1、函数的奇偶性与周期性班级_姓名_考号_日期_得分_一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内)1f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)0，则方程f(x)0在区间(0,6)内解的个数是()A2B3C4 D5解析：依题意可知f(x)f(x3)f(2)f(5)0.又f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)f(x)f(2)f(2)0.f(2)f(1)f(4)0.又奇函数有f(0)0，f(3)f(6)0.在(0,6)内f(x)0的解的个数为5.答案：D2(2010石家庄质检一)定义在R上的函数f(x)在时，f(x)2x，则f(113.5)的值是()A
2、 B.C D.解析：f(x)f(x)，f(x6)f(x33)f(x)T6，f(113.5)f(1960.5)f(0.5)，选D.答案：D(2011郑州)定义在R上的函数f(x)满足：对于任意，R，总有f()2010，则下列说法正确的是()Af(x)1是奇函数Bf(x)1是奇函数Cf(x)2010是奇函数Df(x)2010是奇函数解析：依题意，取0，得f(0)2010；取x，x，得f(0)f(x)f(x)2010，f(x)2010，因此函数f(x)2010是奇函数，选D.答案：D5(2010广东)若函数f(x)3x3x与g(x)3x3x的定义域均为R，则()Af(x)与g(x)均为偶函数Bf(x
3、)为偶函数，g (x)为奇函数Cf(x)与g(x)均为奇函数Df(x)为奇函数，g(x)为偶函数解析：由f(x)3x3xf(x)可知f(x)为偶函数，由g(x)3x3x(3x3x)g(x)可知g(x)为奇函数答案：B6(2010安徽)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)1，f(2)2，则f(3)f(4)()A1 B1C2 D2解析：由于函数的周期为5，所以f(3)f(4)f(2)f(1)又f(x)为R上的奇函数，f(2)f(1)f(2)f(1)211.答案：A二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7(原创题)已知函数f(x)|x1|xa|(
4、其中aR)是奇函数，则a2010_.解析：由已知得f(0)1|a|0，a1且当a1时容易验证f(x)|x1|xa|是奇函数，因此a20101.答案：18定义在R上的函数yf(x)满足f(x)f(x)，f(1x)f(1x)，当x时，f(x)x3，则f(2009)的值是_解析：f(x)f(x)，f(x)是奇函数由f(1x)f(1x)可知f(x)关于直线x1对称，f(x)f(x)f(2x)f(x4)，即f(x)f(x4)，4为f(x)的一个周期，f(2009)f(1)f(1)131.答案：19f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x2)f(x)，又当x(0,1)时， f(x)2x1，则的值为_解析
5、：x(0,1)时，f(x)2x1.x(1,0)时，f(x)f(x)2x1，答案：10已知函数yf(x)是R上的偶函数，对于xR都有f(x6)f(x)f(3)成立，且f(4)2，当x1，x2，且x1x2时，都有0.则给出下列命题：f(2008)2；函数yf(x)图象的一条对称轴为x6；函数yf(x)在上为减函数；方程f(x)0在上有4个根其中所有正确命题的序号为_解析：当x3时，f(36)f(3)f(3)f(3)，f(3)0，f(x6)f(x)，即函数yf(x)为周期为6的偶函数，x6为其一条对称轴；又f(4)2，f(2008)f(33464)f(4)f(4)2；由题意函数yf(x)在区间上单调
6、递增，又函数yf(x)为周期为6的偶函数，yf(x)在上单调递减；f(3)f(9)f(3)f(9)0，f(x)0在区间上有4个根，综上应填.答案：三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11设函数f(x)的定义域关于原点对称，且满足f(x1x2)；存在正常数a，使f(a)1.求证： (1)f(x)是奇函数；(2)f(x)是周期函数，并且有一个周期为4a.证明：(1)不妨令xx1x2，则f(x)f(x2x1)f(x1x2)f(x)f(x)是奇函数(2)要证f(x4a)f(x)，可先计算f(xa)，f(x2a)，f(xa)f，(f(a)1)f(x2a
7、)ff(x4a)ff(x)故f(x)是以4a为周期的周期函数12是否存在实数a，使得函数f(x)log2(x)a为奇函数，同时使函数g(x)x为偶函数？证明你的结论解析：若f(x)是奇函数，则f(x)f(x)0，即log2(x)log2 (x)2a0.整理得log2(x22x2)2a0.a.若g(x)为偶函数，则g(x)g(x)0，即xx0.化简，得x(12a)0.a.综上，存在a满足条件13已知定义域为R的函数f(x)是奇函数(1)求a、b的值；(2)若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求k的取值范围解析：(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)0，即0，解得b1，从而有f(x).又由f(1)f(1)，知，解得a2.故a2，b1.(2)由(1)知f(x).由上式易知f(x)在(，)上为减函数又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t22t)f(2t2k)0等价于f(t22t)2t2k，即对一切tR有3t22tk0，从而判别式412k0，解得k.