1、课后导练基础达标1.在60的二面角-a-内有一点P，P到、的距离分别为3和5，求P到棱a的距离（ ）A. B. C.14 D.答案：A2.已知-l-为直二面角，A、B在l上，AC、BD分别在面、内，且AC与l的夹角为45（如下图的位置），BDl,AC=，AB=2，BD=4，求CD的长（ ）A. B. C. D.4答案：C3.过正方形ABCD的顶点A，作PA平面ABCD，若PA=AB，求平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小（ ）A.30 B.45 C.60 D.90答案：B4.在梯形ABCD中，ADBC，ABC=90，AB=a,AD=3a,ADC=arcsin,又PA平面ABCD，PA=a,
2、则二面角P-CD-A为_.答案：arctan5.如右图，ABCD是正方形，E是AB的中点，如果将DAE和CBE分别沿DE和CE折起，使AE与BE重合，记A与B重合后的点为P，求面PCD与面ECD所成的二面角_.答案：306.如右图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且ASB=ASC=60，BSC=90.求证：平面ABC平面BSC.证明：SB=SA=SC,ASB=ASC=60,AB=AC,取BC的中点O,连AO、SO,则AOBC,SOBC,AOS为二面角A-BC-S的平面角.设SA=SB=SC=a,又BSC=90.BC=a,SO=a,AO2=AC2-OC2=a2-a2=a2.SA
3、2=AO2+OS2.AOS=90.从而平面ABC平面BSC.7.如右图，PA平面ABC，ACBC，PA=AC=1，BC=，求二面角A-PB-C的大小.解：如题图,作CHAB于H,因为PA平面ABC,所以CHPA,从而CH平面PAB.作HDPB于D,连结CD,由三垂线定理得CDPB,所以CDH为二面角A-PB-C的平面角.在RtACB中,CH=.PA平面ABC，PABC.又BCAC,BC平面PAC,BCPC.在等腰直角三角形PCB中,易知CD=1,在RtCHD中,sinCDH=.故二面角A-PB-C的大小是arcsin.8.如右图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P是AD的中点，求二
4、面角A-BD1-P的大小.解：过P作PFAD1于F,AB平面AA1D1D,ABPF,PF平面ABD1.由点F作FEBD1于E,连结EF,则PE为平面ABD1的斜线,EF为PE在平面ABD1内的射影,则PEBD1.PEF为二面角A-BD1-P的平面角.RtAFPRtADD1,PF=.在PBD1中,PD1=PB=,PEBD1,BE=BD1=.在RtPBE中,PE=,在RtPEF中,sinPEF=,PEF=30,二面角A-BD1-P的大小为30.9.如右图，在底面是直角梯形的四棱锥ABCD中，ABC90，A面ABCD，SAABBC1，AD.求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.解析：如右图,延长
5、BA、CD相交于点E,连结SE,则SE是所求二面角的棱.ADBC,BC=2AD,EA=AB=SA,SESB.SA面ABCD,得面SEB面EBC,EB是交线.又BCEB,BC面SEB,故SB是SC在面SEB上的射影.CSSE.BSC是所求二面角的平面角.SB=,BC=1,BCSB,tanBSC=,即所求二面角的正切值为.综合运用10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分别是AB、BC、DD1的中点.求二面角M-B1N-B的正弦值.解：用三垂线定理求二面角.BEB1N,Q点为垂足,MB平面BB1N,BQ为斜线MQ在平面BB1中的射影,且BQB1N,MQB1N.BQM为二面角M-B1N
6、-B的平面角.设AB=1,在RtBEC中,BC=1,BE=,cosNBQ=.在RtBNQ中,BQ=BNcosNBQ=.在RtMBQ中,tanMQB=,sinMQB=.二面角M-B1N-B的正弦值为.11.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1=AB=1，M是CC1的中点，求面A1MB与面ABC成的角.解：对无棱二面角传统方法是先做出棱来,本题延长A1M交AC于N,连接BN,则可确定A1BA是所求二面角之平面角.以向量法解决这一类问题可以回避做图找角的过程.这里只要求出两半平面的法向量,求法向量夹角就可以了.简解:如右图建系,设面A1MB的法向量n=（1,m,n）,由n=0、n=0,得m=,n=.又面ABC的法向量p=(0,0,1),可解得cosn,p,即n,p=45.因此,所求二面角的大小为45.拓展研究12.如下图，几何体APC=90，APB=60，PB=BC=4，PC=3，求二面角B-PA-C的大小.解析：作BDAP,D为垂足,CPAP,二面角B-PA-C的大小等于,.在RtPBD中,BD=PBsinBPA=4sin60=23,DP=BPcosBPA=4cos60=2.=+,|2=|2+|2+|2+2+2+2,即42=(2)2+22+42+224cos,.求得cos,=.,=-arccos.于是,=arccos.因此所求二面角B-PA-C为arccos
