1、第4课时指数函数(3) 教学过程一、 问题情境某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂1次(1个分裂成2个),那么经过3h,这种细菌由1个可分裂为几个?经过x h,这种细菌由1个可分裂为几个?二、 数学运用【例1】(教材P68例5)某种储蓄按复利计算利息,若本金为a元,每期利率为r,设存期是x(xN*),本利和(本金加上利息)为y元.(1) 写出本利和y随存期x变化的函数关系式;(2) 已知存入本金1000元,每期利率为2.25%,试计算5期后的本利和.(见学生用书课堂本P39)处理建议注意复利是把前一期的利息和本金加在一起作本金,再计算下一期利息的一种计算利息的方法.规范板书解(1) 已知本金为
2、a元,利率为r,则1期后的本利和为y=a+ar=a(1+r),2期后的本利和为y=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2,3期后的本利和为y=a(1+r)3,x期后的本利和为y=a(1+r)x, xN*,即本利和y随存期x变化的函数关系式为y=a(1+r)x, xN*.(2) 将a=1000(元),r=2.25%, x=5代入上式,得y=1000(1+2.25%)5=10001.022551117.68(元),即5期后的本利和约为1117.68元.题后反思储蓄与贷款的本利和问题是我们日常生活中一类常见的指数函数模型.【例2】(教材P69例6)20002002年,我国国内生产总值年平均增长
3、7.8%.按照这个增长速度,画出从2000年开始我国年国内生产总值随时间变化的图象,并通过图象观察到2010年我国年国内生产总值约为2000年的多少倍.(结果取整数)(见学生用书课堂本P39)处理建议可以先设2000年我国年国内生产总值是1,然后进行求解.用图象法求方程的近似解时,函数的图象应力求画准确.规范板书设2000年我国年国内生产总值是1,x年后我国年国内生产总值为y.因为国内生产总值年平均增长7.8%,所以从2001年开始,每年的国内生产总值是上一年的1.078倍,则经过1年,y=11.078=1.078;经过2年,y=1.0781.078=1.0782;经过3年,y=1.07821
4、.078=1.0783;一般地,经过x年,我国年国内生产总值y=1.078x, xN*.画出指数函数y=1.078x的图象(如图),从图象上看出,当x=10时,y2.(例2)答:到2010年我国年国内生产总值约为2000年的2倍.题后反思本例为后面学习函数与方程的有关内容作铺垫.【例3】已知镭经过100年后剩留的质量为原来的95.76%,设质量为1g的镭经过x年后的剩留量为yg.(1) 求100年、200年、300年后镭的剩留量(精确到0.0001g);(2) 写出函数y=f(x)的解析式.(见学生用书课堂本P40)处理建议本题是放射性物质的衰变问题,剩留量即为剩留质量.规范板书解(1) 10
5、0年后镭的剩留量为195.76%=0.9576(g),200年后镭的剩留量为1(95.76%)20.9170(g),300年后镭的剩留量为1(95.76%)30.8781(g).(2) x年即个100年,所以经过x年后镭的剩留量为y=1=,所以f(x)=.题后反思放射性物质的质量衰变问题是一类常见的指数函数模型.变式(教材P68例4)某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过1年,这种物质剩留的质量是原来的84%.写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式.处理建议该放射性物质最初质量我们不知道,不妨设为单位1进行求解.规范板书解该物质最初的质量是1,经过x年剩留量是y.经过1年,剩留量y=10.
6、84=0.841;经过2年,剩留量y=0.840.84=0.842;一般地,经过x年,剩留量y=0.84x(x0).*【例4】上个世纪末(截至1999年底),我国人口约13亿,如果能将人口的平均增长率控制在1%以内,那么经过20年后,我国的人口最多为多少?(精确到亿)规范板书解设今后人口年平均增长率为1%,经过x年后,我国的人口为y亿.1999年底,我国人口约为13亿;经过1年(即2000年底),我国人口为13+131%=13(1+1%)(亿);经过2年(即2001年底),我国人口为13(1+1%)+13(1+1%)1%=13(1+1%)2(亿);经过3年(即2002年底),我国人口为13(1
7、+1%)2+13(1+1%)21%=13(1+1%)3(亿);所以,经过x年后,我国人口为y=13(1+1%)x=131.01x(亿).当x=20时,y=131.012016(亿).所以,经过20年后,我国的人口最多为16亿.题后反思在实际问题中,经常会遇到类似上述增长率模型问题.通常设原有量为N,年平均增长率为p,则经过x年后的总量y可以用y=N(1+p)x来表示.我们把形如y=kax(k0, a0,且a1)的函数称为指数型函数.三、 课堂练习1. 如果某林区的木材蓄积量平均每年比上一年增长8%,经过x年可以使木材蓄积量增长到原来的y倍,那么函数y=f(x)的图象大致为.(填序号)2. 如果某工厂一年中12月的产量是1月的产量的m倍,那么该工厂这一年中的月平均增长率为-1.3. 若一种产品的产量原来是a,在今后m年内计划使产量平均每年比上一年增加p%,则产量y随年数x变化的函数解析式为y=a(1+p%)x, xm且 xN*.4. 假设世界人口自1980年起,50年内每年增长率均固定,已知1987年世界人口达50亿,1999年第60亿个人诞生在赛拉佛耶.根据这些资料推测,2023年世界人口数最接近86亿.(精确到个位)四、 课堂小结指数函数在实际生活中的应用包括剩留量问题、复利问题、增长率问题、选用函数模拟数据问题等.
