1、苏州震泽中学20202021学年第二学期高二第二次月考高二数学2021.5一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，其中是自然对数的底数，则（ ）A. B. C. D. 2. 古代数学名著九章算术中的“盈不足”问题知两鼠穿垣.今有垣厚5尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠亦一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问：何日相逢？题意是：由垛厚五尺（旧制长度单位，1尺=10寸）的墙壁，大小两只老鼠同时从墙的两面，沿一直线相对打洞.大鼠第一天打进1尺，以后每天的速度为前一天的2倍；小鼠第一天也打进1尺，以后每天的进度是前一天的一半，它们多
2、久可以相遇？（ ）A. 天B. 天C. 天D. 天3. 在一个袋子中放2个白球，2个红球，摇匀后随机摸出2个球，与“摸出1个白球1个红球”互斥而不对立的两个事件是（ ）A. 至少摸出1个白球B. 至少摸出1个红球C. 摸出2个白球D. 摸出2个白球或摸出2个红球4. 函数的大致图象为（ ）A. B. C. D. 5. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔（L. E. J. Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动
3、点函数”，下列为“不动点函数”的是（ ）A. B. C. D. 6. 北斗导航系统由55颗卫星组成，于2020年6月23日完成全球组网部署，全面投入使用.北斗七星自古是我国人民辨别方向判断季节的重要依据，北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最喑.一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测，则玉衡和天权至少一颗被选中的概率为（ ）A. B. C. D. 7. 设，且恒成立，则的最大值是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 58. 已知曲线在，两点处的切线分别与曲线相切于，则的值为（ ）A. 1B. 2C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
4、在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 对数函数（且）与二次函数在同一坐标系内的图象不可能是（ ）A. B. C. D. 10. 近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾的分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计生活垃圾，经分拣以后统计数据如表（单位：）.根据样本估计本市生活垃圾的分类投放情况，则下列说法正确的是（ ）“厨余垃圾”箱“可回收垃圾”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收垃圾3024030其他垃圾202060A.
5、 厨余垃圾投放正确的概率为B. 居民生活垃圾投放错误的概率为C. 该市三类垃圾中投放正确的概率最高的是可回收垃圾D. 厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为1800011. 英国数学家牛顿在17世纪给出了一种近似求方程根的方法牛顿迭代法.做法如下：如图，设是的根，选取作为初始近似值，过点作曲线的切线，与轴的交点的横坐标，称是的一次近似值，过点作曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值.重复以上过程，得到的近似值序列，其中，称是的次近似值，这种求方程近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程的近似解，则（ ）A. 若取初始近似值为1，则该
6、方程解得二次近似值为B. 若取初始近似值为2，则该方程近似解的二次近似值为C. D. 12. 已知正数，满足，则（ ）A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数，则_.14. 已知函数，的最小值是_.15. 用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数.（1）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如231，243等都是“凸数”，则“凸数”的个数有_个；（2）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数有_个.16. 已知函数有四个不同的零点，且四个零点全部大于1，则的值
7、为_.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数.（1）求的定义域并判断的奇偶性；（2）求证：.18. 已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若，求实数的取值范围.19. 已知函数.（1）若曲线在和处的切线互相平行，求的值；（2）当时，求的单调区间.20. 已知.（1）当，时，记的展开式中的系数为，求的值；（2）当展开式中含的系数为11，求展开式中含的项的系数最小时，的值；（3）当，时，求证：.21. 山东省2020年高考将实施新的高考改革方案.考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分
8、为750分.其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分.根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为、共8个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、.等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91100、8190、7180、6170、5160、4150、3140、21
9、30八个分数区间，得到考生的等级成绩.举例说明.某同学化学学科原始分为65分，该学科等级的原始分分布区间为5869，则该同学化学学科的原始成绩属等级.而等级的转换分区间为6170，那么该同学化学学科的转换分为：设该同学化学科的转换等级分为，求得.四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67.（1）某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布.（i）若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，等级为，其所在原始分分布区间为8293，求小明转换后的物理成绩；（ii）求物理原始分在区间的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取
10、4人，记表示这4人中等级成绩在区间的人数，求的分布列和数学期望.（附：若随机变量，则，）22. 设函数的导函数为，若不等式对任意实数恒成立.则称函数是“超导函数”.（1）请举一个“超导函数”的例子，并加以证明；（2）若函数与都是“超导函数”，且其中一个在上单调递增，另一个在上单调递减，求证：函数是“超导函数”；（3）若函数是“超导函数”且方程无实根，（为自然对数的底数），判断方程的实数根的个数并说明理由.苏州震泽中学20202021学年第二学期高二第二次月考高二数学答案2021.5一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案
11、】B【解析】，.故选：B.2.【答案】A【解析】设天相遇，则.故选：A.3.【答案】C【解析】事件的结果有3种“摸出一个白球1个红球”，“摸出2个白球”，“摸出2个红球”，故与“摸出1个白球1个红球”互斥而不对立的两个事件是C选项.故选：C.4.【答案】B【解析】关于对称，排除A，D，当，排除C，故选：B.5.【答案】C【解析】由题意知：即方程有实数根，联立计算可知，只有C有解；故选C.6.【答案】B【解析】至少一颗被选中的概率为.故选：B.7.【答案】C【解析】恒成立，即.，验证取等；所以的最大值为4.故选：C.8.【答案】B【解析】由于函数和互为反函数，可知图象关于直线对称，即有，和，分别
12、关于直线对称，则，则，即，则.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.【答案】BCD【解析】若，则对数函数在上单调递增，二次函数开口向上，对称轴，经过原点，可能为A，不可能为B.若，则对数函数在上单调递减，二次函数开口向下，对称轴，经过原点，不可能为C，D，不可能为D.故选：BCD.10.【答案】ABC【解析】对于A，厨余垃圾投放错误的概率为，所以A正确；对于B，居民生活垃圾投放正确的概率为，所以居民生活垃圾投放错误的概率为，B正确；对于C，厨余垃圾投放正确的概率为，可回收垃
13、圾投放正确的概率为，其他垃圾投放正确的概率为，所以该市三类垃圾中投放正确的概率最高的是可回收垃圾，C正确；对于D，平均数为，方差为，所以厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为20000，D错误.故选：ABC.11.【答案】ABC【解析】令，则，当，故A正确；当，故B正确；因为；，；C正确.故选ABC.12.【答案】BCD【解析】对于A，当且仅当时等号成立；A错误；对于B，验证取等，B正确；对于C，故C正确；对于D，解得，在单增，当，单减；当，单增，故，故D正确.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】【解析】.14.【答案】【解析】当时
14、，即最小值，当时，最小值0，故的最小值是.15.【答案】14；28【解析】（1）：十位上的数为2时，百位，个位只能分别为1，0，有1个；十位上的数为3时，有个；十位上的数为4时，有；“凸数”共有14个，有个，十位上的数为1时，有个，十位上的数为2时，有个，共有20个；（2）1和3两个奇数夹着0时，有种结果，1和3两个奇数夹着2时，同前面类似，0不能放在首位，共有，当1和3两个奇数夹着4时，也有同样8种结果，共有28种.16.【答案】1【解析】令，整理得，令，得，方程有两个不等实根，且，作出的图像，如图所示，有，.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17
15、.【解析】（1）由，得.函数定义域为；，为偶函数；（2）证明：当时，为偶函数，.综上所述，对定义域内的任意都有.18.【解析】（1）函数，所以不等式可化为或或，解得，或，或；所以不等式的解集是；（2）当时，函数，所以不等式可化为，即.设，当且仅当时等号成立，即时，有最小值12，故，实数的取值范围时.19.【解析】（1），由已知函数，则，解得；（2），当，即时，在上恒成立，在上单调递增；当，即时，由或，在和上单增，在上单调递减.当，即时，由或，在和上单增，在上单调递减.20.【解析】（1）当，时，分别令，得，；（2）由题意知，的系数为：，当，或，时，展开式中的系数最小为25.（3）令，且，令，即
16、在，且上单增，即，即在，且上单增，在，且恒成立，故，不等式得证.21.【解析】（1）（i）设小明转换后的物理等级分为，解得.小明转换后的物理成绩为83（分）；（ii）因为物理考试原始分基本服从正态分布，所以.所以物理原始分在区间的人数为（人）；（2）由题意得，随机抽取1人，其等级成绩在区间内的概率为，随机抽取4人，则.，.的分布列为01234数学期望.22.【解析】（1）可取为“超导函数”.由的导数为，可得，对任意实数恒成立，即是“超导函数”；（2）证明：，由函数与都是“超导函数”，可得，恒成立，即，由，其中一个在上单调递增，另一个在上单调递减，可得，在上恒成立，是“超导函数”；（3）由，即，设函数，即，函数是“超导函数”，可得恒成立，方程无实根，故恒成立，可得在上递减，等价为即，设，可得，可得在递增，且，可得在内有且只有一个实根，即原方程有且只有一个实根.
