1、课堂导学三点剖析一、圆周角定理、圆心角定理及其推论【例1】 在O中,A=,则OBC等于( )图2-1-1A.2 B.90- C.180-2 D.90+解法一：连结OC,则BOC=2A=2,在OBC中,OB=OC,OBC=OCB.OBC= (180-BOC)= (180-2)=90-.解法二:延长BO交O于点D,连结CD.BCD=90,D=A=,在RtBCD中,OBC=90-D=90-.解法三:延长BO交O于点D,BOC=2A=2,COD=180-2.OBC=COD=（180-2)=90-.解法四:延长BO到D,连结CD,则的度数为180.A=,的度数为2.的度数等于减去的度数,即的度数为180
2、-2.又OBC的度数等于度数的一半,OBC= (180-2)=90-.答案:B温馨提示 圆周角、圆心角、弧之间以统一的单位:度为桥梁,相互转化,融会贯通.二、利用圆周角、圆心角证明和计算【例2】 已知ABC中,AB=AC,E为AB上一点,且AE=AB,以AB为直径作半圆交BC于D,连结AD、CE交于F点.求证:AF=FD.图2-1-4证明：作DHCE,交AB于H,AB为直径,ADBC.又AB=AC,CD=BD.BH=EH.又AE=AB,AE=EH.又EFDH,AF=FD.温馨提示 本题在证明中利用了本节推论2,在圆中与直径有关的题目,经常利用该结论,转化为直角三角形或等腰三角形去解决.【例3】
3、 如图2-1-6,在ABC中,ADBC于D,DFAC于F,DEAB于E.求证:(1)APDP=EPFP;(2)AEFACB.图2-1-6思路分析：欲证APDP=EPFP,只需证APEFPD,只需证1=2.证明:(1)DEAB,DFAC,E、F在以AD为直径的圆上.=,1=2.APEFPD.APDP=EPFP.(2)C+CAD=90,2+CAD=90,2=C.又1=2,1=C.AEFACB.各个击破类题演练1如图2-1-2,在O中,ABO=55,则ACB等于( )图2-1-2A.35 B.45 C.50 D.60解析:连结OA,OA=OB,OAB=OBA.AOB=180-ABO-BAO=70.又
4、ACB=0,ACB=70=35.答案:A变式提升1如图2-1-3, =,在上任取一点P,PB、PC与AD的交点分别为E、F,则图中相似三角形的组数是( )图2-1-3A.2 B.3 C.4 D.6解:,B=PDE.又AEB=PED,ABEPED.同理,APFCDF.=,APB=CPD.,PAD=PCD.APECPD.同理,ABPFDP.答案:C类题演练2如图2-1-5,DE分别为O中与的中点,连结DE分别交弦AB、AC于M、N,求证:AMAN=DMEN.图2-1-5思路分析:欲证AMAN=DMEN,只需证.证明:连结AD、AE,ADMEANAMAN=DMEN.温馨提示 本题利用推论1,该结论在圆中经常用来证明角相等.类题演练3如图2-1-7,过A点的圆截ABC的AB边于E,截AC边于F,截BC边于P、Q,若EFBC,AQBC,求证:AP过ABC外接圆的圆心.图2-1-7证明:作ABC的外接圆,延长AP、AQ交外接圆于M、N,由EFBC,知MNANAM为外接圆直径AP过ABC外接圆的圆心.
