1、专题03 直线和圆的方程（重点）一、单选题1在同一平面直角坐标系下，直线总在直线的上方，则（）A，B，C，D，【答案】C【分析】结合直线的图像，利用直线的斜率与纵截距进行判断.【解析】因为直线总在直线的上方，所以直线与直线平行，且直线在y轴上的截距必大于直线在y轴上的截距，所以，故A，B，D错误.故选：C.2已知直线，若，则实数的值为（）A1BCD【答案】A【分析】利用一般式下两直线垂直的充要条件“”即可求解【解析】由故选：A3已知直线 ，以下结论不正确的是（）A不论a为何值时， 与 都互相垂直B当a变化时，与分别经过定点 和 C不论a为何值，与都关于直线对称D如果 与交于点为坐标原点，则 的
2、最大值是【答案】C【分析】根据直线垂直的条件可判断A;求出直线与所过的定点，可判断B；在上任取点，求出其关于直线的对称点，判断是否满足方程，判断C;求出 与交点，求出的表达式，可判断D.【解析】对于A， 恒成立，与互相垂直恒成立，故A正确；对于B，直线 ，当a变化时， 恒成立，所以 恒过定点 ； ，当a变化时， 恒成立，所以 恒过定点 ，故B正确；对于C，在上任取点，其关于直线 对称的点的坐标为，代入 ，则左边为不恒等于0，故C不正确；对于D，联立,解得,即，所以|MO|，所以 的最大值是，故D正确，故选;C4若过点的直线截圆的弦长为8，则直线的方程为（）ABC或D或【答案】C【分析】对直线的
3、斜率是否存在分类讨论，根据圆心到直线的距离、弦长和半径构成的直角三角形得到关于斜率的方程，解方程得到方程的斜率，进而得到直线方程.【解析】若直线l的斜率不存在，则l的方程为，圆心到l的距离为3，易求得弦长为8，符合题意；若直线l的斜率存在，设l的方程为，即，故圆心到l的距离，解得，则l的方程为.综上所述，直线l的方程为或.故选：C.5已知两点，直线l过点且与线段AB有交点，则直线l的斜率的取值范围为（）ABCD【答案】A【分析】根据斜率的公式，数形结合分析临界条件求解即可.【解析】如图所示，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为由图可知，当直线l与线段AB有交点时，直线l的斜率 故选：A6若直线与
4、圆相切，则的最大值为（）A3BCD【答案】D【分析】根据直线过定点且直线与圆相切可知圆心到定点的距离不小于半径即可得解.【解析】由题意直线方程可化为，则直线恒过定点.因为直线与圆相切，所以点不在圆内，故，即，即当为切点时，r取最大值.故选：D7对于直线：（），现有下列说法：无论如何变化，直线l的倾斜角大小不变；无论如何变化，直线l一定不经过第三象限；无论如何变化，直线l必经过第一、二、三象限；当取不同数值时，可得到一组平行直线其中正确的个数是（）ABCD【答案】C【分析】将直线化为斜截式方程，得出直线的斜率与倾斜角，可判断正确，正确；由直线的纵截距为正，可判断正确，错误【解析】直线：（），可化
5、简为：，即，则直线的斜率为，倾斜角为，故正确；直线在轴上的截距为，可得直线经过一二四象限，故正确，错误；当取不同数值时，可得到一组斜率为的平行直线，故正确；故选：C8直线与圆相交于A，B两点，若，则实数m的取值范围为（）ABCD【答案】B【分析】利用圆的弦长、半径、弦心距的关系结合已知求出弦心距的范围，再借助点到直线的距离公式计算作答.【解析】令圆的圆心到直线l的距离为d，而圆半径为，弦AB长满足，则有，又，于是得，解得，所以实数m的取值范围为.故选：B9如图，已知两点，从点射出的光线经直线AB上的点M反射后再射到直线OB上，最后经直线OB上的点N反射后又回到点P，则直线MN的方程为（）ABC
6、D【答案】D【分析】分别求出点P关于直线与y轴的对称点，从而得到结果.【解析】由题意易得AB所在的直线方程为，设点关于直线的对称点，则，解得，点P关于直线AB对称的点为，点P关于y轴对称的点为直线MN即直线，则直线MN的方程为，即故选：D10定义点P(x0，y0)到直线l：axbyc0(a2b20)的有向距离为.已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2.以下命题正确的是（）A若d1d21，则直线P1P2与直线l平行B若d11，d21，则直线P1P2与直线l垂直C若d1d20，则直线P1P2与直线l垂直D若d1d20，则直线P1P2与直线l相交【答案】A【分析】由有向距离的定义可知B中
7、直线P1P2不一定与直线l垂直，C和D中直线P1P2与直线l有可能重合.【解析】设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，对于A，若d1d21，则，所以直线P1P2与直线l平行，正确；对于B，点P1，P2在直线l的两侧且到直线l的距离相等，直线P1P2不一定与直线l垂直，错误；对于C，若d1d20，满足d1d20，即ax1by1cax2by2c0，则点P1，P2都在直线l上，所以此时直线P1P2与直线l重合，错误；对于D，若d1d20，即(ax1by1c)(ax2by2c)0，所以点P1，P2分别位于直线l的两侧或在直线l上，所以直线P1P2与直线l相交或重合，错误故选：A11过点作直线的垂线
8、，垂足为M，已知点，则当变化时，的取值范围是ABCD【答案】B【分析】化已知直线为，即有且，解方程可得定点Q，可得M在以PQ为直径的圆上运动，求得圆心和半径，由圆的性质可得最值【解析】解：直线，即，由，求得，直线经过定点由为直角三角形，斜边为PQ，M在以PQ为直径的圆上运动，可得圆心为PQ的中点，半径为，则与M的最大值为，则与M的最小值为，故MN的范围为：，故选B【点睛】本题考查直线恒过定点，以及圆的方程的运用，圆外一点与圆上的点的距离的最值求法，考查运算能力，属于中档题12设集合存在直线l，使得集合中不存在点在l上，而存在点在l两侧；存在直线l，使得集合中存在无数点在l上：（）A成立成立B成
9、立不成立C不成立成立D不成立不成立【答案】B【分析】根据圆与圆的位置关系及直线与圆的位置关系一一判断即可；【解析】解：若成立，则相邻两圆外离，不妨设相邻两圆方程为，圆心为，半径，圆心为，半径，则当时，即成立，所以结论成立；对于，设直线的方程为，则圆心到直线的距离，当时，所以直线只能与有限个圆相交，所以结论不成立；故选：B二、多选题13已知直线：与：，则下列结论正确的是（）A直线与直线可能重合B直线与直线可能垂直C直线与直线可能平行D存在直线上一点P，直线绕点P旋转后可与直线重合【答案】BD【分析】分别求出直线，的斜率，根据两直线平行和垂直斜率满足的关系即可逐一求解.【解析】直线的斜率为，直线的
10、斜率，不可能相等，直线与直线不可能重合，也不可能平行，故A，C均错误；当时，直线与直线可能垂直，故B正确；直线与直线不可能重合，也不可能平行，直线与直线一定有交点，存在直线上一点，直线绕点旋转后可与直线重合，故D正确故选：BD14下列说法正确的是（）A点斜式可以表示任何直线B过、两点的直线方程为C直线与直线相互垂直D直线在轴上的截距为【答案】CD【分析】利用点斜式方程可判断A选项；利用两点式方程可判断B选项；利用两直线垂直的斜率关系可判断C选项；利用截距的定义可判断D选项.【解析】对于A选项，点斜式不表示与轴垂直的直线，A错；对于B选项，过、两点且斜率不为零的直线方程为，B错；对于C选项，直线
11、的斜率为，直线的斜率为，所以，故直线与直线相互垂直，C对；对于D选项，直线在轴上的截距为，D对.故选：CD.15已知方程，则下列说法正确的是（）A当时，表示圆心为的圆B当时，表示圆心为的圆C当时，表示的圆的半径为D当时，表示的圆与轴相切【答案】BC【分析】将方程化为，讨论的取值，逐一判断即可.【解析】解：由，得，当时，方程表示点，故A错误；当时，方程表示圆心为的圆，故B正确；当时，方程表示的圆的半径为，故C正确；当时，方程表示的圆的半径为，与轴相交，故D错误故选：BC16已知圆和圆的交点为、，则（）A两圆的圆心距B圆上存点，圆上存在点，使得C圆上存在两点和使得D圆上的点到直线的最大距离为【答案
12、】ABD【分析】求出两圆圆心距，可判断A选项；计算出的取值范围，可判断B选项；求出，可判断C选项；求出圆上的点到直线的最大距离，可判断D选项.【解析】对于A选项，圆的标准方程为，圆心为，半径为，圆的标准方程为，圆心为，半径为，所以，A对；对于B选项，因为，则两圆相交，所以，因为，所以，圆上存点，圆上存在点，使得，B对；对于C选项，将两圆方程作差可得，即直线的方程为，圆心到直线的距离为，所以，对于圆上的任意两点、，C错；对于D选项，圆心到直线的距离的最大值为，D对.故选：ABD.17已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别于圆切于点.则下列说法正确的是（）A四边形的面积最小值为B最短时，弦长为C最
13、短时，弦直线方程为D直线过定点【答案】ABD【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，根据切线长与圆心到定点距离和半径之间关系，即切线长可知当时，最小，可确定四边形面积最小值，同时利用面积桥可求得，由此可知AB正确；设，可知方程为：，由可求得点坐标，由此可得方程，知C正确；将代入方程，根据直线过定点的求法可知D正确.【解析】由圆的方程知：圆心，半径，对于AB，四边形的面积，则当最短时，四边形的面积最小，点到直线的距离，此时，A正确；又，此时，B正确；对于C，设，则过作圆的切线，切线方程为：；过作圆的切线，切线方程为：，又为两切线交点，则两点坐标满足方程：，即方程为：；当最小时，直线方程为：，由得：，
14、即，方程为：，即，C错误；对于D，由C知：方程为：；又，即，方程可整理为：，由得：，过定点，D正确.故选：ABD.【点睛】结论点睛：过圆上一点作圆的切线，则切线方程为：；过圆外一点作圆的两条切线，切点弦所在直线方程为：.18如图所示，M，N是圆O：上的两个动点，线段MO的延长线与直线l：交于点P，若，则下列结论正确的是（）A的最小值为B的最大值为CD的最大值为【答案】ABC【分析】点O到直线l上的点的距离即为的最小值，过点P作圆O的切线为切点，则有，可判断出选项AB的正误；假设，可推出，不符题意，故选项C正确；取，此时，可得到，故选项D错误【解析】如图所示，过点P作圆O的切线为切点，则有，所以
15、，则，又因为P为直线l：上的动点，所以点O到直线l上的点的距离的最小值为，故A，B正确；若，则与，不合题意，故，故C正确；当时，故D错误故选：ABC三、填空题19经过两点的直线的一个方向向量为，则_【答案】5【分析】根据直线方向向量即可计算【解析】由条件可知，解得故答案为：520在平面直角坐标系中，已知两点，为坐标原点，则的平分线所在直线的方程为_.【答案】【分析】设的平分线的倾斜角为，根据斜率公式结合可得，由的范围即可求解.【解析】由题意，可设的平分线的倾斜角为，如图，则，即.则或，又，故，故，故的平分线所在直线的方程为，故答案为：21已知圆C1：与圆C2：，若圆C1与圆C2有且仅有一个公共
16、点，则实数a的值为_.【答案】6或【分析】根据两圆是外切或者内切，由圆心距和半径的关系即可求解.【解析】C1：的圆心为，半径为，圆C2：的圆心为，半径为，由于两圆只有一个公共点，则两圆外切或者内切，因此或，解得或，故答案为：6或22如图1，等腰直角三角形， 为中点，为平面内过 点的一条动直线，沿直线作如图2的翻折，点在翻折过程中记为点，在直线上的射影为，在平面上的射影落在直线上，则当取得最小值时，到直线的距离为_【答案】#【分析】由给定条件证得，可得是过顶点C作直线l的垂线的垂足，再在平面内建立直角坐标系，利用点到直线距离结合均值不等式推理、计算作答.【解析】如图，平面，平面，则，而，平面，于
17、是得，因此，点三点共线，以直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图，则，依题意，直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为：，直线的方程：，则，由得，解得，因此，当且仅当，即时取“=”，此时，直线l：，直线：，由解得，则点到直线AB距离，故答案为：【点睛】思路点睛：平面图形翻折问题，在翻折过程中，始终位于同一平面内的点线位置关系和数量关系不变，否则将可能发生变化.四、解答题23在平面直角坐标系xOy中，设直线（）(1)求证：直线l经过第一象限；(2)当原点O到直线l的距离最大时，求直线l的方程【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）求出直线l过定点即可；（2）当时，原点O到直线l的距离
18、最大，然后可算出答案.（1）方程可化为，由解得所以直线l过定点，因为在第一象限，所以直线l经过第一象限（2）由题意可得，当时，原点O到直线l的距离最大，因为，所以直线l的方程为，即24已知顶点，边上的高为且垂足为E.(1)求边上中线所在的直线方程；(2)求点E的坐标【答案】(1)(2)【分析】（1）求得点坐标，根据两点式求得的方程、（2）根据求得点的坐标.（1），即，所以直线的方程为.（2）直线的方程为，设，依题意，所以，即.25已知圆，直线(1)写出圆的圆心坐标和半径，并判断直线与圆的位置关系；(2)设直线与圆交于A、两点，若直线的倾斜角为120，求弦的长【答案】(1)圆心，半径，与圆相交；
19、(2)【分析】（1）将圆的方程化为标准方程即可求其圆心C和半径r，求出直线l经过的定点，判断定点与圆的位置关系即可判断l与圆的位置关系；（2）求出圆心到直线的距离d，根据即可求弦长(1)由题设知圆：，圆的圆心坐标为C，半径为r又直线可变形为：，则直线恒过定点，点在圆内，故直线必定与圆相交(2)由题意知，直线l的斜率，圆心到直线：的距离，26已知圆，动直线（1）判断直线l是否过定点？若过定点，请求出该定点；（2）动直线l与圆C所成的弦中，求以最长弦和最短弦为对角线的四边形ABCD的面积.【答案】（1）过定点，定点；（2）.【解析】（1）将直线的方程化为，然后可得答案；（2）最长弦为直径，最短弦过
20、P点且与直径AC垂直，然后求出答案即可.【解析】（1）直线恒过定点（2），最长弦为直径，即，最短弦过P点且与直径AC垂直，.27已知点，圆：(1)判断点与圆的位置关系，并加以证明；(2)当时，经过点的直线与圆相切，求直线的方程；(3)若经过点的直线与圆交于、两点，且点为的中点，求点横坐标的取值范围【答案】(1)点在圆外(2)或(3)【分析】（1）把点的坐标代入圆的方程的左边计算结果大于4知点在圆外；（2）分类讨论斜率是否存在时，利用圆心到直线的距离等于其半径求出切线方程；（3）由经过点的直线与圆交于、两点，且点为的中点，得到，代入可求的范围（1）把点的坐标代入圆的方程的左边计算，所以点在圆外（
21、2）当时，点的坐标为，由圆知圆心为，当直线的斜率不存在，方程为，圆以到直线的距离为2，所以是圆的切线；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，由题意有，解得，所以直线的方程为，即，综上所述，过点与圆相切的直线方程为或（3）若存在经过点的直线与圆交于、两点，且点为的中点，由圆的半径为2，所以，则有，当为直径时，有最大值6，所以有，解得，所以横坐标的取值范围为28已知点及圆：.（1）若直线过点且与圆相切，求直线的方程；（2）设过P直线与圆交于M、N两点，当时，求以为直径的圆的方程；（3）设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值.【答案】（1）或；（2）或；
22、（3）不存在.【分析】（1）设直线的斜率为，用点到直线的距离公式得，即求；（2）设MN的中点为Q（a,b），由题可得，即得；（3）假设存在，则圆心必在上，由的斜率，再由直线与圆的位置关系可得，即可得出结果.【解析】（1）由得设直线的斜率为，则方程为.又圆C的圆心为，半径，由，解得或.所以直线方程为或，即 直线的方程为或. （2）设MN的中点为Q（a,b），则，又PQCQ，所以，或，以为直径的圆的方程为或.（3）由直线与圆交于，两点，则圆心到直线的距离，设符合条件的实数存在，由于垂直平分弦，故圆心必在上所以的斜率，而，所以由于不满足，故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦29在直线l上任取不同的
23、两点A，B，称为直线l的方向向量与直线l的方向向量垂直的非零向量称为l的法向量，在平面直角坐标系中，已知直线是函数的图象，直线是函数的图象.（1）求直线和直线所夹成的锐角的余弦值；（2）已知直线平分直线与直线所夹成的锐角，求直线的一个方向向量的坐标；（3）已知点，A是与y轴的交点，是的法向量.求在上的投影向量的坐标(求出一个即可)，并求点P到直线的距离.【答案】（1）；（2）；（3）， 【分析】（1）求得和相交点的坐标，以及和与y轴相交点的坐标，再根据直线方向向量的定义，向量的余弦公式求解，并判断夹角是否为锐角即可.（2）平分直线与直线所夹成的锐角，所以和所夹的锐角等于和所夹的锐角，根据直线的
24、夹角公式求出，写出一个方向向量的坐标即可.（3）求点P到直线的距离，写出过A点垂直于的直线方程（方向向量为），并根据这两点联合解出点P在该直线上的投影，则 的投影向量得出.【解析】（1）设和相交点的坐标为M，和y轴相交点的坐标为A，和y轴相交点的坐标为B，则，由直线和的方程式联立，解得.则、分别为直线和的方向向量.由向量的余弦公式.由，而，所以向量形成的角为锐角.所以直线和直线所夹成的锐角的余弦值为.（2）直线平分直线与直线所夹成的锐角，所以直线和直线所夹成的锐角与直线和直线所夹成的锐角相等，根据直线的夹角公式，则 ，.又，.直线的一个方向向量的坐标为.（3），为，则点P到的距离为.过A点做直
25、线AN交x轴于N，则为直线AN的方向向量.又的法向量垂直于，则.因为，则，则为.设点P在上的投影坐标为，则，易知点Q到的距离为，由解得Q为或由和点，可知，点P在的左边，点P在上的投影坐标Q为.在上的其中一个投影向量为.30已知圆的圆心在直线上，与轴正半轴相切，且截直线所得的弦长为4.(1)求圆的方程；(2)设点在圆上运动，点，M为线段AB上一点且满足，记点的轨迹为曲线.求曲线的方程，并说明曲线的形状；在直线上是否存在异于原点的定点，使得对于上任意一点，为定值，若存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，说明理由.【答案】(1)(2)，曲线是为圆心，为半径的圆.不存在，理由见解析.【分析】（1
26、）令且，结合题设得圆为，联立直线结合韦达定理及弦长公式列方程求参数m，进而写出圆的方程；（2）设，应用坐标表示，再根据列方程组分别用表示、用表示，最后由点在圆上代入化简即可确定的方程，并说明曲线的形状即可.设且，不妨假设为定值，根据两点距离公式、在上化简并整理可得，则多项式方程中的系数及常数项均为0求参数，即可判断存在性.(1)令且，易知圆的半径为，圆的方程为，联立，整理可得，若与圆交点横坐标分别为、，则，解得，又，即，圆的方程为.(2)设，则，而，则，又在圆上，曲线的方程为，故曲线是为圆心，为半径的圆.设且，要使为定值，即为定值即可，则，又，则，可得，又异于原点，不存在，使上任意一点有为定值.【点睛】关键点点睛：第二问，利用两个动点的数量关系，将一个未知曲线上的动点坐标表示已知圆上的动点坐标，根据点在圆上代入方程整理得曲线的方程即可；设动点，根据比值为定值列方程并整理为含所设参数的整式方程形式，要使比值不受动点的影响只需保证相关项的系数为0，列方程组求参数判断存在性.
