1、第3讲 坐标系与参数方程 高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)直线、曲线的极坐标方程；(2)直线、曲线的参数方程；(3)参数方程与普通方程的互化；(4)极坐标与直角坐标的互化，本内容的考查要求为B级.真 题 感 悟 1.(2016江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为x112t，y 32 t，(t 为参数)，椭圆 C 的参数方程为xcos ，y2sin(为参数).设直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长.解 直线 l 的方程化为普通方程为 3xy 30，椭圆 C 的方程化为普通方程为 x2y241，联立方程组得 3xy 30，x2y241
2、，解得x11y10或x217，y28 37，A(1，0)，B17，8 37.故 AB117208 372167.2.(2015江苏卷)已知圆 C 的极坐标方程为 22 2 sin 440，求圆 C 的半径.解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 O，以极轴为 x 轴的正半轴，建立直角坐标系 xOy.圆 C 的极坐标方程为 22 2 22 sin 22 cos 40，化简，得 22sin 2cos 40.则圆 C 的直角坐标方程为 x2y22x2y40，即(x1)2(y1)26，所以圆 C 的半径为 6.考 点 整 合 1.直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为
3、极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.设 M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(，)，则xcos ，ysin ，2x2y2，tan yx（x0）.2.直线的极坐标方程 若直线过点 M(0，0)，且极轴到此直线的角为，则它的方程为：sin()sin(0).几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：；(2)直线过点 M(a，0)(a0)且垂直于极轴：cos a；(3)直线过 Mb，2 且平行于极轴：sin b.3.圆的极坐标方程 若圆心为 M(0，0)，半径为 r 的圆方程为：220 cos(0)20r20.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为
4、r：r；(2)当圆心位于 M(r，0)，半径为 r：2rcos ；(3)当圆心位于 Mr，2，半径为 r：2rsin .4.直线的参数方程 经过点 P0(x0，y0)，倾斜角为 的直线的参数方程为xx0tcos ，yy0tsin(t 为参数).设 P 是直线上的任一点，则 t 表示有向线段P0P 的数量.5.圆的参数方程 圆心在点 M(x0，y0)，半径为 r 的圆的参数方程为xx0rcos ，yy0rsin(为参数，0 2).6.圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x2a2y2b21 的参数方程为xacos ，ybsin(为参数).(2)双曲线x2a2y2b21 的参数方程为xasec ，ybtan
5、(为参数).(3)抛物线 y22px(p0)的参数方程为x2pt2，y2pt(t 为参数).热点一 曲线的极坐标方程微题型 1 极坐标方程与直角坐标方程的互化【例 11】在极坐标系中，已知圆 C 的圆心坐标为C2，3，半径 R 5，求圆 C 的极坐标方程.解 将圆心 C2，3 化成直角坐标为(1，3)，半径 R 5，故圆 C 的方程为(x1)2(y 3)25.再将 C 化成极坐标方程，得(cos 1)2(sin 3)25，化简得 24cos 3 10.此即为所求的圆 C 的极坐标方程.探究提高(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一.(2)
6、在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围.要注意转化的等价性.微题型 2 曲线的极坐标方程的应用【例 12】在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为x2cos ，y22sin (为参数)，M 是 C1 上的动点，P 点满足OP 2OM，点 P 的轨迹为曲线 C2.(1)求 C2 的方程；(2)在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 3 与 C1 的异于极点的交点为 A，与 C2 的异于极点的交点为B，求 AB.解(1)设 P(x，y)，则由条件知 Mx2，y2，由于 M 点在 C1 上，所以x22cos ，y222sin ，即x4cos ，y44sin .从而
7、C2 的参数方程为x4cos ，y44sin (为参数).(2)曲线 C1 的极坐标方程为 4sin ，曲线 C2 的极坐标方程为 8sin .射线 3 与 C1 的交点 A 的极径为 14sin3 2 3，射线 3 与 C2 的交点 B的极径为 28sin3 4 3.所以 AB|21|2 3.探究提高 解决这类问题一般有两种思路，一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标.要注意题目所给的限制条件及隐含条件.【训练 1】(2016全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为xacos t，y1asin
8、 t(t 为参数，a0).在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：4cos .(1)说明 C1是哪一种曲线，并将 C1的方程化为极坐标方程；(2)直线 C3 的极坐标方程为 0，其中 0 满足 tan 02，若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上，求 a.解(1)消去参数 t 得到 C1 的普通方程 x2(y1)2a2(a0)，C1 是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆.将 xcos，ysin 代入 C1 的普通方程中，得到 C1 的极坐标方程为 22sin 1a20.(2)曲线 C1，C2 的公共点的极坐标满足方程组 22sin 1a20，4cos .若 0，
9、由方程组得 16cos2 8sin cos 1a20，由已知 tan 2，可得 16cos2 8sin cos 0，从而1a20，解得 a1(舍去)，a1.a1 时，极点也为 C1，C2 的公共点，在 C3 上.所以 a1.热点二 参数方程微题型 1 参数方程与普通方程的互化【例 21】(2015福建卷)在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C的参数方程为x13cos t，y23sin t(t 为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴)中，直线 l 的方程为 2 sin 4m(mR).(1)求圆 C 的普通方程及直线 l 的直
10、角坐标方程；(2)设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2，求 m 的值.解(1)消去参数 t，得到圆 C 的普通方程为(x1)2(y2)29.由 2 sin 4 m，得 sin cos m0.所以直线 l 的直角坐标方程为 xym0.(2)依题意，圆心 C 到直线 l 的距离等于 2，即|1（2）m|22，解得 m32 2.探究提高 参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围.微题型 2 直线的参数方程【例 22】在直角坐标系 xO
11、y 中，直线 l 的参数方程为x3 22 t，y 5 22 t(t 为参数).在极坐标系(与直角坐标系 xOy取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴)中，圆 C 的方程为 2 5sin .(1)求圆 C 的直角坐标方程；(2)设圆 C 与直线 l 交于点 A，B.若点 P 的坐标为(3，5)，求 PAPB.解 法一(1)由 2 5sin ，得 x2y22 5y0，即 x2(y 5)25.(2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得3 22 t222 t25，即 t23 2t40.由于(3 2)24420，故可设 t1，t2 是上述方程的两实根，所以t1t23
12、2，t1t24.又直线 l 过点 P(3，5)，故由上式及t 的几何意义得 PAPB|t1|t2|t1t23 2.法二(1)同法一.(2)因为圆 C 的圆心为(0，5)，半径 r 5，直线 l 的普通方程为：yx3 5.由x2（y 5）25，yx3 5得 x23x20.解得：x1，y2 5 或x2，y1 5.不妨设 A(1，2 5)，B(2，1 5)，又点 P 的坐标为(3，5).故 PAPB 8 23 2.探究提高 过定点 P0(x0，y0)，倾斜角为 的直线参数方程的标准形式为xx0tcos，yy0tsin(t 为参数)，t 的几何意义是P0P 的数量，即|t|表示 P0 到 P 的距离，t 有正负之分.使用该式时直线上任意两点 P1、P2 对应的参数分别为 t1、t2，则 P1P2|t1t2|，P1P2 的中点对应的参数为12(t1t2).【训练 2】(2014江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为x1 22 t，y2 22 t(t 为参数)，直线 l与抛物线 y24x 相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长.解 将直线 l 的参数方程x1 22 t，y2 22 t代入抛物线方程y24x，得2 22 t 241 22 t，解得 t10，t28 2.所以 AB|t1t2|8 2.
