1、北晨学校高三年级第一学期10月考试题理科数学一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合A=，则AB=（） A.1B.1，2C.1，4D.1，2，3，42.“a1“是“1“的（） A.充分非必要条件B.必要非充分条件 C.充要条件D.非充分非必要条件3.复数z=（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.记Sn为等差数列an的前n项和若a4+a5=24，S6=48，则an的公差为（） A.1B.2C.4D.85.函数f（x）是奇函数，且对于任意的xR都有f（x+2）=f（x），若f（0.5）=-1，则f（7.5）=（） A.-1B
2、.0C.0.5D.16.九章算术“勾股”章有一题：“今有二人同立甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（） A. B. C. D. 7.函数f（x）=ln（x2+1）的图象在点（1，f（1）处的切线的倾斜角（） A.0B.C.D.8. 已知函数y=2sin（x+）（0，0）的部分图象如图所示则=（） A. B. C. D.9.在ABC中，D，E分别为BC，AB的中点，F为AD的中点，
3、若，AB=2AC=2，则的值为（） A. B. C. D.10.已知变量x，y满足约束条件若目标函数z=ax+by（a0，b0）的最小值为2，则+的最小值为（） A.2+ B.5+2 C.8+ D.211.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC-cosC）=0，a=2，c=，则C=（） A. B. C. D.12.已知函数为自然对数的底数），则不等式f（x）4的解集为（） A.（-ln2，0）（3，+）B.（-ln2，+） C.（3，+） D.（-ln2，0）二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知an为等差数列，Sn为其前n项和若a1=6，
4、a3+a5=0，则S6= _ 14.已知x1，则函数的最小值为 _ 15.如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x2，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 _ 16.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD= _ m 三、解答题(本大题共7小题，共70分)17.（本小题满分12分）已知 （1）求sin（-）的值 （2）求tan（+）的值 18.（本小题满分12分）已知an为等差数列，前n项和为Sn（nN*）
5、，bn是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4-2a1，S11=11b4 （）求an和bn的通项公式； （）求数列a2nbn的前n项和（nN*） 19.（本小题满分12分）已知向量=（cosx，sinx），=（3，-），x0， （1）若，求x的值； （2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值 20. ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为 （1）求sinBsinC； （2）若6cosBcosC=1，a=3，求ABC的周长 21.（本小题满分12分）已知a0，曲线f（x）=2ax2+bx+c与曲线g（x）=x2+alnx在公共
6、点（1，y0）处的切线相同 （）试求c-a的值； （）若f（x）g（x）+a+1恒成立，求实数a的取值范围选考题：(共10分)在22、23题中任选一题作答 22.已知曲线C1在平面直角坐标系中的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，有曲线C2：=2cos-4sin （1）将C1的方程化为普通方程，并求出C2的平面直角坐标方程 （2）求曲线C1和C2两交点之间的距离 23.已知函数f（x）=2|x+1|+|x-a|（aR） （1）若a=1，求不等式f（x）5的解集； （2）若函数f（x）的最小值为3，求实数a的值 北晨学校高三年级第一学期10月考试题答案和
7、解析【答案】 1.B2.A3.A4.C5.D6. C7.D8.C9.B10.A11.B12.C13.6 14. 15. 16.100 17.（本题满分为12分） 解：（1） cos=-=-，sin=-=-， sin（-）=sincos-cossin=-（6分） （2）tan=-，tan=， tan（+）=（6分） 18.（）解：设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q由已知b2+b3=12，得，而b1=2，所以q2+q-6=0又因为q0，解得q=2所以， 由b3=a4-2a1，可得3d-a1=8 由S11=11b4，可得a1+5d=16，联立，解得a1=1，d=3， 由此可得an=3n
8、-2 所以，an的通项公式为an=3n-2，bn的通项公式为 （）解：设数列a2nbn的前n项和为Tn，由a2n=6n-2，有， 上述两式相减，得= 得 所以，数列a2nbn的前n项和为（3n-4）2n+2+16 19.解：（1）=（cosx，sinx），=（3，-）， -cosx=3sinx， tanx=-， x0， x=， （2）f（x）=3cosx-sinx=2（cosx-sinx）=2cos（x+）， x0， x+， -1cos（x+）， 当x=0时，f（x）有最大值，最大值3， 当x=时，f（x）有最小值，最大值-2 20.解：（1）由三角形的面积公式可得SABC=acsinB=，
9、3csinBsinA=2a， 由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA， sinA0， sinBsinC=； （2）6cosBcosC=1， cosBcosC=， cosBcosC-sinBsinC=-=-， cos（B+C）=-， cosA=， 0A， A=， =2R=2， sinBsinC=， bc=8， a2=b2+c2-2bccosA， b2+c2-bc=9， （b+c）2=9+3cb=9+24=33， b+c= 周长a+b+c=3+ 21.解：（）f（x）=2ax2+bx+c，f（1）=2a+b+c， f（x）=4ax+b，f（1）=4a+b， 又g（x）=x2+alnx
10、，g（1）=1， g（x）=2x+，g（1）=2+a， ，得， 故c-a=-1； （）f（x）g（x）+a+1恒成立， （2a-1）x2+（2-3a）x-alnx-20对x（0，+）恒成立， 令h（x）=（2a-1）x2+（2-3a）x-alnx-2，（a0）， 则h（x）=， 令h（x）=0，解得：x=1或x=-0，（舍）， 故h（x）在（0，1）递增，在（1，+）递减， 则h（x）max=h（1）=-a-10，解得：a-1， 故a-1，0） 22.解：（1）曲线C1在平面直角坐标系中的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程：y=2x-1 由曲线C2：=2cos-4sin，即2=（2
11、cos-4sin），可得直角坐标方程：x2+y2=2x-4y （2）x2+y2=2x-4y化为（x-1）2+（y+2）2=5可得圆心C2（1，-2），半径r= 曲线C1和C2两交点之间的距离=2= 23.解：（1）当a=1，当x1时，3x+15，即，； 当-1x1时，x+35，即x2，此时x无实数解； 当x-1时，-3x-15，即x-2，x-2 综上所述，不等式的解集为x|x-2，或 （2）当a=-1时，f（x）=3|x+1|最小值为0，不符合题意， 当a-1时，f（x）min=f（-1）=1+a=3，此时a=2； 当a-1时，f（x）min=f（-1）=-1-a=3，此时a=-4 综上所示，
12、a=2或a=-4 【解析】 1. 解：A=1，2， AB=1，2， 故选：B 求出B中y值域确定出B，找出A与B的交集即可 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键 2. 解：当a1时，1成立，即充分性成立， 当a=-1时，满足1，但a1不成立，即必要性不成立， 则“a1“是“1“的充分不必要条件， 故选：A 根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键 3. 解：z=， 复数z=在复平面内对应的点的坐标为（），位于第一象限 故选：A 直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z在复平面内对应点的
13、坐标得答案 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题 4. 解：Sn为等差数列an的前n项和，a4+a5=24，S6=48， ， 解得a1=-2，d=4， an的公差为4 故选：C 利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出an的公差 本题考查等差数列的面公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用 5. 解：函数f（x）对任意的xR都有f（x+2）=f（x）， 函数f（x）是周期为2的周期函数， 又f（x）是奇函数且f（0.5）=-1， f（7.5）=f（7.5-8）=f（-0.5）=-f（0.5）
14、=1， 故选：D 由题意可得函数f（x）是周期为2的周期函数，结合已知条件和奇偶性可得 本题考查函数的周期性和奇偶性，属基础题 6. 解：设甲、乙相遇经过的时间为x，如图： 则AC=3x，AB=10，BC=7x-10， A=90，BC2=AB2+AC2， 即（7x-10）2=102+（3x）2， 解得x=或x=0（舍去）， AC=3x=， 故选：C 设甲、乙相遇经过的时间为x，由题意画出图形，由勾股定理列出方程求出x，即可求出答案 本题考查勾股定理的实际应用，画出图象是解题的关键，属于基础题 7. 解：函数f（x）=ln（x2+1）的图象在点（1，f（1）处的切线的斜率为（2x）|x=1=1，
15、 设函数f（x）=ln（x2+1）的图象在点（1，f（1）处的切线的倾斜角为， 则tan=1，=， 故选：D 先求出函数在切点出的导数值，即为切线在此处的斜率，从而求得切线在此处的倾斜角 本题主要考查导数的几何意义，求函数的导数，属于基础题 8. 解：根据函数y=2sin（x+）（0，0）的部分图象， 可得=+，=2 再根据五点法作图可得2+=， 0，=， 故选C 根据周期，求出，根据五点法作图可得 本题考查三角函数的图象，考查解析式的求解，比较基础 9. 解：如图所示， ABC中，D，E分别为BC，AB的中点，F为AD的中点， ，且AB=2AC=2， =（+） =（-+）（+） =-+ =-
16、12-（-1）+22 = 故选：B 根据题意画出图形，结合图形根据平面向量的线性运算与数量积运算性质，计算即可 本题考查平面向量的线性表示与数量积运算问题，是基础题 10. 解：约束条件对应的区域如图：目标函数z=ax+by（a0，b0）经过C时取最小值为2， 所以a+b=2， 则+=（+）（a+b）=（4+） 2+=2+； 当且仅当a=b，并且a+b=2时等号成立； 故选A 画出可行域，利用目标函数去最小值得到a，b的等式，利用基本不等式求解+的最小值 本题考查了简单线性规划问题和基本不等式的应用求最值；关键是求出a+b=2，对所求变形为基本不等式的形式求最小值 11. 解：sinB=sin
17、（A+C）=sinAcosC+cosAsinC， sinB+sinA（sinC-cosC）=0， sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0， cosAsinC+sinAsinC=0， sinC0， cosA=-sinA， tanA=-1， 0A， A=， 由正弦定理可得=， sinC=， a=2，c=， sinC=， ac， C=， 故选：B 根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可 本题考查了诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理，属于基础题 12. 解：由题意，x3， 故选C 由题意，求出x的范围，即可得出结论 本题考查分段函数，考查不等式的解法
18、，比较基础 13. 解：an为等差数列，Sn为其前n项和 a1=6，a3+a5=0， a1+2d+a1+4d=0， 12+6d=0， 解得d=-2， S6=36-30=6 故答案为：6 由已知条件利用等差数列的性质求出公差，由此利用等差数列的前n项和公式能求出S6 本题考查等差数列的前6项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用 14. 解：x1，则函数=x-1+33+2=3+2 当且仅当x=1+时，函数取得最小值 最小值为 故答案为：3+2 化简函数的解析式，得到x-1为整体的关系式，利用基本不等式转化求解最值即可 本题考查函数的最值的求法，基本不等式在最值中的应用
19、，考查计算能力 15. 解：由已知，矩形的面积为4（2-1）=4， 阴影部分的面积为=（4x-）|=， 由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于； 故答案为： 分别求出矩形和阴影部分的面积，利用几何概型公式，解答 本题考查了定积分求曲边梯形的面积以及几何概型的运用；关键是求出阴影部分的面积，利用几何概型公式解答 16. 解：设此山高h（m），则BC=h， 在ABC中，BAC=30，CBA=105，BCA=45，AB=600 根据正弦定理得=， 解得h=100（m） 故答案为：100 设此山高h（m），在BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在ABC中利用正弦定理求得h 本题主要考查了解三
20、角形的实际应用关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解 17. （1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos，sin，利用两角差的正弦函数公式可求sin（-）的值 （2）利用同角三角函数基本关系式可求tan=-，tan=，利用两角和的正切函数公式即可计算得解 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式，两角和的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题 18. （）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q通过b2+b3=12，求出q，得到然后求出公差d，推出an
21、=3n-2 （）设数列a2nbn的前n项和为Tn，利用错位相减法，转化求解数列a2nbn的前n项和即可 本题考查等差数列以及等比数列通项公式的求法，数列求和，考查转化思想以及计算能力 19. （1）根据向量的平行即可得到tanx=-，问题得以解决， （2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出 本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题 20. （1）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案， （2）根据两角余弦公式可得cosA=，即可求出A=，再根据正弦定理可得bc=8，根据余弦定理即可求出b+c，问题得以解决 本题考查了三角形的面积公式和
22、两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定理余弦定理，考查了学生的运算能力，属于中档题 21. （）分别求出f（x），g（x）的导数，得到关于a，b，c的方程组，求出c-a的值即可； （）根据（2a-1）x2+（2-3a）x-alnx-20对x（0，+）恒成立，令h（x）=（2a-1）x2+（2-3a）x-alnx-2，（a0），根据函数的单调性求出函数的最大值，从而求出a的范围即可 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题 22. （1）曲线C1在平面直角坐标系中的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程由曲线C2：=2cos-4sin，即2=（2cos-4s
23、in），利用互化公式可得直角坐标方程 （2）x2+y2=2x-4y化为（x-1）2+（y+2）2=5可得圆心C2（1，-2），半径r=求出圆心到直线的距离d，可得曲线C1和C2两交点之间的距离=2 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆相交弦长问题、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 23. （1）把f（x）写成分段函数的形式，分类讨论，分别求得不等式f（x）5的解集，综合可得结论 （2）分当a=-1时、当a-1时、当a-1时三种情况，分别求得a的值，综合可得结论 本题主要考查带有绝对值的函数，分段函数的应用，体现了分类讨论数学思想，属于中档题
