1、课堂导学三点剖析 一、正弦函数的图象【例1】 作函数y=3tanxcosx的图象.思路分析:注意函数的定义域.解：由cosx0，得xk+，于是函数y=3tanxcosx的定义域为x|xk+,kZ .又y=3tanxcosx=3sinx，即y=3sinx(xk+,kZ).按五个关键点列表：x02sinx010-103sinx030-30 描点并将它们用光滑曲线连起来:（如下图） 先作出y=3tanxcosx，x0,2的图象，然后向左、右扩展，去掉横坐标为x|x=k+,kZ的点，得到y=3tanxcosx的图象.温馨提示（1）函数y=3tanxcosx的图象与y=3sinx(xk+，kZ）的图象在
2、x=k+处不同.因此，作出y=3sinx的图象后，要把x=k+（kZ）的这些点去掉.（2）作三角函数图象时，一般要先对解析式进行化简，需要注意的是，要保持其等价性.因此，作函数图象时，要先求定义域.各个击破类题演练 1画出y=2sinx，x0，2的图象.思路分析：先列出五个关键点，然后在坐标系中描出这五个点，最后用一条平滑的曲线依次把这五个点连接起来就得到y=2sinx，x0,2的图象.解：列表：x02sinx010-102sinx020-20 描点并将它们用平滑曲线连接起来：温馨提示 五点法是画三角函数图象的基本方法，其步骤为：（1）列表；（2）描点；（3）连线.变式提升 1根据正弦函数图象
3、求满足sinx的x的范围.解：首先，在同一坐标系内，作出y=sinx，y=的图象.然后观察长度为2的一个闭区间内的情形，如观察0，2找出符合sinx的x的集合,.最后拓展到x2k+,2k+,kZ.温馨提示(1)一般地，y=sinx观察长度为2的区间，常常是0,2或-,即一个周期区间.(2)这类问题也可用单位圆,借助三角函数线来解决. 二、正弦函数的定义域,值域与性质【例2】 求下列函数的值域和最值:(1)y=2sinx-1;(2)y=3sin(3x+)+2;(3)y=2cos2x+5sinx-4;(4)y=.思路分析:利用|sinx|1,通过变量代换转化为基本函数.解：(1)-1sinx1,-
4、22sinx2.故-32sinx-11.当x=2k+(kZ)时,y有最大值1;当x=2k-(kZ)时,y有最小值-3.值域为-3,1.(2)u=3x+,则有y=3sinu+2,值域为-1,5.当u=2k+(kZ),即x=k+(kZ)时,y有最大值5.当u=2k-(kZ),即x=k-(kZ)时,y有最小值-1.(3)设sinx=u,则|u|1,y=2cos2x+5sinx-4=2-2sin2x+5sinx-4=-2u2+5u-2.问题转化为在定义域-1,1内求二次函数的值域问题.配方,有y=-2(u-)2+,-1u1,当u=-1,即x=2k-(kZ)时,y有最小值-9;当u=1,即x=2k+(k
5、Z)时,y有最大值1.函数y的值域为-9,1.(4)原函数可化为y=,即y=1-.1sinx+23,1,13,-3-1.故-210.函数y的值域为-2,0,并且当x=2k+时,y=0;当x=2k-时,y=-2.类题演练 2求下列函数的值域:(1)y=cos2x+2sinx-2；(2)y=.（1）解：y=cos2x+2sinx-2=-sin2x+2sinx-1=-(sinx-1)2.-1sinx1,sinx-1-2,0.y-4，0.函数y=cos2x+2sinx-2的值域是-4，0.（2）解法一：y=1+,当sinx=-1时，ymin=1+=.值域为,+).解法二：由y=,得sinx=.又-1s
6、inx1,y.函数y=的值域为,+).温馨提示（1）一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，用上述方法时，要注意三角函数的特性.（2）求三角函数的值域，主要是运用sinx,cosx的有界性，以及复合函数的有关性质.变式提升 2求函数y=的定义域.思路分析:被开方数为非负数,对数的真数必须大于0.解:为使函数有意义,需满sinx0,即由正弦函数或单位圆,如图所示, x|2kx2k+,kZx|2k+x2k+,kZ.【例3】 求函数y=2sin(-x)的单调区间.思路分析:可依据y=sinx的单调区间来求本题函数的单调区间.解：y=2sin(-x)
7、=-2sin(x-),y=sinu(uR)的递增,递减区间分别为2k-,2k+(kZ),2k+,2k+(kZ),函数y=-2sin(x-)的递增,递减区间分别由下面的不等式确定:2k+x-2k+(kZ),2k-x-2k+(kZ),得2k+x2k+(kZZ),2k-x2k+(kZ).函数y=2sin(-x)的单调递增区间,单调递减区间分别为2k+,2k+(kZ),2k-,2k+(kZ).温馨提示从y=sinx,x-,的图象上可看出:当x-,时,曲线逐渐上升,sinx的值由-1增大到1;当x,时,曲线逐渐下降,sinx的值由1减小到-1.结合上述周期性可知:正弦函数在每一个闭区间-+2k,+2k(
8、kZ)上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间+2k,+2k(kZ)上都是减函数,其值从1减小到-1.类题演练 3比较下列各组数的大小:(1)sin194和cos160;(2)sin和cos;(3)sin(sin)和sin(cos).思路分析:先化为同名函数,然后利用单调性来比较函数值的大小.解:(1)sin194=sin(180+14)=-sin14,cos160=cos(180-20)=-cos20=-sin70.0147090,sin14-sin70,即sin194cos160.(2)cos=sin(+),又+sin(+)=cos,即sincos.(3)cos=sin,0coss
9、in1.而y=sinx在(0,)内递增,sin(cos)0,0),xR的图象可以看作是用下面的方法得到的:先把y=sinx的图象上所有的点向左(0)或向右(1)或伸长(01)或缩短(0A0,0),x0,+)表示一个振动量时,A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离,通常把它叫做这个振动的振幅;往复振动一次所需要的时间T=,叫做振动的周期;单位时间内往复振动的次数f=,叫做振动的频率;x+叫做相位,叫做初相(即当x=0时的相位). 作函数y=Asin(x+)(A0,0)的简图时,一般用五点法作图.【例4】 已知函数y=sin(2x+)+，xR.（1）当函数值y取最大值时，求自变量x的集合；（2
10、）该函数图象可由y=sinx，xR的图象经过怎样变换得到？思路分析：利用y=sinx与y=Asin(x+)+B的图象变换关系逐步进行变换，但要注意变换的顺序.解：（1）要使y取最大值，必须且只需2x+=+2k,kZ，即x=+k,kZ.当函数y取最大值时，自变量x的集合为x|x=+k,kZ.(2)将函数y=sinx的图象依次进行如下变换：把函数y=sinx图象上各点横坐标缩短到原来的倍，得y=sin2x的图象；把得到的图象各点向左平移个单位，得到y=sin(2x+)的图象；把得到的图象上的各点纵坐标缩短为原来的倍，得y=sin(2x+)的图象；把得到的图象向上平移个单位长度,得y=sin(2x+
11、)+的图象.温馨提示(1)本题把2x+视为一个整体,使思路变得十分清晰,这是一种重要而又常用的思考方法;(2)将y=sin2x的图象向左平移个单位，得到y=sin(2x+)的图象，为什么不是向左平移个单位呢?这是因为sin(2x+)=sin2(x+).类题演练 4已知函数f(x)=2asin(2x-)+b的定义域为0,最大值为1，最小值为-5，求a,b的值.思路分析:应按a0和a0时，有当a0时，有温馨提示 求值域或最大值、最小值问题，一般依据是（1）sinx,cosx的有界性；（2）连续函数在闭区间上存在最大值,最小值.根据上述原则，常把给出的函数变成下面几种形式具体处理：（1）sin(x+)的一次式形式；（2）y=f(sinx)的形式，并根据|sinx|1来确定值域.变式提升 4下图是函数y=Asin(x+)的图象,确定A,的值.解:显然A=2,T=-()=,=2.y=2sin(2x+).法一:由图知当x=时,y=0.故有2x+=2()+=0,=.所求函数解析式为y=2sin(2x+).法二:由图象可知将y=2sin2x的图象向左移即得y=2sin2(x+),即y=2sin(2x+).=.温馨提示 求函数y=Asin(x+)的解析式,难点在于确定初相,一般可利用图象变换关系和特殊值法.
