1、函数的奇偶性与周期性班级_姓名_考号_日期_得分_一、选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内)1f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,且f(2)0,则方程f(x)0在区间(0,6)内解的个数是()A2B3C4 D5解析:依题意可知f(x)f(x3)f(2)f(5)0.又f(x)是定义在R上的奇函数,f(x)f(x)f(2)f(2)0.f(2)f(1)f(4)0.又奇函数有f(0)0,f(3)f(6)0.在(0,6)内f(x)0的解的个数为5.答案:D2(2010石家庄质检一)定义在R上的函数f(x)在时,f(x)2x,则f(113.5)的值是()A
2、 B.C D.解析:f(x)f(x),f(x6)f(x33)f(x)T6,f(113.5)f(1960.5)f(0.5),选D.答案:D(2011郑州)定义在R上的函数f(x)满足:对于任意,R,总有f()2010,则下列说法正确的是()Af(x)1是奇函数Bf(x)1是奇函数Cf(x)2010是奇函数Df(x)2010是奇函数解析:依题意,取0,得f(0)2010;取x,x,得f(0)f(x)f(x)2010,f(x)2010,因此函数f(x)2010是奇函数,选D.答案:D5(2010广东)若函数f(x)3x3x与g(x)3x3x的定义域均为R,则()Af(x)与g(x)均为偶函数Bf(x
3、)为偶函数,g (x)为奇函数Cf(x)与g(x)均为奇函数Df(x)为奇函数,g(x)为偶函数解析:由f(x)3x3xf(x)可知f(x)为偶函数,由g(x)3x3x(3x3x)g(x)可知g(x)为奇函数答案:B6(2010安徽)若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)1,f(2)2,则f(3)f(4)()A1 B1C2 D2解析:由于函数的周期为5,所以f(3)f(4)f(2)f(1)又f(x)为R上的奇函数,f(2)f(1)f(2)f(1)211.答案:A二、填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上)7(原创题)已知函数f(x)|x1|xa|(
4、其中aR)是奇函数,则a2010_.解析:由已知得f(0)1|a|0,a1且当a1时容易验证f(x)|x1|xa|是奇函数,因此a20101.答案:18定义在R上的函数yf(x)满足f(x)f(x),f(1x)f(1x),当x时,f(x)x3,则f(2009)的值是_解析:f(x)f(x),f(x)是奇函数由f(1x)f(1x)可知f(x)关于直线x1对称,f(x)f(x)f(2x)f(x4),即f(x)f(x4),4为f(x)的一个周期,f(2009)f(1)f(1)131.答案:19f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x2)f(x),又当x(0,1)时, f(x)2x1,则的值为_解析
5、:x(0,1)时,f(x)2x1.x(1,0)时,f(x)f(x)2x1,答案:10已知函数yf(x)是R上的偶函数,对于xR都有f(x6)f(x)f(3)成立,且f(4)2,当x1,x2,且x1x2时,都有0.则给出下列命题:f(2008)2;函数yf(x)图象的一条对称轴为x6;函数yf(x)在上为减函数;方程f(x)0在上有4个根其中所有正确命题的序号为_解析:当x3时,f(36)f(3)f(3)f(3),f(3)0,f(x6)f(x),即函数yf(x)为周期为6的偶函数,x6为其一条对称轴;又f(4)2,f(2008)f(33464)f(4)f(4)2;由题意函数yf(x)在区间上单调
6、递增,又函数yf(x)为周期为6的偶函数,yf(x)在上单调递减;f(3)f(9)f(3)f(9)0,f(x)0在区间上有4个根,综上应填.答案:三、解答题:(本大题共3小题,11、12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤)11设函数f(x)的定义域关于原点对称,且满足f(x1x2);存在正常数a,使f(a)1.求证: (1)f(x)是奇函数;(2)f(x)是周期函数,并且有一个周期为4a.证明:(1)不妨令xx1x2,则f(x)f(x2x1)f(x1x2)f(x)f(x)是奇函数(2)要证f(x4a)f(x),可先计算f(xa),f(x2a),f(xa)f,(f(a)1)f(x2a
7、)ff(x4a)ff(x)故f(x)是以4a为周期的周期函数12是否存在实数a,使得函数f(x)log2(x)a为奇函数,同时使函数g(x)x为偶函数?证明你的结论解析:若f(x)是奇函数,则f(x)f(x)0,即log2(x)log2 (x)2a0.整理得log2(x22x2)2a0.a.若g(x)为偶函数,则g(x)g(x)0,即xx0.化简,得x(12a)0.a.综上,存在a满足条件13已知定义域为R的函数f(x)是奇函数(1)求a、b的值;(2)若对任意的tR,不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立,求k的取值范围解析:(1)因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)0,即0,解得b1,从而有f(x).又由f(1)f(1),知,解得a2.故a2,b1.(2)由(1)知f(x).由上式易知f(x)在(,)上为减函数又因f(x)是奇函数,从而不等式f(t22t)f(2t2k)0等价于f(t22t)2t2k,即对一切tR有3t22tk0,从而判别式412k0,解得k.