1、课堂导学三点剖析一,熟悉反证法证明不等式的步骤【例1】 设f(x)、g(x)是定义在0,1上的函数，求证:存在x0、y00,1，使|x0y0-f(x0)-g(y0)|.证明:用反证法.假设对0,1内的任意实数x,y均有|xy-f(x)-g(y)|，考虑对x,y在0,1内取特殊值:(1)取x=0,y=0时，有|00-f(0)-g(0)|,|f(0)+g(0)|;(2)取x=1,y=0时，有|10-f(1)-g(0)|,|f(1)+g(0)|;(3)取x=0,y=1时，有|01-f(0)-g(1)|,|f(0)+g(1)|;(4)取x=1,y=1时，有|11-f(1)-g(1)|,|1-f(1)-
2、g(1)|.1=1-f(1)-g(1)+f(0)+g(1)+f(1)+g(0)-f(0)-g(0),1|1-f(1)-g(1)|+|f(0)+g(1)|+|f(1)+g(0)|+|f(0)+g(0)|+=1.1b0，那么(nN且n1).证明:假设不大于有两种情况:或者.由推论2和定理1，当时，有ab0矛盾，所以.变式提升1求证:如果ab0,那么b0,a2b20.b2-a2=(b+a)(b-a)0.ab0,b+a0.b-a0,即ba.这与已知ab矛盾.假设不成立，原结论成立.二、什么时候用反证法证明不等式【例2】 设0a、b、c,(1-b)c,(1-c)a.以上三式相乘得(1-a)b5(1-b)
3、c5(1-c)a,亦即(1-a)a5(1-b)b5(1-c)c.又0a1,0(1-a)a2=.同理,0(1-b)b,00,y0,且x+y2,求证:与中至少有一个小于2.证明:假设、都不小于2，则2,2.x0,y0,1+y2x,1+x2y,2+x+y2(x+y).x+y2，这与已知x+y2矛盾.故假设不成立，原题得证.变式提升2设a,b,c均为正数且a+b+c=1,求证:a2+b2+c2.证明:ab,bc,ca,三式相加得ab+bc+caa2+b2+c2.假设a2+b2+c2,由1=a+b+c,1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)a2+b2+c2+2(a2+b2+c2)
4、=3(a2+b2+c2)3=1,即11,显然不成立.三、体会反证法证明不等式的优越性【例3】 若ABC三边a,b,c的倒数成等差数列,则Ba,bc.,.两式相加得+,这与题设+=相矛盾.因此,假设是错误的,B.温馨提示 证明过程就那么简单,推出矛盾也这般容易!用反证法证明不等式思路清清爽爽,有化难为易的功效.类题演练3若|a|1,|b|1,求证:|1.证明:假设|1,则|a+b|1+ab|.a2+b2+2ab1+2ab+a2b2.a2+b2-a2b2-10.a2-1-b2(a2-1)0.(a2-1)(1-b2)0.即a21,b21或a21,b21,与已知矛盾.|1.变式提升3已知f(x)=x2+px+q,求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于.证明:用反证法.假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于,则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|2,而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|f(1)+f(3)-2f(2)|=|(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)|=2,相互矛盾.|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于.
