1、课堂探究探究一数量积的坐标运算1进行向量的数量积运算，前提是牢记有关数量积的运算法则和运算性质；2对于运用数量积求向量坐标的问题，通常是运用待定系数法，建立方程(组)求解【典型例题1】 已知向量a(1,2)，b(3,2)(1)求a(ab)；(2)求(ab)(2ab)；(3)若c(2,1)，求(ab)c，a(bc)解：(1)解法一：a(1,2)，b(3,2)，ab(4,0)a(ab)(1,2)(4,0)(1)(4)204.解法二：a(ab)a2ab(1)222(1)3224.(2)ab(1,2)(3,2)(2,4)，2ab2(1,2)(3,2)(2,4)(3,2)(5,2)，(ab)(2ab)(
2、2,4)(5,2)2(5)422.(3)(ab)c(1,2)(3,2)(2,1)(1322)(2,1)(2,1)a(bc)(1,2)(3,2)(2,1)(1,2)(3221)8(1,2)(8,16)【典型例题2】 已知向量a与b同向，b(1,2)，ab10，求向量a的坐标解：a与b同向，且b(1,2)，设ab(，2)(0)又ab10，410，2，a(2,4)探究二向量垂直的问题有关向量垂直的问题，通常利用它们的数量为0来解决，如果是几何中用向量研究垂直，可先建立直角坐标系，将相关的向量用坐标表示，利用向量垂直时数量积为0，建立关系求解，再回到要解决的几何问题中【典型例题3】 (1)已知向量a(
3、1,2)，向量b(x，2)，且a(ab)，则实数x等于()A9 B4 C0 D4(2)在矩形ABCD中，AB3，AD2，E，F分别在AB，AD上，且AE1，则当DECF时，AF_.解析：(1)由已知得ab(1x,4)a(ab)，a(ab)0.a(1,2)，1x80，x9.(2)建立如图所示的直角坐标系，则点C的坐标为(3,2)，D(0,2)，E(1,0)设F(0，y)，则(1，2)，(3，y2)DECF，32y40，得y，F，AF.答案：(1)A(2) 探究三 运用向量坐标求模、夹角1运用坐标求向量的模一般有两种解决方法：一是先求出向量的坐标再求模，二是先平方转化为数量积再求模2用坐标求两个向
4、量夹角的四个步骤：(1)求ab的值；(2)求|a|b|的值；(3)根据向量夹角的余弦公式求出两向量夹角的余弦；(4)由向量夹角的范围及两向量夹角的余弦值求出夹角【典型例题4】 已知a(1,2)，b(1，1)，求2ab与ab的夹角解：a(1,2)，b(1，1)，2ab(3,3)，ab(0,3)(2ab)(ab)30339，|2ab|3，|ab|3.设所求角为，则cos ，又0，.2ab与ab的夹角为.探究四易错辨析易错点：a与b的夹角为钝角不仅需要ab0，还应保证两向量不反向共线，易忽略夹角的范围，事实上，1cos 0，而ab0包含了cos 1，即反向共线的情况【典型例题5】 已知向量a(2，1)，b(，1)，且a与b的夹角为钝角，试求实数的取值范围错解：a与b的夹角为钝角，ab0，(2，1)(，1)21.错因分析：忽略了a，b反向共线的情况正解：a与b的夹角为钝角，ab0，且a，b不可反向共线由ab0得(2，1)(，1)21.当a与b反向共线，即夹角为180时，ab|a|b|，21，解得2，实数的取值范围为(2，)点评对于非零向量a与b，设其夹角为，则为锐角cos 0，且cos 1ab0，且amb(m0)；为钝角cos 0，且cos 1ab0，且amb(m0)；为直角cos 0ab0.
