1、第3课时直线的一般式方程课标解读课标要求素养要求根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线的一般式方程.1.数学抽象能快速掌握直线的一般式方程.2.数学运算能够应用直线的一般式方程解决有关问题.自主学习必备知识教材研习教材原句要点一直线的一般式方程平面直角坐标系中直线的方程,要么可以写成x=x0的形式,要么可以写成 y=kx+b的形式,因此可以看出,所有的直线方程都可以写成Ax+By+C=0(*)的形式,其中A,B,C都是实常数,而且A与B 不同时为零（即A2+B20）.(*)式一般称为直线的一般式方程.要点二方程Ax+By+C=0（A2+B20）的几何意义1.方程Ax+By+C=0(A2+B
2、20)的几何意义关于x,y的二元一次方程(*)表示的一定是直线,这是因为在(*)式中,如果B0 ,则方程可以化为y=-ABx-CB ,它表示的是斜率为 -AB且截距为-CB的直线;如果B=0 ,则由A与B不同时为零可知A0 ,从而方程可以化为x=-CA ,它表示的是斜率 不存在且过点(-CA,0)的直线.2.直线的法向量如果直线l的一般式方程为Ax+By+C=0(A2+B20) ,那么v=(A,B)为直线Ax+By+C=0的一个 法向量 .自主思考1.点斜式方程y-y1=k(x-x1) ,斜截式方程y=kx+b ,两点式方程y-y1y2-y1=x-x1x2-x1 ,截距式方程xa+yb=1能否
3、转化为Ax+By+C=0的形式?答案：提示能,分别是kx-y+y1-kx1=0 ,kx一y+b=0 ,(y2-y1)x-(x2-x1)y-x1(y2-y1)+y1(x2x1)=0 ,bx+ay-ab=0 .2.一般式方程转化为点斜式方程时,需满足什么条件?转化后的方程是什么?答案：提示需满足B0 ,方程为y-(-CB)=-AB(x-0) .3.当AB0时，直线Ax+By+C=0在x,y轴上的截距分别是什么？答案：提示当AB0时，直线在x,y轴上的截距分别为-CA，-CB .名师点睛直线一般式方程的结构特征（1）方程是关于x,y的二元一次方程.（2）方程中等号的左侧自左向右一般按x,y ,常数的
4、先后顺序排列.（3）x的系数一般不为分数和负数.（4）虽然直线方程的一般式有三个参数,但只需两个独立的条件即可求得直线的方程.互动探究关键能力探究点一直线的一般式方程精讲精练例（1）如果AB0,BC0,那么直线Ax+By+C=0不经过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限（2）已知直线l的一个法向量为v=(3,-1) ,且经过点A(5,3) ,则直线l的一般式方程为 .答案：（1）D（2）3x-y-53+3=0解析：（1）因为AB0 ,所以直线Ax+By+C=0的斜率-AB0 ,又因为BC0 ,所以直线在y轴上的截距-CB0 ,所以直线Ax+By+C=0不经过第四象限,故选D.
5、（2）因为直线l的一个法向量为v=(3,-1) ,所以设直线方程是3x-y+d=0 ,又因为直线l经过点A(5,3) ,所以53-3+d=0 ,解得d=-53+3 ,所以直线l的一般式方程为3x-y-53+3=0 .解题感悟（1）求直线的一般式方程的方法：先求出直线的其他形式的方程,再转化为一般式方程.利用直线的方向向量或法向量设出直线的一般式方程,再根据直线所过的点的坐标求出一般式方程.（2）在直线方程Ax+By+C=0(A2+B20)中,令x=0可得直线在y轴上的截距;令y=0可得直线在x轴上的截距.若确定直线斜率存在,则可将一般式化为斜截式.迁移应用1.已知直线l:ax-y+2-a=0在
6、两坐标轴上的截距相等,求直线l的一般式方程.答案：由题意得a0 ,令y=0 ,得x=a-2a ,令x=0 ,得y=2-a ,因为直线l:ax-y+2-a=0在两坐标轴上的截距相等,所以a-2a=2-a ,即a2-a-2=0 ,解得a=2或a=-1 ,故直线l的一般式方程为2x-y=0或x+y-3=0 .探究点二直线方程的应用精讲精练例若直线l的方程为kx-y+2k+1=0(kR) ,则该直线过定点答案： (-2,1)解析：直线l的方程可化为$k(x2)y10 $,令x+2=0,-y+1=0,解得x2,y1 ,则直线l过定点(-2,1）变式在本例中,设直线l与x轴、y轴的交点分别为点A,B ,当
7、k0时,求三角形AOB（O为坐标原点）面积的最小值.答案：由题意可得A(-2-1k,0) ,B(0,2k+1) ,所以三角形AOB的面积S=12-2-1k(2k+1)=124k+1k+41224k1k+4=4,当且仅当4k=1k ,即k=12时等号成立.所以三角形AOB面积的最小值为4.解题感悟（1）求直线与两坐标轴所围成的三角形的面积时,要注意其面积为在两坐标轴上的截距的绝对值的积的12 ,其易错点为漏掉绝对值.（2）由直线的一般式方程求其所过的定点,方法有两种,一是化为点斜式求解;二是利用解方程组求解.迁移应用1.已知直线l的方程为3x+4y-12=0 ,直线l与x轴,y轴分别交于A,B两
8、点,则AOB的面积为答案：6解析：直线l的方程为3x+4y-12=0 ,令x=0 ,得y=3 ,令y=0 ,得x=4 ,故A(4,0),B(0,3),SAOB=1243=6 .2.k取任意实数时,直线2(k-1)x+(k-6)y-k-4=0恒经过定点P ,则点P的坐标为 .答案： (1,-1)解析：直线方程可整理为(2x+y-1)k-(2x+6y+4)=0,令2x+y-1=0,2x+6y+4=0,解得x=1,y=-1,即定点P的坐标为(1,-1).探究点三由含参一般式方程求参数的值或取值范围精讲精练例（1）若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线,则实数m满足( )
9、A.m0 B.m-32C.m1 D.m1,m-32,m0（2）已知直线l:kx-y+1+2k=0(kR) ,若直线l不经过第四象限,求k的取值范围.答案：（1）C解析：（1）因为方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线,所以2m2+m-3=0,m2-m=0不能同时成立,所以m1 .答案：（2）直线方程可化为y=kx+1+2k ,当k0时,要使直线不经过第四象限,则有k0,1+2k0,解得k0 ;当k=0时,直线方程为y=1 ,符合题意.综上可知,k的取值范围是k0 .解题感悟已知含参的直线的一般式方程求参数的值或取值范围的步骤：迁移应用1.直线l：ax+(a+1)y+
10、2=0的倾斜角大于45 ,则a的取值范围是 .答案：(-,-12)(0,+)解析：当a=-1时,直线l的倾斜角为90 ,符合要求;当a-1时,直线l的斜率为-aa+1 ,则-aa+11或者-aa+10 ,解得-1a-12或者a-1或者a0 .综上可知,实数a的取值范围是(-,-12)(0,+) .评价检测素养提升课堂检测1.直线l的方程是3x-2y+6=0 ,则直线l经过( )A.一、二、三象限B.一、二、四象限C.一、三、四象限D.二、三、四象限答案：A2.直线ax+3my+2a=0(m0)过点(1,-1),则直线的斜率k等于( )A.-3B.3C.13 D.-13答案：D3.已知直线l经过
11、点(-1,2),且v=(2,-1)是直线l的一个法向量,则直线l的一般式方程为 .答案：2x-y+4=0素养演练数学建模直线方程的实际应用1.为了绿化城市,准备在如图所示的区域ABCDE内修建一个矩形PQRD的草坪,其中AED=EDC=DCB=90 ,点Q在线段AB上,且PQCD,QRCD ,经测量,BC=70m,CD=80m,DE=100m,AE=60m .如何设计才能使草坪的占地面积最大？并求出最大面积（精确到1m2）.答案：如图,以BC边所在直线为x轴,AE边所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则A (0,20),B (30,0).所以直线AB的方程为x30+y20=1 ,即y=20-23x ,设Q(x,20-2x3),0x30,则矩形PQRD的面积S=(100-x)80-(20-2x3)(0x30),化简得S=-23x2+203x+6000(0x30) ,配方,得S=-23(x-5)2+6000+503(0x30),易得当x=5,y=503时,S最大,最大约为6017m2 .素养探究：本题考查直线方程的实际应用,解答本题要先建立恰当的平面直角坐标系,求得直线AB的方程,再设出点Q的坐标,由矩形面积公式建立模型,然后利用二次函数的基本性质求其最值,在此过程中体现了数学建模的核心素养.
