1、江苏省泰州中学2021届高三年级第四次模拟考试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合，则（ ）ABCD2设复数（是虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3在中，若，则（ ）A3BC4D4中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关经验表明，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图，观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温
2、度随时间变化的规律（ ）ABCD52019年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行，这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异今年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵，他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建若已知甲、乙、丙三人来自上述三所学校，学历分别有学士、硕士、博士学位现知道：甲不是军事科学院的；来自军事科学院的不是博士；乙不是军事科学院的：乙不是博士学位；国防科技大学的是研究生则丙是来自哪个院校的，学位是什么（ ）A国防大学，研究生B国防大学，博士C军事科学院，学士D国防科技大学，研究生6六辆汽车排成一纵
3、队，要求甲车和乙车均不排队头或队尾，且正好间隔两辆车，则排法有（ ）A48B72C90D12072020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，“绕、落、回”三步探月规划完美收官，这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭（除推进剂外）的质量，是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，若型火箭的喷流相对速度为，当总质比为500时，型火箭的最大速度约为（，）（ ）ABCD8已知抛物
4、线的焦点为，为该抛物线上一点，若以为圆心的圆与的准线相切于点，过且与轴垂直的直线与交于两点，为的准线上的一点，的面积为（ ）A1B2C4D9二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分），在每小题所给出的四个选项中，每题有两项或两项以上的正确答案，选对得5分，漏选得2分，不选或错选得0分9下列说法正确的是（ ）A若，则B若，则 C若，则D函数的最小值是210将函数图象上的各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位，得到的图象，下列说法正确的是（ ）A点是函数图象的对称中心B函数在上单调通减C函数的图象与函数的图象相同D若是函数的零点，则是的整数倍11已知图，则下列四个命题中正确
5、的命题有（ ）A若圆与轴相切，则B圆的圆心到原点的距离的最小值为C若直线平分圆的周长，则D圆与圆可能外切12如图，在正方体，中，是棱的中点，是线段（不含端点）上的一个动点，那么在点的运动过程中，下列说法中正确的有（ ）A存在某一位置，使得直线和直线相交B存在某一位置，使得平面C点与点到平面的距离总相等D三棱锥的体积不变三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13二项式的展开式中，的系数为270，则 14已知为非零常数，数列与均为等比数列，且，则 15现有如下信息：（1）黄金分割比（简称：黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比，其比值为，（2
6、）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形，（3）有一个内角为的等腰三角形为黄金三角形，由上述信息可求得 16设双曲线的左、右两个焦点分别为、，是双曲线上任意一点，过点的直线与的平分线垂直，垂足为，则点的轨迹曲线的方程为 ；若在曲线上，点，则的最小值为 四、解答题（本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17在中，为边上的中点（1）求的值；（2）若，求18已知为等差数列，分别是表第一、二、三行中的某一个数，且，中的任何两个数都不在表的同一列第一列第二列第三列第一行第二行469第三行1287请从，的三个条件中选一个
7、填入上表，使满足以上条件的数列存在；并在此存在的数列中，试解答下列两个问题（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和19如图多面体中，面面，为等边三角形，四边形为正方形，且，分别为的中点（1）求二面角的余弦值；（2）作平面与平面的交线，记该交线与直线交点为，写出的值（不需要说明理由，保留作图痕迹）20已知椭圆的右焦点为，且过点（1）求的方程；（2）点、分别在和直线上，为的中点，求证：直线与直线的交点在某定曲线上21已知正三角形，某同学从点开始，用掷骰子的方法移动棋子，规定：每掷一次骰子，把一枚棋子从三角形的一个顶点移动到另一个顶点：棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数大于
8、3，则按逆时针方向移动；若掷出骰子的点数不大于3，则按顺时针方向移动，设掷骰子次时，棋子移动到，处的概率分别为：，例如：掷骰子一次时，棋子移动到，处的概率分别为，（1）掷骰子三次时，求棋子分别移动到，处的概率，；（2）记，其中，求22已知函数存在唯一的极值点为（1）求实数的取值范围；（2）若，证明：江苏省泰州中学2021届高三年级第四次模拟考试数学答案一、单项选择题：1解：对于，当，时，当，时，故选：B2解：因为复数，所以，故复数在复平面内对应的点为，在第一象限故选：A3【答案】D4解：由题意知茶水温度随时间的增大而减小，在上是单调减函数，所以ACD中的函数都不满足题意，只有选项B满足题意故选
9、：B5【答案】C【解析】【分析】根据可判断丙的院校；由和可判断丙的学位【详解】由题意甲不是军事科学院的，乙不是军事科学院的；则丙来自军事科学院；由来自军事科学院的不是博士，则丙不是博士；由国防科技大学的是研究生，可知丙不是研究生，故丙为学士综上可知，丙来自军事科学院，学位是学士故选：C6【答案】A7【答案】C8【答案】D【解析】过点作轴，由抛物线的性质可得，将点坐标代入抛物线的方程，得，即，不妨设在第一象限，则，所以，因为，所以，所以，所以，解得，所以抛物线的方程为，所以，准线的方程为，所以到直线的距离，联立，解得或，所以，所以，所以，故选：D二、多选题9【答案】BC10BC【解析】【分析】先
10、利用图象变换规律求出函数，再结合余弦函数的图象和性质进行分析，得出结论【详解】将函数图象上的各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得到函数的图象，再向左平移个单位，可得到函数的图象，对于选项A，令，求得，故A错误；对于选项B，若，则，故在上单调递减，故B正确；对于选项C，即函数的图象与函数的图象相同，故C正确；对于选项D，若，是函数的零点，则是的整数倍，故D错误；故选：BC【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，考查余弦函数的图象和性质应用，难度不大11【答案】ABD12【答案】BCD【解析】对于A，假设存在，则四点共面，而点不在平面内，错误对于B，因为平面，所以当是直线与平面的交点时就满足
11、要求，正确对于C，因为的中点在平面内，所以点与点到平面的距离总相等，正确对于D，易证平面，所以点到平面的距离为定值，从而三棱锥的体积为定值，即三棱锥的体积为定值，正确三、填空题1314因为数列与均为等比数列，所以且，得，故数列也为等差数列，不难得数列为非零常数列，则15【答案】【详解】如图，等腰三角形，取中点，连接，由题意可得，所以，所以，所以16答案：，四、解答题17【解析】（1）因为在中，为边上的中点，所以，即，（2）由得，所以，在中，在中，而，所以，解得18解：（1）若选择条件，则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列都不存在，若选择条件，则放在第一行的第二列，结合条件可得，则，则，若
12、选择条件，则放在第一行的任何一列，结满足条件的等差数列都不存在，综上可得，则，（2）由（1）知，当为偶数时，当为奇数时，19【考点】二面角的平面角及求法【专题】数形结合；向量法；综合法；空间角；直观想象；数学运算【答案】（1）；（2）交线见解析中图形，【分析】（1）取、的中点，分别记为、，连接，证明，两两相互垂直，以为坐标原点，分别以，所在直线为、轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值即可求得二面角的余弦值；（2）延长交的延长线于，连接并延长交于，交的延长线于，则为平面与平面的交线，再由已知结合比例关系可得【解答】解：（1）取、的中点，分别记为、，连接，
13、为等边三角形，四边形为正方形，平面面，且平面面，平面，平面，平面，平面，又，平面，故，两两相互垂直以为坐标原点，分别以，所在直线为、轴建立空间直角坐标系，则，又，且，平面，故平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，由，取，得由图可知，二面角为锐二面角，记为，则；（2）延长交的延长线于，连接并延长交于，交的延长线于，则为平面与平面的交线，由比例关系可得【点评】本题考查平面的基本性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题20【分析】（1）由已知可求出的值，再由焦点坐标求出的值，进而求解；（2）设出点的坐标，则可得的坐标，由此求出直线的方程，进而求出点的坐标，再利用坐
14、标求出向量，的坐标运算，利用点在椭圆上化简向量的坐标运算结果，进而可以求解【解答】解：（1）由题意可知：为椭圆的左顶点，故，又为的右焦点，所以，于是，故椭圆的方程为：；（2）证明：设，则，直线的斜率，又，所以直线的方程为，令得，所以，又在椭圆上，所以，代入得：，所以，故直线与的交点在以为直径的圆上，且该圆的方程为：，即直线与直线的交点在某定曲线上【点评】本题考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的应用，考查了学生的运算推理能力，属于中档题21【答案】（1），；（2）所以；所以；所以（2），即，又，时又，可得由可得数列是首项为，公比为的等比数列，即又故22【答案】（1）；（2）详见解析【详解】（1）函数的定义域为，令，若，则，在上单调递增，不合题意；若，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，（）若，即时，在上单调递增，不合题意；（）若，即时，因为，则，所以在上有两个变号零点，所以有两个极值点，不合题意；若，则在上单调递减；且，存在唯一，使，当时，当时，所以是的唯一极值点，符合题意；综上，的取值范围是（2）由（1）可知，因为，所以，由（1）可知函数在上单调递减，所以，即，现证明不等式：，其中要证，即证，即证，即证，易知成立所以，即，即，所以，证毕
