1、A级基础达标1(2015哈尔滨模拟)设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O，球面上两个点A，B的坐标分别为A(1，2，2)，B(2，2，1)，则|AB|()A18B12C3 D2解析：选C.|AB|3.2.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为CD和C1C的中点，则直线AE与D1F所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：选B.以D为原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)若棱长为2，则A(2，0，0)、E(0，1，0)、D1(0，0，2)、F(0，2，1)所以(2，1，0)，(0，2，1)，cos ，.则直线AE与D1F所成角的余弦值
2、为.3长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：选A.建立坐标系如图，则A(1，0，0)，E(0，2，1)，B(1，2，0)，C1(0，2，2)，(1，0，2)，(1，2，1)，所以cos，.4(2015云南省第一次统一检测)在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB4，点D在棱BB1上，若BD3，则AD与平面AA1C1C所成角的正切值为()A.B.C. D.解析：选D.取AC的中点E，连接BE，如图，可得()421252cos (为与的夹角)，所以cos ，sin ，tan ，又因为BE平面AA1C
3、1C，所以所求角的正切值为.5在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A. B.C. D.解析：选B.以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，则A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)，所以(0，1，1)，设平面A1ED的一个法向量为n1(1，y，z)，则所以所以n1(1，2，2)因为平面ABCD的一个法向量为n2(0，0，1)，所以cosn1，n2.即所成的锐二面角的余弦值为.6正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则的取值范围是_解析：依题意，设，其中0，1，()()
4、2110，1，因此的取值范围是0，1答案：0，17.如图，矩形ABCD中，AB2，BC4，将ABD沿对角线BD折起到ABD的位置，使点A在平面BCD内的射影点O恰好落在BC边上，则异面直线AB与CD所成角的大小为_解析：过O作OECD交BD于点E，由题意知，AOOC，AOOE，OEOC，故以O为原点，分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，则A(0，0，)，B(1，0，0)，C(3，0，0)，D(3，2，0)，所以(1，0，)，(0，2，0)，0，所以，故异面直线AB与CD所成角的大小为90.答案：908(2015沈阳市质量监测)在直三棱柱ABCA1B1C1中，若BCAC，BAC，AC4，
5、点M为AA1的中点，点P为BM的中点，Q在线段CA1上，且A1Q3QC，则异面直线PQ与AC所成角的余弦值为_解析：由题意，以C为原点、以AC边所在直线为x轴、以BC边所在直线为y轴、以CC1边所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示设棱柱的高为a，由BAC，AC4，得BC4，所以A(4，0，0)，B(0，4，0)，C(0，0，0)，A1(4，0，a)，B1(0，4，a)，C1(0，0，a)，M，P，Q.所以(1，2，0)，(4，0，0)设异面直线QP与CA所成的角为，所以cos ，由|1420004，|44 ，得cos .答案：9如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，其边长为2，E为棱
6、DD1的中点，F为对角线DB的中点(1)求证：平面CFB1平面EFB1；(2)求异面直线EF与B1C所成角的余弦值；(3)求直线FC1与平面B1CA所成角的正弦值解：(1)证明：因为F为DB的中点，则CFBD，又CFD1D，BDD1DD，所以CF平面BB1D1D，因为CF平面CFB1，所以平面CFB1平面EFB1.(2)以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，E(0，0，1)，F(1，1，0)，B1(2，2，2)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)所以(1，1，1)，(2，0，2)所以异面直线EF与B1C所成角的余弦值为|cos，|
7、0.(3)由(1)知CFEF，由(2)知EFB1C，又B1CCFC，B1C，CF平面B1CA，所以EF平面B1CA.所以是平面B1CA的法向量因为(1，1，2)，所以cos，所以直线FC1与平面B1CA所成角的正弦值为.10(2015贵阳市监测考试)如图，已知四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADBC，ADCD，且ABAC，ABACPA2，E是BC的中点(1)求异面直线AE与PC所成的角；(2)求二面角DPCA的平面角的余弦值解：(1)如图所示，以A点为原点建立空间直角坐标系Axyz，则B(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)故E(1，1，0)，(1，1，0)，(0，2，2)，
8、cos，即，60，故异面直线AE与PC所成的角为60.(2)在四边形ABCD中，因为ABAC2，ABAC，所以ABCACB45，因为ADBC，所以DACACB45，又ADCD，所以ADCD，所以D(1，1，0)，又C(0，2，0)，所以(1，1，0)，(0，2，2)设n(x，y，z)是平面PCD的法向量，则n，n，即n0，n0，所以令x1，得y1，z1，即n(1，1，1)，|n|，又AB平面PAC，所以(2，0，0)是平面PAC的一个法向量，所以cos，n，即二面角DPCA的平面角的余弦值为.B级能力提升1.如图，三棱锥ABCD的棱长全相等，E为AD的中点，则直线CE与BD所成角的余弦值为()
9、A.B.C.D.解析：选A.设AB1，则()()2cos 60cos 60cos 60.所以cos，.2正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为BB1、CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为_解析：以A为坐标原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A1(0，0，1)，E，F，D1(0，1，1)所以，(0，1，0)设平面A1D1E的一个法向量为n(x，y，z)，则即令z2，则x1，所以n(1，0，2)又，所以点F到平面A1D1E的距离为d.答案：3(2015西安地区八校联考)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AB2BC4，
10、BFCFAEDE，EF2，EFAB，AFCF.(1)若G为FC的中点，证明：AF平面BDG；(2)求平面ABF与平面BCF夹角的余弦值解：(1)证明：连接AC交BD于O点，则O为AC的中点，连接OG，因为点G为FC的中点，所以OGAF.因为AF平面BDG，OG平面BDG，所以AF平面BDG.(2)取AD的中点M，BC的中点Q，连接MQ，则MQABEF，所以M，Q，F，E共面作FPMQ于P，ENMQ于N，则ENFP且ENFP.连接EM，FQ，因为AEDEBFCF，ADBC，所以ADE和BCF全等，所以EMFQ，所以ENM和FPQ全等，所以MNPQ1，因为BFCF，Q为BC中点，所以BCFQ，又B
11、CMQ，FQMQQ，所以BC平面MQFE，所以PFBC，所以PF平面ABCD.以P为原点，PM为x轴，PF为z轴建立空间直角坐标系如图所示，则A(3，1，0)，B(1，1，0)，C(1，1，0)，设F(0，0，h)，则(3，1，h)，(1，1，h)因为AFCF，所以0，解得h2.设平面ABF的法向量n1(x1，y1，z1)，(3，1，2)，(1，1，2)，由得令z11，得x10，y12，得一个法向量n1(0，2，1)同理得平面BCF的一个法向量为n2(2，0，1)，所以cosn1，n2，所以平面ABF与平面BCF夹角的余弦值为.4如图1，在RtABC中，ACB30，ABC90，D为AC的中点，
12、AEBD于E，延长AE交BC于F，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如图2所示(1)求证：AE平面BCD；(2)求二面角ADCB的余弦值；(3)在线段AF上是否存在点M使得EM平面ADC？若存在，请指明点M的位置；若不存在，请说明理由解：(1)证明：平面ABD平面BCD，交线为BD.又在ABD中，AEBD于E，AE平面ABD，所以AE平面BCD.(2)由(1)结论AE平面BCD可得AEEF.由题意可知EFBD，AEBD.如图，以E为坐标原点，分别以EF，ED，EA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Exyz.不妨设ABBDDCAD2，则BEED1，AE，BC2，EF，则E(0，0，0)，D(0，1，0)，B(0，1，0)，A(0，0，)，F，C(，2，0)，(，1，0)，(0，1，)由AE平面BCD可知平面CDB的一个法向量(0，0，)设平面ADC的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，则y，x1，所以n(1，1)所以cosn，所以二面角ADCB的余弦值为.(3)设，其中0，1由于，所以，其中0，1，所以，令n0，得(1)0，解得0，1，所以在线段AF上存在点M使得EM平面ADC，且.
