1、课时评价作业基础达标练1.（2020 广东汕尾田家炳中学高二期中）已知抛物线的方程为 ,直线 过定点 ,斜率为,问 为何值时,直线 与抛物线 （1）只有一个公共点;（2）有两个公共点;（3）没有公共点.答案：（1）设直线 的方程为 （）,即 （）.联立 直线与抛物线只有一个公共点,等价于方程 只有一个根.当 时,符合题意.当 时,整理得 ,解得 或 .综上可得,或 或 （2）直线与抛物线有两个公共点,等价于方程 有两个根.所以 即 ,解得 且且 .（3）直线与抛物线没有公共点,等价于方程 无根.所以 即 ,解得 或 .2.已知椭圆 的短轴的上端点 与两个焦点 、构成一个等边三角形.（1）求椭圆
2、的方程;（2）若过点 、的直线与椭圆的另一个交点为,求弦长 .答案：（1）由题意得 所以 ,所以椭圆的方程为 .（2）由（1）得 ,所以直线 的斜率为 ,所以直线 的方程为 ,联立 ，得 ,设 ,则 ,所以 ,所以弦长 .3.设椭圆 的短轴长为 4,离心率为 .（1）当直线 与椭圆有公共点时,求实数 的取值范围;（2）设点 是直线 被椭圆所截得的线段 的中点,求直线 的方程.答案：（1）因为离心率 所以 又因为椭圆的半短轴长 ,所以 即椭圆方程为 联立 ，整理得 ,因为直线 与椭圆有公共点,所以 即 ,解得 .所以实数 的取值范围是 .（2）设 ,由题意可知,在椭圆内,过点 的直线 与椭圆有两
3、个交点,根据椭圆的对称性可确定直线 的斜率一定存在.则 整理得 .所以斜率 ,所以直线 的方程为 ,即 .4.（2021 山东滨州高二期中）已知点 ,椭圆 的离心率为 是椭圆 的右焦点,直线 的斜率为 2,为坐标原点.（1）求 的方程;（2）设过点 且斜率为 的直线 与椭圆 交于不同的两点、,且 ,求 的值.答案：（1）离心率 ,则 ,设 ,则直线 的斜率为 ,则 ,椭圆 的方程为 .（2）由题意得直线 ,设 联立 ，整理得 ，则 即 即 ,解得 或 （舍去）,.素养提升练5.（2021 天津红桥高二期中）已知 、分别是椭圆 的左、右两个焦点,长轴长为 6,、分别是椭圆 上位于 轴上方的两点,
4、且满足 .（1）求椭圆 的方程;（2）求四边形 的面积.答案：（1）由题意知 所以 所以 ，所以椭圆 的方程为 .（2）设 ,易知 、所以 由 可得 所以 .延长 交 轴于,如图.因为 所以 且 所以线段 为 的中位线,即 为线段 的中点,所以 设直线 的方程为 ,联立 ，消去 并整理得 ,解得 或 .由根与系数的关系可得 则 ,所以 可得 ,结合题意可得 ,所以 四边形 .6.如图,圆 是圆 内的一个定点,是圆上任意一点,线段 的垂直平分线 和圆的半径 相交于点,当点 在圆 上运动时,点 的轨迹为曲线.（1）求曲线 的方程;（2）已知抛物线 ,是否存在直线 与曲线 交于 两点,使得线段 的中点 落在直线 上,并且与抛物线相切？若存在,求出直线 的方程;若不存在,说明理由.答案：（1）由题意可知,点 在线段 的垂直平分线上,所以 ,因为 ,所以 ，所以点 的轨迹是以点 为焦点的椭圆,且 ,即 ,由题意可知 ,所以 ,所以曲线 的方程为 .（2）存在.若直线 的斜率存在,设 ,则 ，两式作差可得 若线段 的中点 落在直线 上,则有 代入可得 则直线的方程可以设为 ,联立 消元可得 ,因为直线与抛物线相切,所以 ,所以 ,则直线的方程为 ,与椭圆方程联立 ，消元可得 则 所以直线 满足题意.若直线 的斜率不存在,则直线 ,满足题意.综上,直线 存在,方程是 或 .
