形CDEF内一点 重合，若 ，则 等于（ ）A.110B.115C.120D.1304.如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为 ，D是OB的中点，E是O
2、C上的一点，当 的周长最小时，点E的坐标是 ( )A.B.C.D.5.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点若AC=2 ，AEO=120，则EF的长度为（ ）A.1B.2C.D.6.如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D处，则重叠部分AFC的面积为（ ）A.6B.10C.8D.127.如图，在ABC中，CDAB于点D，且E是AC的中点.若AD=6，DE=5，则CD的长等于（ ）A.5B.6C.7D.88.如图，在RtABC中，ACB=90，D，E分别是AB，AC的中点，连接CD，过E作EFDC交BC的延长线
3、于F，若四边形DCFE的周长为25cm，AC的长5cm，则AB的长为（ ）A.13cmB.12cmC.10cmD.8cm9.如图，在ABC中，ABAC，BC6，DEF的周长是7，AFBC于点F，BEAC于点E，且点D是AB的中点，则AF的长为( )A.B.C.D.710.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，把矩形ABCD沿过点A的直线AE折叠点D落在矩形ABCD内部的点D处，则CD的最小值是（ ）A.2B.C.2 -2D.2 +2二、填空题11.如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AC=8，则EF=_.12.如图，在四边形ABCD中，ABC
4、=90，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BNBAD=60，AC平分BAD，AC=2，BN的长为_13.如图，ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，CD是AB边上的中线则CD=_14.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，ABC是边长为16的正三角形，点A、B分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则线段OC的长的最大值是_15.如图，矩形ABCD中， ， ，CE是 的平分线与边AB的交点，则BE的长为_三、解答题16.如图，在矩形ABCD，AD=AE，DFAE于点F求证：AB=DF17.如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在
5、点F处，FC交AD于E（1）求证：AFE CDF； （2）若AB=4，BC=8，求图中阴影部分的面积 18.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE=DF，（1）求证：AE=CF； （2）若AB=3，AOD=120，求矩形ABCD的面积 19.如图，在RtABC中，BAC=90，AD是BC边上的中线，EDBC于D，交BA延长线于点E，若E=35，求BDA的度数20.如图，在四边形ABCD中， ,AC=AD,M,N分别为AC,AD的中点，连接BM,MN,BN.（1）求证：BM=MN; （2） ,AC平分 ,AC=2,求BN的长。 答案解析部分一、选择题 1.【答案】
6、D 【考点】矩形的性质 【解析】【解答】解：四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BCD=90，AC=BD，OA=OB，但OC=CD不一定成立，上述四个结论中选项A、B、C中的结论是正确的，选项D的结论不一定成立.故答案为：D.【分析】矩形的性质：矩形的四个角是直角、对边平行且相等、对角线相等且互相平分。根据性质可得BCD=90，AC=BD，OA=OB，但OC=CD不一定成立。2.【答案】B 【考点】矩形的性质 【解析】【解答】解：在RtAEF和RtDEC中，EFCEFEC=90AEF+DEC=90而ECD+DEC=90AEF=ECD，在AEF与DCE中， ,AEFDCE（AAS）
7、AE=CD=3，矩形ABCD的周长为16cm2（AE+ED+DC）=32，即2（6+DE）=16，解得：DE=2故答案为：B【分析】根据矩形的性质用角角边易证AEFDCE，所以可得AE=CD，由矩形的周长为16=2（AE+ED+DC）即可求解。3.【答案】B 【考点】矩形的性质，翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】解：四边形AEFB是四边形ABFE折叠而成，BFE=EFB，BFC=50，EFB= ，ADBC，AEF=180-EFB=115故答案为：B【分析】由矩形的性质和折叠的性质易得BFE=EFB，根据平角的意义即可求得EFB的度数，再根据两直线平行同旁内角互补即可求得AEF的度数。4.【
8、答案】B 【考点】矩形的性质，轴对称的应用-最短距离问题 【解析】【解答】解：作A关于y轴的对称点A，连接AD交y轴于E，则此时ADE的周长最小，四边形ABOC是矩形，ACOB，AC=OB，A的坐标为（-4，5），A（4，5），B（-4，0），D是OB的中点，D（-2，0），设直线DA的解析式为y=kx+b，54k+b02k+b， ， ，直线DA的解析式为y= x+ ，当x=0时，y= ，点E的坐标是（0， ）.故答案为：B.【分析】因为ADE的周长=AD+DE+AE，由题意知，AD为定值，要使周长最小，只须AE+DE最小即可。根据轴对称的性质可作点A关于y轴的对称点A，连接AD交y轴于点E，
9、由题意易求得直线AD的解析式，即可求得直线AD与y轴的交点E的坐标。5.【答案】B 【考点】矩形的性质，解直角三角形 【解析】【解答】解：AEO=120，DOE=90，EDO=30，又AC=2 ，DO= BD= AC= ，RtDOE中，OE=tan30DO=1，同理可得，RtBOF中，OF=1，EF=2，故答案为：B【分析】由矩形的性质解RtDOE可得OE的值，同理可得OF的值，则EF=OE+OF即可求解。6.【答案】B 【考点】矩形的性质，翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】解：根据折叠的性质，易证AFDCFB，DF=BF，设DF=x，则AF=8-x，在RtAFD中，（8-x）2=x2+4
10、2 ， 解之得：x=3，AF=AB-FB=8-3=5，SAFC= AFBC=10故答案为：B.【分析】根据折叠和矩形的性质，易证AFDCFB，可得DF=BF，在RtAFD中，用勾股定理可求得DF的长，则AF=AB-FB，根据AFC的面积=AFBC可求解。7.【答案】D 【考点】直角三角形斜边上的中线，勾股定理的应用 【解析】【解答】解：ABC中，CDAB于D，ADC=90.E是AC的中点，DE=5，AC=2DE=10.AD=6，CD= = =8.故答案为：D.【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AC=2DE，再由勾股定理可求得CD的长。8.【答案】A 【考点】三角形中位线定理，
11、平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质 【解析】【解答】解：如图，D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，ED是RtABC的中位线，EDFC，BC=2DE，又 EFDC，四边形CDEF是平行四边形，DC=EF，DC是RtABC斜边AB上的中线，AB=2DC，四边形DCFE的周长=AB+BC，四边形DCFE的周长为25cm，BC=25AB，在RtABC中，ACB=90，AC的长5cm，AB2=BC2+AC2 ， 即AB2=（25AB）2+52 ， 解得，AB=13cm，故答案为：A【分析】由三角形的中位线定理易证EDFC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形CDEF
12、是平行四边形，所以DC=EF，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB=2DC，则四边形DCFE的周长=AB+BC，可求得BC的长，在RtABC中，用勾股定理即可求解。9.【答案】B 【考点】等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理的应用 【解析】【解答】AFBC，BEAC，D是AB的中点，DE=DF= AB，AB=AC，AFBC，点F是BC的中点，BF=FC=3，BEAC，EF= BC=3，DEF的周长=DE+DF+EF=AB+3=7，AB=4，由勾股定理知 AF= .故答案为：B.【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=DF=AB，EF=BC=3，由等腰三
13、角形的三线合一可得BF=FC=3，所以DEF的周长=DE+DF+EF=AB+3=7，则AB=4，在直角三角形ABF中，由勾股定理可得AF=.10.【答案】C 【考点】线段的性质：两点之间线段最短，矩形的性质 【解析】【解答】解：当点D位于AC连线上时最小，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，把矩形ABCD沿过点A的直线AE折叠点D落在矩形ABCD内部的点D处，AD=AD=BC=2，在RtABC中，AC= ，CD=AC-AD=2 -2，故答案为：C【分析】当AC最小时，则CD最小，根据两点之间线段最短可得当点D位于AC连线上时最小，在RtABC中，由勾股定理易求得AC，由折叠的性质可得AD=AD
14、=BC，所以CD=AC-AD可求解。二、填空题 11.【答案】2 【考点】三角形中位线定理，矩形的性质 【解析】【解答】解：四边形ABCD为矩形，BD=AC=8，又矩形对角线的交点等分对角线，OD=4，又在AOD中，EF为AOD的中位线，EF=2故答案为2【分析】由矩形的性质可得BD=AC，再根据三角形的中位线定理可求解。12.【答案】 【考点】含30度角的直角三角形，直角三角形斜边上的中线，三角形中位线定理 【解析】【解答】解：在CAD中，M、N分别是AC、CD的中点，MNAD，MN= AD，在RtABC中，M是AC中点，BM= AC，AC=AD，MN=BM，BAD=60，AC平分BAD，B
15、AC=DAC=30，BM= AC=AM=MC，BMC=BAM+ABM=2BAM=60，MNAD，NMC=DAC=30，BMN=BMC+NMC=90，BN2=BM2+MN2 ， MN=BM= AC=1，BN= 故答案为： 【分析】由三角形的中位线定理可得MNAD，MN=AD，所以可得NMC=DAC=30，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM=CM=AM=AC，再由直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半可得BC=AC，所以可得BM=CM=BC，即三角形BCM是等边三角形，BMC=60，所以可得BMN=90，在直角三角形BMN中，用勾股定理即可求解。13.【答案】6.5 【考点
16、】直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】解：在ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，AC2+BC2=52+122=132=AB2 ， ABC为直角三角形，且ACB=90，CD是AB边上的中线，CD=6.5；故答案为：6.5【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AB，在直角三角形ABC中，由勾股定理即可求得AB的值。14.【答案】8+8 【考点】等边三角形的性质，直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】解：取AB的中点D，连接OD、CD，如图所示AOB为直角三角形，D为AB的中点，OD= AB=8，ABC是边长为16的正三角形，D为AB的中点，CD= AB=8 在OC
17、D中，OCOD+CD当点O、C、D三点共线时，OC=OD+CD最大，此时OC=8+8 故答案为：8+8 【分析】取AB的中点D，连接OD、CD，根据三角形三边关系定理可知，当点O、C、D三点共线时，OC=OD+CD最大。由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OD=AB，根据等腰三角形的三线合一可得CD=AB可求解。15.【答案】 【考点】矩形的性质 【解析】【解答】解：作 于H 四边形ABCD是矩形， ， ，在 和 中， ， ， ， ， ，设 ，则 ，在 中， ， ， ， ，故答案为: .【分析】作EHAC于H由矩形的性质用角角边易证ECHECB，利用所的结论在RtAEH中，用勾股定理可求
18、得BE的长。三、解答题 16.【答案】证明：四边形ABCD是矩形，ADBC，B=90，AEB=DAEDFAE，AFD=B=90在ABE和DFA中， ABEDFA，AB=DF 【考点】矩形的性质 【解析】【分析】根据矩形的性质用角角边易证ABEDFA求解。17.【答案】（1）证明：四边形ABCD是矩形，AB=CD，B=D=90，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，E=B，AB=AE，AE=CD，E=D，在AEF与CDF中，E=D，AFE=CFD，AE=CD，AEFCDF（2）解：AB=4，BC=8，CE=AD=8，AE=CD=AB=4，AEFCDF，AF=CF，EF=DF，DF2+C
19、D2=CF2 ， 即DF2+42=（8DF）2 ， DF=3，EF=3，图中阴影部分的面积=SACESAEF= 48 43=10 【考点】矩形的性质 【解析】【分析】（1）由矩形的性质和折叠的性质用角角边易证AEFCDF；（2）由矩形的性质和折叠的性质可得CE=AD，AE=CD=AB，由（1）中的结论可得AF=CF，EF=DF，在直角三角形CDF中，用勾股定理易求得DF、EF的长，则图中阴影部分的面积=SACESAEF。18.【答案】（1）证明：四边形ABCD是矩形，OA=OC，OB=OD，AC=BD，ABC=90，BE=DF，OE=OF，在AOE和COF中， ，AOECOF，AE=CF（2）
20、解：OA=OC，OB=OD，AC=BD，OA=OB，AOB=COD=60，AOB是等边三角形，OA=AB=3，AC=2OA=6，在RtABC中，BC= ，矩形ABCD的面积=ABBC=33 =9 【考点】矩形的性质 【解析】（1）由矩形的性质用边角边证AOECOF即可求解；（2）由矩形的性质易证AOB是等边三角形，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AC=2OA，在RtABC中，用勾股定理可求得BC的长，则矩形ABCD的面积=ABBC可求解。19.【答案】解：EDBC，BDE=90，又E=35，B=90-E=55，在RtABC中，BAC=90，AD是BC边上的中线，AD=BD，BAD=B=55，BDA=180-B-BAD=70 【考点】三角形内角和定理，直角三角形斜边上的中线 【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和三角形的内角和定理可求解。20.【答案】（1）证明：在 CAD中， M、N分别是AC、CD的中点 在Rt ABC中， M是AC的中点 又 （2）解： 且AC平分 由（1）知， ，由（1）知， 【考点】含30度角的直角三角形，直角三角形斜边上的中线，三角形中位线定理 【解析】【分析】（1）由三角形的中位线定理可求解；（2）根据30度角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求解。
