1、9.3.3 向量平行的坐标表示基础认知自主学习【概念认知】向量平行的坐标表示条件ax1，y1，bx2，y2，其中 b0结论向量 a，b(b0)平行的充要条件是_x1y2x2y10 1已知向量 a(1，m)，b(m，2m3)，且 ab，则 m 等于()A1 B2C1 或 3 D0 或2【解析】选 C.由已知得(2m3)m20，所以 m1 或 m3.2在ABCD 中，AD(3，7)，AB(2，3)，对称中心为 O，则CO 等于()A12，5 B12，5C12，5 D12，5【解析】选 B.CO 12 AC 12(AD AB)12(1，10)12，5.3已知点 A(1，5)和向量 a(2，3)，若A
2、B 3a，则点 B 的坐标为_【解析】设 O 为坐标原点，因为OA(1，5)，AB 3a(6，9)，故OB OAAB(5，4)，故点 B 的坐标为(5，4).答案：(5，4)4向量 a(n，1)与 b(4，n)共线且方向相同，则 n_.【解析】因为 ab，所以 n240，所以 n2 或 n2，又 a 与 b 方向相同，所以 n2.答案：25已知 A(3，4)与点 B(1，2)，点 P 在直线 AB 上，且|AP|2|PB|，求点 P 的坐标【解析】设 P(x，y)，则由|AP|2|PB|得AP 2PB 或AP 2PB.若AP 2PB，则(x3，y4)2(1x，2y).所以x322x，y442y
3、.解得x13，y0，故 P13，0.若AP 2PB，同理可解得x5，y8，故 P(5，8).学情诊断课时测评一、单选题1已知向量 a(1，3)，b(2，1)，若 a2b 与 3ab 平行，则 的值等于()A6 B6 C2 D2【解析】选 B.a2b(5，5)，3ab(32，9)，由条件知，5(9)5(32)0，所以 6.2已知 a(2，1cos)，b(1cos，14)，且 ab，则锐角 等于()A45 B30C60 D30或 60【解析】选 A.由 ab 得2141cos2sin2，所以 sin212，因为 为锐角，所以 sin 22，所以 45.3已知向量 ax32，1与向量 b(x2，2x
4、)共线，则实数 x 的值为()A3 B3 或 0C3 D3 或 0【解析】选 B.向量 ax32，1与向量 b(x2，2x)共线，则 2xx32x20，即x23x0，解得 x0 或 x3，所以实数 x 的值为3 或 0.二、填空题4已知 A，B，C 三点共线，且 A(1，2)，B(2，4)，若 C 点的横坐标为 6，则 C 点的纵坐标为_【解析】设 C(6，y)，因为 A，B，C 三点共线，所以AB AC，又AB(1，2)，AC(5，y2)，所以 1(y2)250.所以 y12.答案：125在平面直角坐标系中，O 为原点，点 A(4，2)，点 P 满足OP 3PA，则点 P的坐标为_【解析】设
5、 P(x，y)，因为OP 3PA，所以(x，y)3(4x，2y)，(x，y)(123x，63y)，x123x，y63y，解得x6，y3，所以 P(6，3).答案：(6，3)三、解答题6已知 A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，3).AB 与CD 是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？【解析】AB(0，4)(2，1)(2，3)，CD(5，3)(1，3)(4，6)，因为(2)(6)340，所以AB，CD 共线又CD 2AB，所以AB，CD 方向相反综上，AB 与CD 共线且方向相反一、选择题1在 ABC 中，点 P 在 BC 上，且BP 2PC，点 Q 是 AC 的中点，若PA
6、 4，3，PQ 1，5，则BC 等于()A(2，7)B(6，21)C(2，7)D(6，21)【解析】选 B.因为点 Q 是 AC 的中点，所以PQ 12 PAPC，所以PC 2PQ PA，因为PA 4，3，PQ 1，5，所以PC 2，7，又BP 2PC，所以BC 3PC 6，21.2已知向量 a(x，3)，b(3，x)，则下列叙述中，正确的个数是()存在实数 x，使 ab；存在实数 x，使(ab)a；存在实数 x，m，使(m ab)a；存在实数 x，m，使(m ab)b.A0 B1 C2 D3【解析】选 B.由 ab 得 x29，无实数解，不对；又 ab(x3，3x)，由(ab)a 得 3(x
7、3)x(3x)0，即 x29，无实数解，不对；因为 m ab(mx3，3mx)，而(m ab)a，所以(3mx)x3(mx3)0，即 x29，无实数解，不对；由(m ab)b 得3(3mx)x(mx3)0，即 m(x29)0，所以 m0，xR，正确，综上，正确的个数为 1.3我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为周髀算经作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”如图，大正方形 ABCD 是由 4 个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若AB a，AD b，E 为 BF 的中点，则AE()A.45 a25 bB25 a45 bC43 a23 b
8、D23 a43 b【解题指南】建立平面直角坐标系不妨设 AB1，BEx，则 AE2x.利用勾股定理可得 x，通过 Rt ABE 的边角关系，可得 E 的坐标，设AE mAB nAD，通过坐标运算性质即可得出【解析】选 A.如图所示，建立平面直角坐标系不妨设 AB1，BEx，则 AE2x.所以 x24x21，解得 x 55.设BAE，则 sin 55，cos 2 55.所以 xE2 55cos 45，yE2 55sin 25.设AE mAB nAD，则45，25m(1，0)n(0，1).所以 m45，n25.所以AE 45 a25 b.4(多选)下列向量中，与向量 c(2，3)共线的向量有()A
9、(3，2)B1，32C23，1 D13，12【解析】选 BCD.由向量平行的坐标表示，若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1y2x2y10 可知，只有选项 A 与已知向量不共线二、填空题5已知三点 A(2，2)，B(0，m)，C(n，0)(mn0)，若 A，B，C 三点共线，则1m1n 的值为_；若AB AC，则 m，n 满足_【解析】因为 A，B，C 三点共线，所以AB AC，因为AB(2，m2)，AC(n2，2)，所以 4(m2)(n2)0，所以 mn2m2n0，因为 mn0，所以1m 1n 12.因为AB AC，所以 2(n2)2(m2)0，所以 mn40.答案：12 mn
10、406已知 A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若AP AB AC(R)，且点 P 在第一、三象限的角平分线上，则 _【解析】因为AP AB AC，所以OP OA AP OA AB AC OB AC(5，4)(5，7)(55，47)，由题意，可知 5547，得 12.答案：12三、解答题7已知点 O(0，0)，A(1，3)，B(4，5)及OP OA tAB.(1)t 为何值时，P 在第二象限？(2)四边形 OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应 t 的值；若不能，请说明理由【解析】(1)易知AB(3，2)，从而OP(13t，32t).于是13t0，32t0，得32 t13.(2)
11、若四边形 OABP 能成为平行四边形，则有OP AB，从而13t3，32t2，这是不可能的所以四边形 OABP 不能成为平行四边形(60 分钟 100 分)一、选择题(每小题 5 分，共 45 分，多选题全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分)1如图，在 ABC 中，AD 23 AC，BP 13 BD，若AP AB AC，则()A3 B3 C2 D2 素养培优练【解析】选 B.因为BP 13 BD 13 AD AB.又因为AD 23 AC，所以BP 13 23AC AB29 AC 13 AB，所以AP AB BP AB 29 AC 13 AB23 AB 29 AC，又
12、AP AB AC 且AB 与AC 不共线，所以 23，29.则 3.2如图，以 e1，e2 为基底，且 e1(1，0)，e2(0，1)，则向量 a 的坐标为()A(1，3)B(3，1)C(1，3)D(3，1)【解析】选 A.因为 e1，e2 分别是与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，由题图可知ae13e2，根据平面向量坐标的定义可知 a(1，3).3已知向量 a(2，1)，b(1，k)，a(2ab)0，则 k()A12 B6 C6 D12【解析】选 D.2ab(4，2)(1，k)(5，2k)，由 a(2ab)0，得(2，1)(5，2k)0，所以 102k0，解得 k12.4已知向量 a(
13、2，2)，b(x，4)，若(3a4b)(5ba)，则 x()A2 B3 C4 D5【解析】选 C.由向量 a(2，2)，b(x，4)，所以 3a4b(64x，22)，5ba(5x2，18)；又(3a4b)(5ba)，所以 18(64x)22(5x2)0，解得 x4.5已知在 ABC 中，C90，AB2AC4，点 D 沿 ACB 运动，则AD BD的最小值是()A3 B1 C1 D3【解析】选 A.方法一：在 ABC 中C90，AB2AC4，可得 BC2 3，当点 D 在 AC 上运动时，设AD AC()01，则CD 1AC，所以AD BD AD BC CDAD BC AD CD，又因为C90，
14、所以 ADBC，所以AD BC 0，所以AD BD AD CD 1AC241221，当 12 时，AD BD 取得最小值1.当点 D 在 BC 上运动时，设BD BC()01，则CD 1BC，所以AD BD AC CDBD AC BD CD BD，又因为C90，所以 ACBD，所以AC BD 0，所以AD BD CD BD 1BC2121223，当 12 时，AD BD 取得最小值3，综上可得，AD BD 的最小值是3.方法二：如图建立坐标系，则 A(0，2)，B(2 3，0)，设 D(x，y)，若 D 在 AC 上运动，则 D(0，y)(2y0)，AD(0，y2)，BD(2 3，y)，所以A
15、D BD y(y2)y22y(y1)21，当 y1 时，取最小值1；若 D 在 CB 上运动，则 D(x，0)(0 x2 3)，AD(x，2)，BD(x2 3，0)，所以AD BD x(x2 3)x22 3 x(x 3)23，当 x 3 时，取最小值3.综上知，AD BD 的最小值为3.6已知平面向量 a，b 满足|a ab1，则3a2bab的最大值为()A4 B2 5C32 5D6【解析】选 B.因为|a ab1，设 a，b 的夹角为，所以|a2ab2|a22|a|b cos|b21，则|b 2cos，令 tcos，t1，1，所以|b 2t，则3a2b3a2b 29|a 212|a|b t4
16、|b 2924t216t2 98t2，abab 2|a 22|a|b t|b 214t24t2 18t2，所以3a2bab98t2 18t2，利用基本不等式知ab2a2b22ab2a2b2，则98t2 18t2 298t218t22 5，当且仅当98t2 18t2 时取等号，此时 t 22.则3a2bab的最大值为 2 5.7(多选)在 ABC 中，AB(2，3)，AC(1，k)，若 ABC 是直角三角形，则 k的值可能为()A23B113C3 132D23【解析】选 ABC.因为AB(2，3)，AC(1，k)，所以BC AC AB(1，k3).若 A90，则AB AC 213k0，所以 k2
17、3；若 B90，则AB BC 2(1)3(k3)0，所以 k113；若 C90，则AC BC 1(1)k(k3)0，所以 k3 132.故所求 k 的值为23 或113 或3 132.8(多选)若角 顶点在坐标原点 O，始边与 x 轴的正半轴重合，点 P 在 的终边上，点 Q(3，4)，且 tan 2，则OP 与OQ 夹角的余弦值可能为()A2 55B11 525C 55D 55【解析】选 CD.因为 tan 2，所以可设 P(x，2x)，cos OP，OQ OPOQ|OP|OQ|5x5 5|x|，当 x0 时，cos OP，OQ 55；当 x0 时，cos OP，OQ 55.9(多选)如图所
18、示，设 Ox，Oy 是平面内相交成 2角的两条数轴，e1，e2 分别是与 x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系 xOy 为 仿射坐标系，若OMxe1ye2，则把有序数对x，y叫作向量OM的仿射坐标，记为OMx，y.在23 的仿射坐标系中，a1，2，b2，1.则下列结论中，正确的是()Aab1，3B|a 5CabDab|b|3 714【解析】选 AD.abe12e22e1e2e13e2，则 ab1，3，故 A 正确；|a e12e22 e21 4e1e24e2254cos 23 3，故 B 错误；abe12e22e1e22e123e1e22e2232，故 C 错误；由于|b 2e1
19、e22 4e21 4e1e2e22 7，故ab|b327 3 714，故 D 正确二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)10设向量 a(1，2)，b(2，3)，若向量 ab 与向量 c(4，7)共线，则 _【解析】ab(2，23)，所以4(23)7(2).所以812714，所以 2.答案：211已知向量 a2，1，b1，3，若存在向量 c，使得 ac6，bc4，则2ca_【解析】设 cx，y，因为 ac6，bc4，2xy6x3y4，解得x2y2，所以 c2，2，则 2ca2，3.答案：2，312如图，在 ABC 中，AN 13 NC.若AN AC，则 的值为_，P 是BN 上的一点，若AP
20、 13 AB mAC，则 m 的值为_【解析】如图在 ABC 中，AN 13 NC.所以AN 14 AC，故 14.由于点 B，P，N 三点共线所以BP tPN，则AP AB tAN AP，整理得1tAP AB t4 AC，故AP 11t AB t41tAC，所以 11t 13，解得 t2.故 m241216.答案：14 16三、解答题(每小题 10 分，共 40 分)13已知平面非零向量 a，b 的夹角是23.(1)若|a 1，a2b 7，求|b；(2)若 a2，0，bt，3，求 t 的值，并求与 ab 共线的单位向量 e 的坐标【解析】(1)向量 a，b 的夹角是23，由a2b 7，得a2
21、b2()a2()2b24ab14|b24|b cos 23 7，解得|b 32，|b 1 舍去，所以|b 32.(2)a2，0，bt，3，由向量 a，b 的夹角是23 得 cos 23 ab|a|b 2t2t2312，解得 t1，t1 舍去，因为 ab(2t，3)(3，3)，设单位向量 e(x，y)，所以 x2y21，又 e 与 ab 共线，所以 3y 3 x，求得x 32y12或x 32y12，所以 e 32，12或 e32，12.14已知 a，b，c 是同一平面内的三个向量，其中 a(1，2)，b(3，k)，c(2，4).(1)若(m ac)(2ac)，求 m；(2)若 a(ab)，cab
22、，求.【解析】(1)m ac(m2，2m4)，2ac(4，0)，因为(m ac)(2ac)，所以 2m40，解得 m2；(2)ab(2，k2)，且 a(ab)，所以 a(ab)22(k2)0，解得 k1，所以 cab(3，2)(2，4)，所以3224，解得14585，所以 225.15如图所示，在 AOB 中，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)，OC 14 OA，OD 12OB，AD 与 BC 相交于点 M，求点 M 的坐标【解析】因为OC 14 OA 14(0，5)0，54，所以 C0，54.因为OD 12 OB 12(4，3)2，32，所以 D2，32.设 M(x，y)，则AM(x，
23、y5)，AD 20，3252，72.因为AMAD，所以72 x2(y5)0，即 7x4y20.又CM x，y54，CB 4，74，因为CM CB，所以74 x4y540，即 7x16y20，联立解得 x127，y2，故点 M 的坐标为127，2.16已知 a(1，1)，b(0，2)，当 k 为何值时，(1)kab 与 a2b 垂直；(2)kab 与 ab 的夹角为 120.【解析】因为 a(1，1)，b(0，2)，kabk(1，1)(0，2)(k，k2)，a2b(1，1)(0，4)(1，3)，ab(1，1)(0，2)(1，1).(1)因为 kab 与 a2b 垂直，所以 k3k60，所以 k3，即当 k3 时，kab 与 a2b 垂直(2)因为|kab|k2（k2）2，|ab|12（1）2 2，(kab)(ab)(k，k2)(1，1)kk22，因为 kab 与 ab 的夹角为 120，所以 cos 120（kab）（ab）|kab|ab|，即12 22k2（k2）2，化简整理，得 k22k20，解得 k1 3.即当 k1 3 时，kab 与 ab 的夹角为 120.
