1、2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系2.5.1 直线与圆的位置关系课标解读课标要求素养要求1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.1.数学抽象能够抽象出直线与圆的位置关系.2.逻辑推理能够通过推理判断直线与圆的位置关系.3.数学建模能够利用直线和圆的方程解决实际问题.自主学习必备知识教材研习教材原句直线与圆有三种位置关系：（1）直线与圆相交，有 两个 公共点；（2）直线与圆相切，只有 一个 公共点；（3）直线与圆相离， 没有 公共点.自主思考1.在海天交于一线的天际，一轮明月慢慢升起，先是探出半个圆圆的小脑袋，然后冉冉上升，和
2、天际线相连，再跃出海面，越来越高，展现着迷人的风采.这个过程中，若将月亮看作一个圆，海天交线看作一条直线，则月亮上升的过程中体现了直线与圆的几种位置关系？提示 三种，相交、相切和相离.2.观察下图，图中直线l 与圆是什么位置关系？有几个交点，切点与圆心的连线与l 有什么位置关系？提示 题图中的直线l 与圆相切.有且仅有一个交点，切点与圆心的连线与l 垂直.名师点睛1.直线Ax+By+C=0 与圆(x-a)2+(y-b)2=r2 的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数两个一个零个判定方法几何法：设圆心到直线的距离d=|Aa+Bb+C|A2+B2dr代数法：直线与圆的方程联立，消元得到一元
3、二次方程及判别式0=002.圆的弦长的求法（1）几何法，设直线的方程为y=kx+m ，圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2 ，圆的半径为r ，弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）为d ，弦长为L ，则(L2)2=r2-d2 ；（2）代数法，设直线的方程为y=kx+m ，圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2 ，直线与圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2) ，联立直线与圆的方程得y=kx+m, (x-a)2+(y-b)2=r2, 消去y 得到一个关于x 的一元二次方程，从而可求出x1+x2 ，x1x2 ，根据弦长公式|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2 ，即可得出结果.互动探
4、究关键能力探究点一 直线与圆位置关系的判断精讲精练例（2021黑龙江绥化青冈一中高二开学考）已知两条平行直线4x-2y+7=0 ，2x-y+1=0 之间的距离等于坐标原点O 到直线l ：x-2y+m=0(m0) 的距离的一半.（1）求m 的值；（2）判断直线l 与圆C ：x2+(y-2)2=15 的位置关系.解析：思路分析 （1）根据两条平行直线的距离与点到直线的距离的关系，求出m 的值.（2）先求出圆心到直线的距离d ，再比较d、r 的大小，即可求解.答案：（1）将2x-y+1=0 化为4x-2y+2=0 ， 两条平行直线的距离为|7-2|42+(-2)2=52 .又原点O 到直线l ：x-
5、2y+m=0(m0) 的距离为|m|5 ，由题意得|m|5=5 ，m=5 ，又m0,m=5 .（2）易知圆C ：x2+(y-2)2=15 的圆心为C(0,2) ，半径r=55 ， 圆心C 到直线l 的距离d=|-4+5|5=55 ，d=r ， 直线l 与圆C 相切.变式 若本例改为直线l ：x-2y+m=0 与圆C ：x2+(y-2)2=15 相交，求m 的取值范围.答案：由题意知|0-4+m|12+(-2)215 ，解得3m5 .解题感悟判断直线与圆的位置关系的两种方法：（1）几何法：根据圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系来判断；（2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数
6、来判断.迁移应用（2020浙江嘉兴七校高二期中）已知圆C 的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0 ，圆心的坐标为(-2,1)，且过点(0,3).（1）求D,E,F 的值；（2）判断直线x-y-2=0 与圆C 的位置关系.答案：（1）由x2+y2+Dx+Ey+F=0 得(x+D2)2+(y+E2)2=D2+E2-4F4 . 圆心的坐标为(-2,1)，D=4,E=-2 ，又 圆C 过点(0,3),F=-3 .（2）由（1）知，圆C 的标准方程为(x+2)2+(y-1)2=8 ，则半径r=22 ， 圆心到直线x-y-2=0 的距离d=|-2-1-2|2=52222 ， 直线与圆C 相离.探究点二 切
7、线与弦长问题精讲精练类型1 求弦长例1已知直线l ：x-y+m=0 与圆C ：(x+2)2+(y-2)2=2 .（1）若直线l 经过圆心C ，求实数m 的值；（2）当m=3 时，判断直线l 与圆C 的位置关系；若相交，求直线l 被圆C 截得的弦长.答案：（1）由圆C ：(x+2)2+(y-2)2=2 得圆心C 的坐标为(-2,2)，半径为2 ，若直线l 经过圆心C ，则-2-2+m=0 ，解得m=4 .（2）当m=3 时，直线l 的方程为x-y+3=0 ， 圆心C(-2,2) 到直线l 的距离d=|-2-2+3|1+1=122 ， 直线l 与圆C 相交.此时弦长为2(2)2-(12)2=6 .
8、解题感悟求弦长的方法：（1）交点法：将直线方程与圆的方程联立，交点的坐标易求的，用两点间的距离公式求解；交点的坐标不易求的，用弦长公式求解.（2）由半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形，用勾股定理求解.类型2 求切线方程例2过点A(-1,4) 作圆(x-2)2+(y-3)2=1 的切线l ，求切线l 的方程.解析：思路分析 设出切线l 的方程（注意讨论斜率是否存在），利用点到切线l 的距离等于圆的半径建立方程求解.答案：(-1-2)2+(4-3)2=101 ， 点A 在圆外.当切线l 的斜率不存在时，切线l 的方程是x=-1 ，不满足题意；当切线l 的斜率存在时，设切线l 的斜率为k ，则切
9、线l 的方程为y-4=k(x+1) ，即kx-y+4+k=0 ， 圆心(2,3)到切线l 的距离为|2k-3+4+k|k2+1=1 ，解得k=0 或k=-34 .综上，切线l 的方程为y=4 或3x+4y-13=0 .解题感悟（1）过圆上一点(x0,y0) 的切线方程只有1个，先求切点与圆心连线的斜率，再由垂直关系求得切线的斜率，利用点斜式可求得切线方程；（2）过圆外一点(x0,y0) 的切线方程有2个，设切线方程为y-y0=k(x-x0) ，由圆心到切线的距离等于圆的半径建立方程求出k 的值，即可求得切线方程.当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x=x0 （注意在上面解法中不包括斜率不存
10、在的情况）. 迁移应用1.已知直线mx-y+2=0 与圆x2+y2=1 相切，则m= .答案：3解析：已知圆的圆心为O(0,0) ，半径r=1 ，则O 到已知直线的距离d=2m2+1 .由已知得d=r ，即2m2+1=1 ，解得m=3 .2.已知直线l ：3x-y+1=0 ，圆C ：x2+y2+4x-2y+1=0 .（1）判断直线l 与圆C 的位置关系；（2）若直线l 与圆C 相交，求出弦长；否则，求出圆C 上的点到直线l 的最短距离.答案：（1）圆C 的方程为x2+y2+4x-2y+1=0 ，即(x+2)2+(y-1)2=4 . 圆心为(-2,1)，半径r=2 ，故圆心到直线l的距离d=|-
11、23-1+1|3+1=3r ， 直线l 与圆C 相交.（2）易知弦长为2r2-d2=24-3=2 .探究点三 直线与圆的位置关系的应用精讲精练例一艘海监船上配有雷达，其监测范围是半径为26km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40km 的A 处出发径直驶向位于海监船正北30km 的B 处岛屿，船速为10km/h .通过建立适当的平面直角坐标系，计算这艘外籍轮船能被海监船监测到的时长.答案：建立如图所示的平面直角坐标系，圆O ：x2+y2=676 ，记从N 处开始被监测，到M 处监测结束，所以直线lAB 的方程为x40+y30=1 ，即3x+4y-120=0 ，因为O 到lAB 的距离|
12、OO|=|-120|32+42=24km ，所以|MN|=2|MO|2-|OO|2=20km ，所以该轮船被监测的时间为2010=2h .解题感悟用直线与圆的方程解决实际问题的四个步骤：（1）认真审题，明确题意.（2）建立适当的平面直角坐标系，在实际问题中建立直线与圆的方程.（3）利用直线与圆的方程的有关知识求解.（4）用代数结果解释实际问题.迁移应用（2021山东日照高二期中）台风中心从A 地以每小时20km 的速度向东北方向移动，离台风中心30km 内的地区为危险地区，若城市B 在A 地正东40km 处，则城市B 处于危险地区内的时间为( )A.0.5h B.1h C.1.5h D.2h答
13、案：B评价检测素养提升课堂检测1.直线3x+4y-5=0 与圆x2+y2=1 的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.无法判断答案：B2.直线y=kx 被圆x2+y2=2 截得的弦长等于( )A.4B.2C.22 D.2答案：C3.如图，圆弧形桥拱的跨度|AB|=12m ，拱高|CD|=4m ，则拱桥的直径为 .答案：13m4.过点(1,-7)，且与圆x2+y2=25 相切的切线方程是 .答案：4x-3y-25=0 或3x+4y+25=0素养演练数学运算、逻辑推理利用直线与圆解决面积问题（2021北京一零一中学高二期中）已知圆M ：x2+(y-2)2=1 ，Q 是x 轴上的动点，QA,Q
14、B 分别与圆M 相切于A ，B 两点.（1）若Q(1,0) ，求切线方程；（2）求四边形QAMB 面积的最小值；（3）若|AB|=2413 ，求直线MQ 的方程.答案：（1）圆M ：x2+(y-2)2=1 的圆心为(0,2)，半径为1，当过Q 的切线的斜率不存在时，切线方程为x=1 ，与圆相切，符合题意；当过Q 的切线的斜率存在时，设切线方程为y=k(x-1) ，即kx-y-k=0 ， 圆心(0,2)到切线的距离d=|2+k|k2+1=1 ，解得k=-34 ， 切线方程为3x+4y-3=0 .综上，切线方程为x=1 或3x+4y-3=0 .（2）由题意得四边形QAMB 的面积S=2SMAQ=2
15、121|MQ|2-1=|MQ|2-1 ， 当MQx 轴时，|MQ| 取得最小值，为2， 四边形QAMB 面积的最小值为22-1=3 .（3）由题意得圆心M 到弦AB 的距离为1-(1213)2=513 ，设|MQ|=x ，x0 ，则|QA|2=x2-1 ，又ABMQ,(x-513)2+(1213)2=x2-1 ，解得x=135 ，Q(695,0) 或Q(-695,0) ， 直线MQ 的方程为y=-106969x+2 或y=106969x+2 .素养探究：（1）利用点到直线的距离等于圆的半径（注意讨论切线的斜率是否存在），建立方程求切线方程，渗透了数学运算的素养.（2）将条件转化为S=|MQ|2
16、-1 ，求出|MQ| 的最小值即可得解，渗透了逻辑推理、数学运算的素养.（3）设|MQ|=x,x0 ，由切线长定理及勾股定理可得(x-513)2+(1213)2=x2-1 ，渗透了逻辑推理的素养.迁移应用已知圆M 过C(1,-1),D(-1,1) 两点，且圆心M 在x+y-2=0 上.（1）求圆M 的方程；（2）设P 是直线3x+4y+8=0 上的动点，PA,PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形PAMB 面积的最小值.答案：（1）设圆M 的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0) ，根据题意得(1-a)2+(-1-b)2=r2,(-1-a)2+(1-b)2=r2,a+b-2=0 a=1,b=1,r=2,故圆M 的方程为(x-1)2+(y-1)2=4 .（2）如图，连接PM ，易知四边形PAMB 的面积S=SPAM+SPBM ，即S=12(|AM|PA|+|BM|PB|) ，又|AM|=|BM|=2,|PA|=|PB| ，所以S=2|PA| ，易知|PA|=|PM|2-4 ，即S=2|PM|2-4 .因此要求S 的最小值，只需求|PM| 的最小值即可，故|PM| 的最小值即为点M 到直线3x+4y+8=0 的距离，所以|PM|min=|3+4+8|5=3 ，故四边形PAMB 面积的最小值为2|PM|2-4=25 .
